高考数学二轮复习专题08立体几何中的计算(原卷版)

1、1 / 10 专题专题 08 立体几何中的计算立体几何中的计算 1、【2019 年江苏数】.如图，长方体1111abcdabc d的体积是 120，e为1cc的中点，则三棱锥 e-bcd的体积是_. 2、【2018 年高考江苏数】.如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_ 3、【2019 年高考全国卷文数】已知acb=90，p 为平面 abc 外一点，pc=2，点 p 到acb 两边ac，bc 的距离均为3，那么 p 到平面 abc 的距离为_ 4、【2019 年高考全国卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但

2、南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数2 / 10 为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 5、【2019 年高考全国卷文数】学生到工厂劳动实践，利用 3d 打印技术制作模型如图，该模型为长方体1111abcdabc d挖去四棱锥 oefgh 后所得的几何体，其中 o 为长方体的中心，e，f，g，h 分别为所在棱的中点，16cm4cmab= bc=aa =，3

3、d 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 6、【2019 年高考北京卷文数】已知 l，m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断： lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 7、【2019 年高考天津卷文数】已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_. 3 / 10 8、【2018 年高考全国 ii 卷文数】已知圆锥的顶点为s，母线sa，sb互相垂直，sa与圆锥底面所成角为30，若sab的

4、面积为8，则该圆锥的体积为_ 一、柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 圆柱 s侧2rh vshr2h 圆锥 s侧rl v13sh13r2h13r2l2r2 圆台 s侧(r1r2)l v13(s上s下 s上s下)h13(r21r22r1r2)h 直棱柱 s侧ch vsh 正棱锥 s侧12ch v13sh 正棱台 s侧12(cc)h v13(s上s下 s上s下)h 球 s球面4r2 v43r3 注意：(1)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面

5、积与底面圆的面积之和. 二、在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积. (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个4 / 10 平面上，将问题转化为平面上的最值问题. (2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上. 如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题. 三、

6、方法与技巧 (1)棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状. (2)要注意将空间问题转化为平面问题. (3)求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解. (4)一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决. 四、失误与防范 （1）几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系. （2）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切

7、于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 题型一 多面体的表面积与体积 求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。3、等积法：通过转换顶点，换成底面积或者高易求的几何体。 例 1、(2017 徐州、连云港、宿迁三检）如图，在正三棱柱111abcabc中，已知13abaa=，点p在棱1cc上，则三棱锥1paba的体积为 5 / 10 例 2、(2019 南京、盐城一模）如图，pa平面 abc，acbc，pa

8、4，ac 3，bc1，e，f 分别为ab，pc的中点，则三棱锥 befc的体积为_ 例 3、(2018 南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知正六棱柱的底面边长、高都为 4 cm，圆柱的底面积为 9 3 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为 6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_cm(不计损耗) a b c p a1 b1 c1 6 / 10 题型二 旋转体的表面积与体积 旋转体主要就是圆柱、圆锥、球等几何体，根据不同的几何体运用不同的求法。 例 4、(2019 苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为 2 的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何

9、体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_ 例 5、(2019 常州期末）已知圆锥 so，过 so 的中点 p 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱po，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱 po 的体积与圆锥 so 的体积的比值为_ 例 6、(2019 苏北四市、苏中三市三调） 已知直角梯形 abcd 中，abcd，abbc，ab=3 cm，bc=1 cm，cd=2 cm将此直角梯形绕 ab 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm3 7 / 10 例 7、(2018 盐城三模）若一圆锥的底面半径为 1，其侧面积是底面

10、积的 3 倍，则该圆锥的体积为 题型三 几何体展开与折叠问题 几何体的折叠问题和展开问题要紧紧抓住折叠或展开的前后过程中不变的量来处理。解决这类组合体的问题基本方法就是讲组合体分解若部分，分别计算。 例 8、(2018 南京、盐城、连云港二模）在边长为 4 的正方形 abcd 内剪去四个全等的等腰三角形(如图 1中阴影部分)，折叠成底面边长为 2的正四棱锥 sefgh(如图 2)，则正四棱锥 sefgh 的体积为_ （图 1） （图 2） 8 / 10 例 9、(2017 南京三模）如图，在直三棱柱 abca1b1c1中，ab1，bc2，bb13，abc90，点 d 为侧棱 bb1上的动点当

11、addc1最小时，三棱锥 dabc1的体积为 1、(2019 扬州期末）底面半径为 1，母线长为 3的圆锥的体积是_ 2、(2019 镇江期末） 已知一个圆锥的底面积为，侧面积为 2，则该圆锥的体积为_ 3、(2019 宿迁期末） 设圆锥的轴截面是一个边长为 2 cm 的正三角形，则该圆锥的体积为_ cm3. 4、(2019 南通、泰州、扬州一调） 已知正四棱柱的底面长是 3 cm，侧面的对角线长是 3 5 cm，则这个正四棱柱的体积为_cm3. 5、(2019 泰州期末） 如图，在直三棱柱 abca1b1c1中，点 m为棱 aa1的中点，记三棱锥 a1mbc的体积v1，四棱锥 a1bb1c1

12、c的体积为 v2，则v1v2的值是_ 6、(2019 通州、海门、启东期末）已知正三棱柱 abca1b1c1的各棱长均为 2，点 d 在棱 aa1上，则三a c b a1 b1 c1 d 9 / 10 椎锥 dbb1c1的体积为_ 7、(2018 无锡期末） 直三棱柱 abca1b1c1中，已知 abbc，ab3，bc4，aa15，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ 8、（2016 苏州期末）将半径为 5 的圆分割成面积之比为 123 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为 r1，r2，r3，则 r1r2r3_. 9、(2018 苏中三市、苏北四市三调）现

13、有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为1s,2s,则12ss的值为 10、(2018 常州期末）已知圆锥的高为 6，体积为 8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为_ 11、（2016 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）在体积为32的四面体 abcd 中，ab平面 bcd，ab1，bc2，bd3，则 cd长度的所有可能值为_ 12、(2016 苏锡常镇调研） 设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 v1，s1，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 v2，s2，若v1v23，则s1s2的值为_ 13、(2018 苏锡常镇调研）在棱长为 2 的正四面体pabc中，m，n分别为pa，bc的中点，点d是线段pn上一点，且2pddn=，则三棱锥dmbc的体积为 14、(2019 苏锡常镇调研（一） 已知圆柱的轴截面的对角线长为 2，则这个圆柱的侧面积的最大值为_ 10 / 10 15、（2016 无锡期末） 如图，在圆锥 vo