高考数学一轮复习第5章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例

1、1 / 16 平面向量的数量积与平面向量应用举例 考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 1向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作oaa，obb，则aob 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是：0， 2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为 ，则数量|a|b| cos 叫做

2、 a 与b 的数量积，记作 a b 投影 |a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos 叫做向量 b 在 a方向上的投影 几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a bb a； (2)数乘结合律：(a) b(a b)a (b)； (3)分配律：a (bc)a ba c. 4平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b 结论 几何表示 坐标表示 2 / 16 模 |a| a a |a| x21y21 数量积 a b|a|b|cos a

3、 bx1x2y1y2 夹角 cos a b|a|b| cos x1x2y1y2x21y21 x22y22 ab a b0 x1x2y1y20 |a b|与 |a|b|的关系 |a b|a|b| |x1x2y1y2| x21y21 x22y22 提醒：ab 与 ab 所满足的坐标关系不同abx1y2x2y1；abx1x2y1y20. 常用结论 1平面向量数量积运算的常用公式 (1)(ab) (ab)a2b2； (2)(a b)2a2 2a bb2. 2两个向量 a，b 的夹角为锐角a b0且 a，b 不共线； 两个向量 a，b 的夹角为钝角a b0且 a，b 不共线 3a 在 b 方向上的投影为

4、，b 在 a 方向上的投影为. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量( ) (3)由 a b0可得 a0 或 b0.( ) (4)(a b)ca(b c)( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1设 a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b) c( ) a(15,12) b0 c3 d11 c a2b(5,6)，(a2b) c5 36 23. 3 / 16 2平面向量 a 与 b 的夹角为 45 ，a(1,1)，|b|2，则

5、|3ab|等于( ) a136 2 b2 5 c 30 d 34 d a(1,1)，|a| 11 2. a b|a|b|cos 45 2 2222. |3ab| 9a2b26a b 18412 34.故选 d. 3已知向量 a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则 m_. 8 a(1，m)，b(3，2)， ab(4，m2)，由(ab)b 可得 (ab) b122m4162m0，即 m8. 4已知|a|2，|b|6，a b6 3，则 a 与 b 的夹角 _，a 在 b方向上的投影为_ 56 3 cos a b|a| |b|6 32632. 又因为 0，所以 56.a 在 b 方向上的投影为a

6、 b|b|6 36 3. 考点一 平面向量数量积的运算 平面向量数量积的三种运算方法 4 / 16 典例 1 (1)已知在矩形 abcd 中，ab4，ad2，若 e，f 分别为 ab，bc的中点，则de df( ) a8 b10 c12 d14 (2)已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 60 ，则向量 ab 在向量 a 方向上的投影为_ (1)b (2)12 (1)法一：(定义法)根据题意，得de df(daae) (dccf)da dcda cfae dcae cf021cos 024cos 0010. 法二：(坐标法)以点 a为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系 则 a(0,0)，

7、b(4,0)，c(4,2)，d(0,2) e，f分别为 ab，bc的中点，e(2,0)，f(4,1) de(2，2)，df(4，1)，de df24(2)(1)10. (2)由两个单位向量 a 和 b 的夹角为 60 ，可得 a b111212， 所以(ab) aa2a b11212， 所以向量 ab 在向量 a 方向上的投影为(ab) a|a|12112. 点评：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐标法定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系 跟进训练

8、 1在abc中，ab6，o为abc的外心，则ao ab等于( ) a 6 b6 c12 d18 d 如图，过点 o作 odab于 d， 5 / 16 可知 ad12ab3， 则ao ab(addo) abad abdo ab36018. 2(2020 成都模拟)在abcd 中，|ab|8，|ad|6，n 为 dc 的中点，bm2mc，则am nm_. 24 法一：(定义法)am nm(abbm) (nccm)ab23ad12ab13ad12ab229ad21282296224. 法二：(特例图形)：若abcd 为矩形，建立如图所示坐标系， 则 n(4,6)，m(8,4) 所以am(8,4)，n

9、m(4，2)， 所以am nm(8,4) (4，2)32824. 考点二 平面向量数量积的应用 平面向量的模 求向量模的方法 (1)a2a a|a|2或|a| a a. (2)|a b| (a b)2 a2 2a bb2. (3)若 a(x，y)，则|a| x2y2. 典例 21 (1)已知平面向量 a，b 的夹角为6，且|a| 3，|b|2，在abc中，ab2a2b，ac2a6b，d 为 bc中点，则|ad|等于( ) a2 b4 c6 d8 (2)已知在直角梯形 abcd中，adbc，adc90 ，ad2，bc1，p是腰 dc上的动点，则|pa3pb|的最小值为_ (1)a (2)5 (1

