高考数学一轮复习第2讲　导数与函数的单调性 (2)

1、1 / 18 第 2讲 导数与函数的单调性 最新考纲 考向预测 了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 命题趋势 利用导数研究函数的单调性仍然是高考的热点，高考主要考查求函数的单调区间，讨论函数的单调性，利用函数的单调性求极值、最值，知道函数的单调性求参数的取值范围等问题，考查形式选择题、填空题、解答题均有可能，以中档难题为主. 核心素养 逻辑推理、数学抽象 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数 yf(x)在区间(a，b)上可导 f(x)0 f(x)在(a，b)内单调递增 f(x)0(f(x)0(0)恒成立，“”不能

2、少，必要时还需对“”进行检验 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f(x)0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性( ) 答案：(1) (2) 2函数 f(x)cos xx在(0，)上的单调性是( ) a先增后减 b先减后增 c增函数 d减函数 解析：选 d.因为 f(x)sin x10 恒成立，所以 f(x)是增函数在(2，3)上f(x)0 恒成立，所以 f(x)是减函数 4(易错题)函数 f(x)xln x 的单调递减区间为_ 解析：函数的定义域是(0，)，且 f(x)

3、11xx1x，令 f(x)0，得3 / 18 0 x0，则当 x(，0)a3， 时，f(x)0；当 x0，a3时，f(x)0.故 f(x)在(，0)，a3， 上单调递增，在0，a3上单调递减 若 a0，则 f(x)在(，)上单调递增 若 a0；当 xa3，0 时，f(x)0 的解集对应 yf(x)的增区间，f(x)0恒成立， 所以 f(x)在(0，)上单调递增 若 a0，则当 x0，1a时，f(x)0；当 x1a， 时， f(x)0， 所以 f(x)的单调递增区间为(1，)，无单调递减区间 当 a0时，令 h(x)0，得1x1a1，令 h(x)1a1， 5 / 18 所以 f(x)的单调递增区

4、间为1，1a1 ，单调递减区间为1a1， . 利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f(x)0或 f(x)0 求出单调区间 (2)当方程 f(x)0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内 f(x)的符号，从而确定单调区间 (3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据 f(x)的结构特征，利用图象与性质确定 f(x)的符号，从而确定单调区间 提醒 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开 1已知 a 为实数，f(x)ax33x2，若 f(1)3，则函数 f(x)的单调递增区间为( ) a

5、( 2， 2) b22，22 c(0， 2) d 2，22 解析：选 b.因为 f(x)ax33x2，则 f(x)3ax23.又 f(1)3a33，解得 a2，故 f(x)6x23.由 f(x)0得22x0(x(，)， 解得x2或 0 x0 时，xf(x)f(x)0，若 a1ef1e，bef(e)，cf(1)，则 a，b，c 的大小关系正确的是( ) aabc bbca cacb dca0 在(0，)上恒成立，所以 g(x)为(0，)上的增函数又因为 e11e，所以g(e)g(1)g1e，所以 ef(e)f(1)1ef1e.因为 f(x)为奇函数，所以ef(e)ef(e)，所以 bca，故选

6、c. 【答案】 c 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小 角度二 解不等式 在 r 上可导的函数 f(x)的图象如图所示，则关于 x 的不等式 xf(x)0，使xf(x)0 的范围为(，1)； 7 / 18 在(1，1)上，f(x)单调递减，所以 f(x)0，使 xf(x)0的范围为(0，1) 综上所述，关于 x 的不等式 xf(x)0的解集为(，1)(0，1) 【答案】 a 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数题目中存在消去 f(x)与 f(x)的不等关系时，常构造含 f(x)与另一

7、函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式 角度三 已知函数单调性求参数的取值范围 已知函数 f(x)ln x，g(x)12ax22x(a0) (1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求 a的取值范围； (2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求 a的取值范围 【解】 (1)h(x)ln x12ax22x，x(0，)， 所以 h(x)1xax2，由于 h(x)在(0，)上存在单调递减区间， 所以当 x(0，)时，1xax20 有解 即 a1x22x有解， 设 g(x)1x22x， 所以只要 ag(x)min即可 而

