高考数学一轮复习课时作业(四十三)　利用空间向量求空间角

1、1 / 8 课时作业(四十三) 利用空间向量求空间角 1在正方体 abcd- a1b1c1d1中，e是 c1d1的中点，则异面直线 de与 ac 夹角的余弦值为( ) a1010 b120 c120 d1010 d 建立空间直角坐标系 d- xyz，如图所示，设 da1，a(1，0，0)，c(0，1，0)，e0，12，1 ，则ac (1，1，0)，de 0，12，1 ，设异面直线 de 与 ac 所成的角为 ，则 cos |cos ac ，de |1010 . 2(多选)(2020 全国高二课时练习)正三棱柱 abc- a1b1c1中，aa1 3 ab，则( ) aac1与底面 abc 的成角

2、的正弦值为12 bac1与底面 abc 的成角的正弦值为32 cac1与侧面 aa1b1b 的成角的正弦值为34 dac1与侧面 aa1b1b 的成角的正弦值为134 bc 如图，取 a1c1中点 e，ac 中点 f，并连接 ef，则 eb1，ec1，ef 三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 设 ab2，则 aa12 3 . a1(0，1，0)，c1(0，1，0)，a(0，1，2 3 )，c(0，1，2 3 )，b1( 3 ，0，0) ac1(0，2，2 3 )，底面 abc 的其中一个法向量为 m(0，0，2 3 )， ac1与底面 a

3、bc 的成角的正弦值为 |cos |m ac1|m|ac1| 1242 3 32 ， a错误，b 正确 设 a1b1的中点为 k，则 k 的坐标为32，12，0 ， 2 / 8 侧面 aa1b1b 的其中一个法向量为 kc132，32，0 ， ac1与侧面 aa1b1b 的成角的正弦值为： |cos |ac1 kc1|ac1|kc1| 34 3 34 ，故 c 正确，d错误故选 bc. 3在长方体 abcd- a1b1c1d1中，ab2，bcaa11，则 d1c1与平面 a1bc1所成角的正弦值为_ 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系 d- xyz，由于 ab2，bcaa11，所以 a1(1

4、，0，1)，b(1，2，0)，c1(0，2，1)，d1(0，0，1). 所以 a1c1(1，2，0)，bc1(1，0，1)， d1c1(0，2，0)， 设平面 a1bc1的法向量为 n(x，y，z)，则有 a1c1 n0，bc1 n0， 即x2y0，xz0， 令 x2，则 y1，z2，则 n(2，1，2). 又设 d1c1与平面 a1bc1所成的角为 ， 则 sin |cos d1c1，n|d1c1 n|d1c1|n| 223 13 . 答案： 13 4(2020 瑞安市上海新纪元高级中学期末)如图，在底面边长均为 2，高为 1 的长方体abcd- a1b1c1d1中，e、f 分别为 bc、c

5、1d1的中点，则异面直线 a1e、cf 所成角的大小为_；平面 a1ef 与平面 a1b1c1d1所成锐二面角的余弦值为_ 解析： 以 d为原点建立如图所示空间直角坐标系： 则 a1(2，0，1)，e(1，2，0)，c(0，2，0)，f(0，1，1)，所以 a1e(1，2，1)，3 / 8 cf (0，1，1)，设异面直线 a1e、cf 所成角的大小为 ，所以 cos |a1e cf|a1e| |cf| 36 2 32 ， 因为 0，2 ，所以 6 ； a1f(2，1，0)，设平面 a1ef 的一个法向量为：m(x，y，z)， 则m a1f0m a1e0 ，即2xy0 x2yz0 ，令 x1，

6、则 m(1，2，3)， 平面 a1b1c1d1的一个法向量为：n(0，0，1)，设平面 a1ef 与平面 a1b1c1d1所成锐二面角为 ， 所以 cos m n|m| |n| 314 3 1414 . 答案： 6 ；3 1414 5(2020 北京卷)如图，在正方体 abcd- a1b1c1d1中，e 为 bb1的中点 (1)求证：bc1平面 ad1e； (2)求直线 aa1与平面 ad1e 所成角的正弦值 解析： (1)证明：在正方体 abcd- a1b1c1d1中，abc1d1且abc1d1，四边形 abc1d1为平行四边形，bc1ad1. 又 bc1平面 ad1e，ad1平面 ad1e

7、，bc1平面 ad1e. (2)以 a 为原点，ad 所在直线为 x 轴，ab 所在直线为 y 轴，aa1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系如图所示 设正方体abcd- a1b1c1d1的棱长为 2，则 a(0，0，0)，a1(0，0，2)，d1(2，0，2)，e(0，2，1)， aa1(0，0，2)，ad1(2，0，2)，ae (0，2，1). 设平面 ad1e的法向量为 n(x，y，z)， 由n ad10，n ae0， 得2x2z0，2yz0， 令 y1，得 z2，x2， 平面 ad1e的一个法向量为 n(2，1，2). 设直线 aa1与平面 ad1e所成角为 ， 4 / 8 则 sin

8、 |cos aa1，n aa1 n|aa1| |n 422212（2）2 23 ， 直线 aa1与平面 ad1e所成角的正弦值为23 . 6(2020 天津卷)如图，在三棱柱 abc- a1b1c1中，cc1平面abc，acbc，acbc2，cc13，点 d，e 分别在棱 aa1和棱cc1上，且 ad1，ce2，m 为棱 a1b1的中点 (1)求证：c1mb1d； (2)求二面角 b- b1ed的正弦值； (3)求直线 ab 与平面 db1e所成角的正弦值 解析： 依题意，以 c 为原点，分别以ca ，cb ，cc1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得c(0

