高考数学一轮复习第6节　三角函数的图象与性质

1、1 / 22 第 6 节 三角函数的图象与性质 知 识 梳 理 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0) (2)余弦函数 ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kz) 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定义域 r r x|xr，且x k2 值域 1，1 1，1 r 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 2k2，2k2 2k，2k k2，

2、k2 递减区间 2k2，2k32 2k，2k 无 对称中心 (k，0) k2，0 k2，0 对称轴方程 xk2 xk 无 1要注意求函数 yasin(x)的单调区间时 a 和 的符号，尽量化成 02 / 22 时情况，避免出现增减区间的混淆 2正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期 3三角函数中奇函数一般可化为 yasin x 或 yatan x 的形式，而偶函数一般可化为 yacos xb的形式 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)由 sin623sin 6知，23是正弦函

3、数 ysin x(xr)的一个周期( ) (2)余弦函数 ycos x的对称轴是 y 轴( ) (3)正切函数 ytan x在定义域内是增函数( ) (4)已知 yksin x1，xr，则 y 的最大值为 k1.( ) (5)ysin|x|是偶函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 解析 (1)函数 ysin x 的周期是 2k(kz) (2)余弦函数 ycos x的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条 (3)正切函数 ytan x在每一个区间 k2，k2(kz)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数 (4)当 k0时，ymaxk1；当 k0，xr)，最小正周

4、期 t，则实数 _，函数 f(x)的图象的对称中心为_ 答案 2 k212，0 (kz) 4 / 22 解析 由 t2，2，f(x)2sin2x6，令 2sin2x60，得 2x6k(kz)，xk212(kz)，对称中心为k212，0 (kz) 考点一 三角函数的定义域及三角函数不等式 【例 1】 (1)函数 f(x)2tan2x6的定义域是( ) a.x|x6 b.x|x12 c.x|xk6（kz） d.x|xk26（kz） (2)不等式 32cos x0的解集是_ (3)函数 f(x) 64x2log2(2sin x1)的定义域是_ 答案 (1)d (2)x|562kx562k，kz (3

5、)116，76 6，56136，8 解析 (1)由正切函数的定义域得 2x6k2(kz)， 即 xk26(kz)，故选 d. (2)由 32cos x0，得 cos x32， 由余弦函数的图象，得在一个周期，上，不等式 cos x32的解集为 x|56x56 ， 故原不等式的解集为 x|562kx562k，kz . (3)由题意得64x20，2sin x10， 由得8x8，由得 sin x12，由正弦曲线得62kx562k(kz) 5 / 22 所以不等式组的解集为116，76 6，56 136，8 . 感悟升华 (1)三角函数定义域的求法 以正切函数为例，应用正切函数 ytan x 的定义域

6、求函数 yatan(x)的定义域 求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式 (2)简单三角不等式的解法 利用三角函数线求解 利用三角函数的图象求解 【训练 1】 (1)函数 ytan 2x 的定义域是( ) a.x|xk4，kz b.x|xk28，kz c.x|xk8，kz d.x|xk24，kz (2)(一题多解)函数 y sin xcos x的定义域为_ 答案 (1)d (2)x2k4x2k54，kz 解析 (1)由 2xk2，kz，得 xk24，kz， ytan 2x的定义域为x|xk24，kz . (2)法一 要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中

7、画出0，2上 ysin x和 ycos x的图象，如图所示 在0，2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为x2k4x2k54，kz. 6 / 22 法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示) 所以定义域为 x2k4x2k54，kz . 法三 sin xcos x 2sinx40，将 x4视为一个整体，由正弦函数 ysin x 的图象和性质可知 2kx42k(kz)， 解得 2k4x2k54(kz) 所以定义域为x2k4x2k54，kz . 考点二 三角函数的最值和值域 【例 2】 (1)函数 y2sin x

8、1，x76，136 的值域是( ) a3，1 b2，1 c(3，1 d(2，1 (2)(一题多解)函数 f(x)15sinx3cosx6的最大值为( ) a.65 b1 c.35 d.15 (3)函数 ysin xcos xsin xcos x的值域为_ 答案 (1)d (2)a (3)12 2，1 解析 (1)由正弦曲线知 ysin x在76，136 上，1sin x0)在区间2，23上是增函数，则 的取值范围是_ 答案 (1)k12，k512(kz) (2)0，34 解析 (1)由已知可得函数为 ysin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求 ysin2x3的单调增区间 由 2k22x32k

9、2，kz， 得 k12xk512，kz. 故所求函数的单调递减区间为k12，k512(kz) (2)法一 由 2k2x2k2，kz， 得 f(x)的增区间是2k2，2k2(kz) 因为 f(x)在2，23上是增函数， 所以2，232，2. 10 / 22 所以22且232，所以 0，34. 法二 因为 x2，23，0. 所以 x2，23， 又 f(x)在区间2，23上是增函数， 所以2，232，2， 则22，232，又 0，得 00，得 034. 感悟升华 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 yasin(x)形式，再求 yasin(x)的单调区间，只需把 x 看作一个整体代入

10、ysin x 的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷 角度 3 三角函数的对称轴或对称中心 【例 33】 (1)已知函数 ysin(2x)22的图象关于直线 x3对称，则 的值是_ (2)函数 f(x)2cosx31的对称轴为_，最小值为_ 答案 (1)6 (2)xk3(kz) 3 解析 (1)由函数 ysin(2x)22的图象关于直线 x3对称，得sin23 1，因为22，