10、)因为ad12(abac)12(2a2b2a6b)2a2b， 所以|ad|24(ab)24(a22b ab2)4322 3cos 64 4，6 / 16 则|ad|2. (2)建立平面直角坐标系如图所示，则 a(2,0)，设p(0，y)，c(0，b)，则 b(1，b)，则pa3pb(2，y)3(1，by)(5,3b4y) 所以|pa3pb| 25(3b4y)2(0yb) 当 y34b时，|pa3pb|min5. 点评：求向量模的最值(范围)的方法 (1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解； (2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求

11、解 平面向量的夹角 求向量夹角问题的方法 典例 22 (1)(2019 全国卷)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为( ) a.6 b.3 c.23 d.56 7 / 16 (2)若向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是_ (1)b (2)，9292，3 (1)法一：因为(ab)b，所以(ab) ba b|b|20，又因为|a|2|b|，所以 2|b|2cosa，b|b|20，即 cosa，b12，又知a，b0，所以a，b3，故选 b. 法二：如图，令oaa，obb，则baoaoba

12、b，因为(ab)b，所以oba90 ， 又|a|2|b|，所以aob3，即a，b3.故选 b. (2)因为 2a3b 与 c 的夹角为钝角， 所以(2a3b) c0，即(2k3，6) (2,1)0， 所以 4k660，所以 k3.若 2a3b 与 c 反向共线，则2k326，解得 k92，此时夹角不是钝角，综上所述，k 的取值范围是，9292，3 . 点评：数量积大于 0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0说明不共线的两向量的夹角为钝角 两个向量垂直问题 1利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算

13、出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0即可 2已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数 典例 23 (1)(2020 全国卷)已知单位向量 a，b 的夹角为 60 ，则在下列向量中，与 b 垂直的是( ) aa2b b2ab 8 / 16 ca2b d2ab (2)已知向量ab与ac的夹角为 120 ，且|ab|3，|ac|2.若apabac，且apbc，则实数 的值为_ (1)d (2)712 (1)法一：由题意，得 a b|a| |b|cos 60 12.对于 a，(a2b) ba b2b

14、2122520，故 a不符合题意；对于 b，(2ab) b2a bb21120，故 b不符合题意；对于 c，(a2b) ba b2b2122320，故 c不符合题意；对于 d，(2ab) b2a bb2110，所以(2ab)b.故选 d. 法二：不妨设 a12，32，b(1,0)，则 a2b52，32，2ab(2，3)，a2b32，32，2ab(0， 3)，易知，只有(2ab) b0，即(2ab)b，故选 d. (2)因为apbc，所以ap bc0. 又apabac，bcacab， 所以(abac) (acab)0， 即(1)ac abab2ac20， 所以(1)|ac|ab|cos 120

15、940. 所以(1)3212940.解得 712. 点评：解答本例(2)的关键是bc的转化，考虑到apabac，且ab与ac的夹角为 120 ，故bcacab.从而apbc可转化为ap bc0，即(abac) (acab)0. 跟进训练 1(2021 全国统一考试模拟演练)已知单位向量 a，b 满足 a b0，若向量c 7a 2b，则 sina，c( ) 9 / 16 a.73 b.23 c.79 d.29 b 设 a(1,0)，b(0,1)，则 c( 7， 2)，所以 cosa，ca c|a| |c|73，sina，c23. 2(2020 福州模拟)已知向量|oa|3，|ob|2，ocmoa

16、nob，若oa与ob的夹角为 60 ，且ocab，则实数mn的值为( ) a16 b14 c6 d4 a 因为向量|oa|3，|ob|2，ocmoanob，oa与ob夹角为 60 ，所以oa ob32cos 60 3， 所以ab oc(oboa) (moanob) (mn)oa obm|oa|2n|ob|2 3(mn)9m4n6mn0，所以mn16，故选 a. 3(2020 全国卷)设 a，b 为单位向量，且|ab|1，则|ab|_. 3 a，b 为单位向量，且|ab|1，(ab)21，112a b1，a b12，|ab|2a2b22a b112123，|ab| 3. 考点三 平面向量的应用

17、平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解 典例 3 (1)设 p是abc所在平面内一点，若ab (cbca)2ab cp，且ab2ac22bc ap，则点 p是abc的( ) 10 / 16 a外心 b内心 c重心 d垂心 (2)在abc中，ab( 3sin x，sin x)，ac(sin x，cos x) 设 f(x)ab ac，若 f(a)0，求角 a的值； 若对任意的实数 t，恒有|abtac|bc|，求abc 面积的最大值 (1)a