9、，0，0)，a(2，0，0)，b(0，2，0)，c1(0，0，3)，a1(2，0，3)，b1(0，2，3)，d(2，0，1)，e(0，0，2)，m(1，1，3). (1)证明：依题意可得，c1m(1，1，0)，b1d(2，2，2)，从而 c1m b1d2200，所以 c1mb1d. (2)依题意可知，ca (2，0，0)是平面 bb1e 的一个法向量，eb1(0，2，1)，ed (2，0，1).设 n(x，y，z)为平面 db1e 的法向量，则n eb10，n ed0， 即2yz0，2xz0. 不妨设 x1，则 y1，z2，可得平面 db1e的一个法向量 n(1，1，2). 因此有 cos c

10、a ，ncan|ca|n| 66 ， 于是 sinca ，n306 . 所以，二面角 b- b1ed的正弦值为306 . (3)依题意，ab (2，2，0).由(2)知 n(1，1，2)为平面 db1e 的一个法向量，于是 cos ab ，nabn|ab|n| 33 . 所以，直线 ab 与平面 db1e 所成角的正弦值为33 . 5 / 8 7如图是一个半圆柱与多面体 abb1a1c 构成的几何体，平面 abc 与半圆柱的下底面共面，且 acbc，p 为弧 a1b1上(不与 a1b1重合)的动点 (1)证明：pa1平面 pbb1； (2)若四边形 abb1a1为正方形，且 acbc，pb1a

11、14 ，求二面角 p- a1b1- c 的余弦值 解析： (1)证明：在半圆柱中，bb1平面 pa1b1，所以 bb1pa1. 因为 a1b1是直径，所以 pa1pb1. 因为 pb1bb1b1，pb1平面 pbb1，bb1平面 pbb1， 所以 pa1平面 pbb1. (2)以 c 为坐标原点，分别以 cb，ca 所在直线为 x 轴，y 轴，过 c 与平面 abc 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 c-xyz，如图所示 设 cb1，则 c(0，0，0)，b(1，0，0)，a(0，1，0)，a1(0，1， 2 )，b1(1，0， 2 )，p(1，1， 2 ). 所以 ca1(0，1，

12、2 )，cb1(1，0， 2 ). 平面 pa1b1的一个法向量为 n1(0，0，1). 设平面 ca1b1的法向量为 n2(x，y，z)， 则n2ca10，n2cb10， 即y 2z0，x 2z0， 令 z1，则 x 2 ，y 2 . 所以平面 ca1b1的一个法向量 n2( 2 ， 2 ，1)， 所以 cos n1，n211 5 55 . 由图可知二面角 pa1b1c 为钝角， 所以所求二面角的余弦值为55 . 8(开放题)(2020 北京昌平区二模)如图，在四棱锥 p- abcd 中，pa平面 abcd，paadcd2，bc3，pc2 3 ，e 为 pb 中点，_，求证：四边形 abcd

13、 是直6 / 8 角梯形，并求直线 ae 与平面 pcd 所成角的正弦值 从cdbc；bc平面 pad 这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答 解析： 选择，先证四边形 abcd是直角梯形 连接 ac，pa平面 abcd，paac，pacd. paad2，pd2 2 . pc2 3 ，cd2pd2pc2，cdpd. 又papdp，cd平面 pad，cdad. 又cdbc，adbc，四边形 abcd 是直角梯形 再求直线 ae 与平面 pcd 所成角的正弦值 过 a 作 ad的垂线交 bc 于点 m. pa平面 abcd，paam，paad. 如图，建立空间直角坐标系 axyz，则 a

14、(0，0，0)，b(2，1，0)，c(2，2，0)，d(0，2，0)，p(0，0，2)，e 为 pb 的中点， e1，12，1 . ae 1，12，1 ，pc (2，2，2)，pd (0，2，2). 设平面 pcd 的法向量为 n(x，y，z)， 则npc2x2y2z0，npd2y2z0， 令 y1，得 n(0，1，1). 设直线 ae 与平面 pcd 所成的角为 ， sin |cos n，ae |12111232 26 . 7 / 8 直线 ae 与平面 pcd 所成角的正弦值为26 . 选择.先证四边形 abcd是直角梯形 连接 ac，pa平面 abcd，paad，paac，pacd. p

15、aad2，pd2 2 . pc2 3 ，cd2pd2pc2，cdpd. papdp，cd平面 pad，则 cdad. bc平面 pad，bc平面 abcd，平面 pad平面 abcdad， bcad，则四边形 abcd 是直角梯形 再求直线 ae 与平面 pcd 所成角的正弦值 下同. 9如图，四棱锥 p- abcd 的底面是平行四边形，pdab，o是 ad的中点，boco. (1)求证：ab平面 pad； (2)若 ad2ab4，papd，点 m 在侧棱 pd 上，且 pd3md，二面角 p- bc- d 的大小为4 ，求直线 bp 与平面 mac所成角的正弦值 解析： (1)证明：在平行四

16、边形 abcd 中，设 n 是 bc 的中点，连接 on，如图， 因为 o，n 分别是 ad，bc 的中点，所以 abon. 又 boco，所以 onbc. 所以 abbc，又在平行四边形 abcd中，bcad，所以 abad. 又 abpd，且 pdadd，ad平面 pad，pd平面 pad， 故 ab平面 pad. (2)由(1)知 ab平面 pad， 又 ab平面 abcd， 于是平面 pad平面 abcd，连接 po，pn， 由 papd，可得 poad，则 pobc， 8 / 8 又 onbc，ponoo， 所以 bc平面 pno，所以 pnbc， 故二面角 p- bc- d的平面角为pno，则pno4 . 由此得 poab2. 以 o 为坐标原点，on，od，op 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 o- xyz. 则 a(0，2，0)，b(2，2，0)，c(2，2，0