11、所以6230，函数 f(x)cosx4在2， 上单调递增，则 的取值范围是( ) a.12，54 b.12，74 c.34，94 d.32，74 (3)(角度 3)函数 ysin(2x)20，kz， 得 k1，所以 32，74. (3)因为函数 ysin(2x)22图象的一个对称中心为12，0 ，所以sin6 0，又因为22，则360)两个相邻的极值点，则 ( ) a2 b.32 c1 d.12 答案 a 解析 由题意及函数 ysin x 的图象和性质可知， 12t344，t，2，2.故选 a. 2函数 f(x)tan2x3的单调递增区间是( ) a.k212，k2512(kz) b.k212

12、，k2512(kz) c.k12，k512(kz) d.k6，k23(kz) 答案 b 13 / 22 解析 当 k22x3k2(kz)时，函数 ytan2x3单调递增，解得k212 x k2512(kz) ， 所 以 函 数 y tan2x3的 单 调 递 增 区 间 是k212，k2512(kz)，故选 b. 3(2020 全国卷)设函数 f(x)cosx6在，的图象大致如下图，则 f(x)的最小正周期为( ) a.109 b.76 c.43 d.32 答案 c 解析 由图象知 t2， 即 2|2，所以 1|2. 因为图象过点49，0 ，所以 cos4960， 所以4962k2，kz， 所

13、以 9k232，kz. 因为 1|0，|2的最小正周期为 4，且任意 xr，有f(x)f3成立，则 f(x)图象的一个对称中心坐标是( ) a.23，0 b.3，0 c.23，0 d.53，0 答案 a 解析 由 f(x)sin(x)的最小正周期为 4，得 12.因为 f(x)f3恒成立，所以 f(x)maxf3，即12322k(kz)，由|2，得 3，故 f(x)sin12x3. 令12x3k(kz)，得 x2k23(kz)，故 f(x)图象的对称中心为2k23，0 (kz)，当 k0 时，f(x)图象的对称中心为23，0 ，故选 a. 15 / 22 二、填空题 7若函数 f(x)cos2

14、x3(0)是奇函数，则 _；f(x)取最大值时，x 的取值集合为_ 答案 56 x|xk4，kz 解析 因为 f(x)为奇函数，所以 32k，kz，56k，kz.又因为00，02的图象关于点4，0对称，关于直线 x4对称，最小正周期 t2， ，则 t_，f(x)的单调递减区间是_ 答案 23 2k312，2k3512(kz) 解析 由题意知234t，即 t23，所以 3，所以 34k，kz，k34，kz，又 00，0)是偶函数，且在0，2上是减函数，则 _，的最大值是_ 答案 2 2 解析 由题意知 22k，kz，又 0，所以 2，故函数 f(x)cos x(0)令 2mx2m，mz，得2mx

15、2m，mz，令 m0，得 0 x，所以2，解得 00，x0，22，2，所以 02200，ysin x 在0，2上单调递增，说明该函数至少14t 的图象在0，2上，则其周期至少为 8，即28，即 14，故 00)在区间3，4上的最小值是2，则的最小18 / 22 值为( ) a.23 b.32 c2 d3 答案 b 解析 0，3x4，3x4. 由已知条件知32，32. 14函数 f(x)asin xbcos x(a0，b0，0)，则 f(x)( ) a是非奇非偶函数 b奇偶性与 a，b有关 c奇偶性与 有关 d奇偶性与 a，b无关 答案 a 解析 f(x)asin xbcos x a2b2sin

16、(x)，其中 sin ba2b2，cos aa2b2，要使函数 f(x) a2b2sin(x)为奇函数，则 f(0) a2b2sin 0，因为 a0，b0，所以 a2b20，又因为 sin ba2b20，所以 f(0) a2b2sin 0，所以函数 f(x)不是奇函数若函数 f(x) a2b2sin(x)为偶函数，则 f(0)a2b2sin a2b2，则 sin 1，cos 0，因为a0，所以 cos aa2b20，所以 f(0) a2b2sin a2b2，所以函数f(x)不是偶函数，故选 a. 15设 x1，x2，x3，x40，2，则( ) a在这四个数中至少存在两个数 x，y，满足 sin

17、(xy)12 b在这四个数中至少存在两个数 x，y，满足 cos(xy)32 c在这四个数中至多存在两个数 x，y，满足 tan(xy)0，0，02的部分图象如图所示 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 g(x)fx12fx12的单调递增区间 解 (1)t21112512，t，2t2. 由题意可得asin 1，2512，解得 a2，6， 函数 f(x)2sin2x6. (2)fx122sin 2x， fx122sin2x3， g(x)fx12fx12 2sin 2xsin2x3 20 / 22 2sin2x3. 2k22x32k2(kz)， 函数 g(x)的单调递增区间为k12，k512(kz) 21 / 22 18. (2021 宁波期末)已知函数 f(x)sin(x)(0)图象上相邻两个最高点的距离为 . (1)若 yf(x)的图象过点0，12，且部分图象如图所示，求函数 f(x)的解析式； (2)若函数 yf(x)是偶函数，将 yf(x)的图象向左平移6个单位长度，得到 yg(x)的图象，求函数 y2fx22g(x)在0，2上的最大