18、 由ab (cbca)2ab cp，得ab (cbca2cp)0，即ab (cbcp)(cacp)0， 所以ab (pbpa)0. 设 d为 ab 的中点，则ab 2pd0，故ab pd0. 由ab2ac22bc ap，得 (abac) (abac)2bc ap， 即(abac2ap) bc0. 设 e为 bc 的中点，则(2ae2ap) bc0，则 2pe bc0， 故bc pe0. 所以 p为 ab与 bc的垂直平分线的交点， 所以 p是abc的外心故选 a. (2)解 f(x)ab ac 3sin2 xsin xcos x 31cos 2x2sin 2x2sin2x332.f(a)0，s

19、in2a332. 又a(0，)，2a33，23，2a323，a6. 如图，设adtac，则abtacdb， 即|db|bc|恒成立，acbc. |ab| 4sin2x 22cos 2x2，|ac|1， |bc|ab|2|ac|2 3， 11 / 16 abc的面积 s12bc ac32，当且仅当 cos 2x0，即 x4k，kz 时等号成立，abc面积的最大值为32. 点评：运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心 (1)|oa|ob|oc|(或oa2ob2oc2)o是abc的内心； (2)oaoboc0o是abc的重心； (3)oa obob ococ oao是abc的垂心； (4)oaa

20、b|ab|ac|ac|obba|ba|bc|bc|occa|ca|cb|cb|o 是abc 的内心 跟进训练 1(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包假设行李包所受重力为 g，作用在行李包上的两个拉力分别为 f1，f2，且|f1|f2|，f1与 f2的夹角为 .给出以下结论，其中正确的是( ) a越大越费力，越小越省力 b的范围为0， c当 2时，|f1|g| d当 23时，|f1|g| ad 对于 a，由|g|f1f2|为定值，所以|g|2|f1|2|f2|22|f1|f2|cos 2|f1|2(1cos )，解得|f1|2|g|22(1cos ).由题意知 0

21、，)时，ycos 单调递减，所以|f1|2单调递增，即 越大越费力，越小越省力，a正确；对于 b，由题意知，的取值范围是0，)，故 b错误；对于 c，当 12 / 16 2时，|f1|2|g|22，所以|f1|22|g|，故 c错误；对于 d，当 23时，|f1|2|g|2，所以|f1|g|，故 d正确故答案为 ad. 2在abc 中，ab bc3，其面积 s32，3 32，则ab与bc夹角的取值范围为( ) a.6，4 b.4，3 c.6，3 d.23，34 c 设ab与bc的夹角为 ，ab bc3，|ab|bc|cos 3， 即|ab|bc|3cos . 又 s32，3 32，故3212|

22、ab|bc|sin()3 32， 所以3232tan 3 32，即33tan 3. 又 0，63.故选 c. 备考技法 4 平面向量中的最值(范围)问题 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种： 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利

23、用函数、不等式、方程有关知识来解决. 数量积的最值(范围)问题 技法展示1 已知abc是边长为 2的等边三角形，p 为平面 abc内一13 / 16 点，则pa (pbpc)的最小值是( ) a2 b32 c43 d1 b 法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图所示，设 bc 的中点为d，ad的中点为 e，连接 ad，pe，pd，则有pbpc2pd， 图 则pa (pbpc)2pa pd2(peea) (peea)2(pe2ea2)而ea232234， 当点 p与点 e重合时，pe2有最小值 0，故此时pa (pbpc)取得最小值，最小值为2ea223432. 法二：(坐标法)如图，以等边

24、三角形 abc 的底边 bc 所在直线为 x 轴，以边 bc 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 a(0， 3)，b(1,0)，c(1,0)，设 p(x，y)，则pa(x， 3y)，pb(1x，y)，pc(1x，y)，所以pa (pbpc)(x， 3y) (2x，2y)2x22y32232，当x0，y32时，pa (pbpc)取得最小值，最小值为32. 图 14 / 16 评析 设 a，b 是平面内的两个向量，则有 a b14(ab)2(ab)2；极化恒等式的几何意义是在abc中，若 ad是 bc边上的中线，则ab acad2bd2. 具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为

25、简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合 技法应用 1(2020 新高考全国卷)已知 p 是边长为 2 的正六边形 abcdef 内的一点，则 ap ab的取值范围是( ) a(2,6) b(6,2) c(2,4) d(4,6) a ap ab|ap| |ab| cospab2|ap|cospab，又|ap|cospab表示ap在ab方向上的投影，所以结合图形(图略)可知，当 p与 c重合时投影最大，当p与 f重合时投影最小又ac ab2 32cos 30 6，af ab22cos 120 2，故当点 p在正六边形 abcdef 内部运动时，ap ab(2,6)，故选a. 2在半径为 1的扇形 aob 中，若aob60 ，c 为弧 ab上的动点，ab与 oc交于点 p，则op bp的最小值是_ 116 方法一：(极化恒等式)如图，取 ob的中点 d，连接 pd，则op bppd2od2pd214，即求 pd 的最小值 图 15 / 16 由图可知，当 pdob 时，pdmi