高考数学二轮复习专题09 基本不等式的应用(原卷版)

1、1 / 7 专题专题 09 基本不等式的应用 1、【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系xoy中，p是曲线4(0)yxxx=+上的一个动点，则点 p到直线 x+y=0 的距离的最小值是_. 2、【2019 年高考天津卷文数】设0,0,24xyxy+=，则(1)(21)xyxy+的最小值为_. 3、【2019年高考浙江卷】若0,0ab，则“4ab+”是 “4ab ”的（ ） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 4、【2018 年高考天津卷文数】（2018 天津文科）已知,a br，且360ab+=，则128ab+的最小值为 . 5、【2018 年

2、高考江苏卷】在abc中，角, ,a b c所对的边分别为, ,a b c，120abc=，abc的平分线交ac于点 d，且1bd =，则4ac+的最小值为_ 6、【2017 年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，2 / 7 一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_ 一、三个不等式关系： (1)a，br，a2b22ab，当且仅当 ab 时取等号 (2)a，br，ab2 ab，当且仅当 ab 时取等号 (3)a，br，a2b22(ab2)2，当且仅当 ab 时取等号 上述三个不等关系揭示了 a2b2 ，ab ，ab

3、 三者间的不等关系 其中，基本不等式及其变形：a，br，ab2 ab(或 ab(ab2)2)，当且仅当 ab 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值 二、.算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、.利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是 2p.(简记：积定和最小) (2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大) 四、对于 f(x)xax， 当

4、a0 时，f(x)在(，0)，(0，)为增函数； 当 a0 时，f(x)在(， a)，( a，)为增函数；在( a，0)，(0， a)为减函数 3 / 7 注意 在解答题中利用函数 f(x)xax的单调性时，需要利用导数进行证明 五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等 (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不

5、等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题。 题型一 运用消参法解决基本不等式中的最值问题 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 例 1、(2019 常州期末）已知正数 x，y满足 xyx1，则1xxy的最小值为_ 例 2、(2017 苏北四市期末） 若实数 x，y满足 xy3x30 x12，则3x1y3的最小值为_ 题型二、运用 1 的代换解决基本不等式中的最值问题 1 的代换就

6、是指凑出 1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。 4 / 7 例 3、(2019 扬州期末）已知正实数 x，y 满足 x4yxy0，若 xym恒成立，则实数 m 的取值范围为_ 例 4、（2019 年苏州学情调研）若正实数x y，满足1xy+=，则4yxy+的最小值是 例 5、（2013 徐州、宿迁三检）若0,0ab，且11121abb=+，则2ab+的最小值为 题型三 、运用双换元解决基本不等式中的最值问题 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系

7、。 例 6、(2017 苏州期末） 已知正数 x，y 满足 xy1，则4x21y1的最小值为_ 例 7、(2015 苏锡常镇、宿迁一调）已知实数 x，y 满足 xy0，且 xy2，则2x3y1xy的最小值为_ 题型四、基本不等式中多元问题的处理 多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：(1)多元最值首选消元：三元问题二元问题一元问5 / 7 题(2)二元最值考查频率高，解决策略如下：策略一：消元策略二：不好消元用基本不等式及其变形式，线性规划，三角换元（3）多元问题不好消元的时候可以减元，常见的减元策略：

8、策略一：齐次式同除减元策略二：整体思想代入消元或者减元 例 8、(2019 南京、盐城一模） 若正实数 a，b，c 满足 aba2b，abca2bc，则 c 的最大值为_ 例 9、(2018 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 已知 a，b，c 均为正数，且 abc4(ab)，则 abc的最小值为_ 题型五 基本不等式的综合运用 多变量式子的最值的求解的基本处理策略是“减元”或应用基本不等式，其中“减元策略”的常见方法有：通过消元以达到减少变量的个数，从而利用函数法或方程有解的条件来研究问题；通过“合并变元”以代换的方式来达到“减元”，一般地，关于多变元的“齐次式”多用此法而应用基本

9、不等式求最值时，要紧紧抓住“和”与“积”的关系来进行处理，为了凸现“和”与“积”的关系，可以通过换元的方法来简化问题的表现形式，从而达到更易处理的目的， 例 10、(2018 扬州期末） 已知正实数 x，y满足 5x24xyy21，则 12x28xyy2的最小值为_ 例 11、(2018 南京、盐城一模）若不等式 ksin2bsinasinc19sinbsinc对任意abc都成立，则实数 k的最小值为_ 1、(2018 苏锡常镇调研） 已知 a0, b0，且2a3b ab，则 ab的最小值是_ 6 / 7 2、(2017 苏北四市一模） 已知正数 a，b 满足1a9b ab5，则 ab的最小值

10、为_ 3、(2019 镇江期末） 已知 x0，y0，xy1x4y，则 xy 的最小值为_ 4、(2019 苏北三市期末） 已知 a0，b0，且 a3b1b1a，则 b 的最大值为_ 5、(2018 苏州期末） 已知正实数 a，b，c 满足1a1b1，1ab1c1，则 c的取值范围是_ 6、(2019 苏州三市、苏北四市二调）已知关于 x 的不等式 ax2bxc0(a，b，cr)的解集为x|3x4，则c25ab的最小值为_ 7、(2019 苏锡常镇调研（二）已知正实数 a，b 满足 ab1，则bbaa421222+的最小值为 8、(2018 苏锡常镇调研（二） 已知ab，为正实数，且()234()abab=，则11ab+的最小值为 9、(2017 无锡期末） 已知 a0，b0，c2，且 ab2，则acbcabc25c2的最小值为_ 7 / 7 10、(2017 苏州期末）已知正数 x，y满足 xy1，则4x21y1的最小值为_ 11、（2016苏州期末） 已知 ab14，a，b(0,1)，则11a21b的最小值为_ 12、(2016 徐州、连云港、宿迁三检）已知对满足 xy42xy 的任意正实数 x，y，都有 x22xyy2axay10，则实数 a 的取值范围是_ 13、（2016 苏锡常镇一调）若实数 x，y 满足 x24xy4y24x2y24，则当 x