8、g(x)1x121，所以 g(x)min1. 所以 a1，即 a的取值范围是(1，) (2)由 h(x)在1，4上单调递减得， 当 x1，4时，h(x)1xax20恒成立， 即 a1x22x恒成立设 g(x)1x22x， 所以 ag(x)max，而 g(x)1x121， 因为 x1，4，所以1x14，1 ， 8 / 18 所以 g(x)max716(此时 x4)， 所以 a716， 即 a的取值范围是716， . 【引申探究】 1(变条件)本例条件变为：若函数 h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递增，求 a 的取值范围 解：由 h(x)在1，4上单调递增得，当 x1，4时，h(x)0恒成立

9、， 所以当 x1，4时，a1x22x恒成立， 又当 x1，4时，1x22xmin1(此时 x1)， 所以 a1，即 a的取值范围是(，1 2(变条件)若函数 h(x)f(x)g(x)在1，4上存在单调递减区间，求 a 的取值范围 解：h(x)在1，4上存在单调递减区间， 则 h(x)1x22x有解， 又当 x1，4时，1x22xmin1， 所以 a1，即 a的取值范围是(1，) 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)由可导函数 f(x)在 d 上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f(x)0(或 f(x)0)对 xd 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“”是否取到 (

10、2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 f(x)0(或 f(x)f(1)f5 bf(1)f3f5 cf5f(1)f3 df3f5f(1) 解析：选 a.因为 f(x)xsin x， 所以 f(x)(x)sin(x)xsin xf(x) 所以函数 f(x)是偶函数，所以 f3f3. 又 x0，2时，得 f(x)sin xxcos x0， 所以 f(x)在0，2上是增函数 所以 f5f(1)f(1)f5，故选 a. 2若 f(x)2x33x212x3 在区间m，m4上是单调函数，则实数 m的取值范围是_ 解析：因为 f(x)2x33x212x3， 所以 f(x)6x26x126(x1)(

11、x2)， 令 f(x)0，得 x2；令 f(x)0，得1x0，ar， 所以当 a0 时，xa0，函数 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增； 当1a0时，0a1，函数 f(x)在(0，a)上单调递增， 在(a，1)上单调递减，在(1，)上单调递增； 当 a1时，f(x)（x1）2x20，函数 f(x)在(0，)上单调递增； 当 a1，函数 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增 含参数函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程 f(x)0 是否有实数根；若 f(x)0 有实数根，求出实数根后判断其是否在定义域内；

12、若实数根在定义域内且有两个，比较实数根的大小是常见的分类方法 已知函数 f(x)mx2xln x若在函数 f(x)的定义域内存在区间 d，使得该函数在区间 d上为减函数，求实数 m的取值范围 解：f(x)2mx11x2mx2x1x(x0)，则 2mx2x10 时，y2mx2x1 的图象的对称轴为 x14m0，故只需 0，即 18m0，故 m18. 综上所述，m0，解得 x1，故选 d. 2下列函数中，在(0，)上为增函数的是( ) af(x)sin 2x bf(x)xex cf(x)x3x df(x)xln x 解析：选 b.对于 a，f(x)sin 2x的单调递增区间是k4，k4(kz)；对

13、于 b，f(x)ex(x1)，当 x(0，)时，f(x)0，所以函数 f(x)xex在(0，)上为增函数；对于 c，f(x)3x21，令 f(x)0，得 x33或 x0，得 0 x1，所以函数 f(x)xln x 在区间(0，1)上单调递增综上所述，应选 b. 3(多选)定义在区间12，4 上的函数 f(x)的导函数 f(x)的图象如图，则下列结论正确的是( ) a函数 f(x)在区间(0，4)上单调递增 b函数 f(x)在区间12，0 上单调递减 c函数 f(x)在 x1处取得极大值 d函数 f(x)在 x0 处取得极小值 解析：选 abd.根据导函数的图象可知，在区间12，0 上，f(x)

14、0，此时函数 f(x)单调递增，所以 f(x)在 x0 处取得极小值，没有极大值所以 a，b，d 项均正确，c 项错误故选 abd. 4已知函数 f(x)x32xsin x，若 f(a)f(12a)0，则实数 a 的取值范围是( ) a(1，) b(，1) c13， d，13 解析：选 b.因为函数 f(x)的定义域为 r，f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数又 f(x)3x22cos x0，所以 f(x)在 r 上单调递增，所以 f(a)f(2a1)，即 a2a1，解得 af(e)f(3) bf(3)f(e)f(2) cf(3)f(2)f(e) df(e)f(3)f(2) 解析：选 d.

15、f(x)的定义域是(0，)， f(x)1ln xx2，令 f(x)0，得 xe. 所以当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x(e，)时，f(x)f(3)f(2)，故选 d. 6已知函数 f(x)x25x2ln x，则函数 f(x)的单调递增区间是_ 解析：由题可得，f(x)2x52x2x25x2x(x0)令 f(x)2x25x2x（2x1）（x2）x0(x0)，解得 x2 或 0 x0， 所以 4x23x10，x(12x)20. 所以当 x0时，f(x)0. 所以 f(x)在(0，)上是增函数 答案：增 8若函数 f(x)13x312x22ax 在23， 上存在单调递增区间，

16、则 a的取值范围是_ 解析：对 f(x)求导，得 f(x)x2x2ax122142a. 由题意知，f(x)0 在23， 上有解， 当 x23， 时，f(x)的最大值为 f23292a. 令292a0，解得 a19， 所以 a的取值范围是19， . 答案：19， 9已知函数 f(x)x3ax2xc，且 af23. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间 解：(1)由 f(x)x3ax2xc， 得 f(x)3x22ax1. 当 x23时，得 af2332322a231， 解得 a1. 14 / 18 (2)由(1)可知 f(x)x3x2xc， 则 f(x)3x22x13x13(x1

17、)， 令 f(x)0，解得 x1 或 x13； 令 f(x)0，解得13x1. 所以 f(x)的单调递增区间是，13和(1，)， f(x)的单调递减区间是13，1 . 10已知函数 f(x)12x3x2.讨论函数 yf(x)ex的单调性 解：令 g(x)f(x)ex12x3x2ex， 所以 g(x)32x22x ex12x3x2ex 12x(x1)(x4)ex. 令 g(x)0，解得 x0，x1或 x4， 当 x4时，g(x)0，g(x)单调递减； 当40，g(x)单调递增； 当1x0时，g(x)0时，g(x)0，g(x)单调递增 综上可知，g(x)在(，4)和(1，0)上单调递减，在(4，1

18、)和(0，)上单调递增 b级 综合练 11(多选)已知函数 f(x)的定义域为 r，其导函数 f(x)的图象如图所示，则对于任意 x1，x2r(x1x2)，下列结论正确的是( ) af(x)0恒成立 b(x1x2)f(x1)f(x2)f（x1）f（x2）2 dfx1x22f（x1）f（x2）2 解析：选 bd.由导函数的图象可知，导函数 f(x)的图象在 x 轴下方，即f(x)0，故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢所以 f(x)的图象如图所示 f(x)0)， 所以 f(x)x34x， 因为函数 f(x)12x23x4ln x 在(t，t1)上不单调， 所以 f(x)x34x在(t，t1

19、)上有变号零点， 所以x23x4x0在(t，t1)上有解， 所以 x23x40在(t，t1)上有解， 由 x23x40得 x1 或 x4(舍去)， 16 / 18 所以 1(t，t1)，所以 t(0，1)， 故实数 t 的取值范围是(0，1) 答案：(0，1) 13设函数 f(x)13x3a2x2bxc，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1. (1)求 b，c的值； (2)若 a0，求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数 a的取值范围 解：(1)f(x)x2axb， 由题意得f（0）1，f（0）0，即c1，b0. 故 b0，c1. (2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)， 当 x(，0)时，