高考数学二轮复习专题10 直线与圆的应用（解析版）

1、1 / 25 专题专题 10 直线与圆的应用直线与圆的应用 1、【2019 年高考北京卷文数】设抛物线 y2=4x 的焦点为 f，准线为 l则以 f 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为_ 【答案】22(1)4xy+= 【解析】抛物线 y2=4x中，2p=4，p=2， 焦点 f（1，0），准线 l的方程为 x=1， 以 f 为圆心，且与 l相切的圆的方程为(x1)2+y2=22，即为22(1)4xy+=. 2、【2019 年高考浙江卷】已知圆c的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230 xy+=与圆 c 相切于点( 2, 1)a ，则m=_，r=_ 【答案】2，5 【解析】由题意可知11:

2、1(2)22ackac yx= + = +，把(0,)m代入直线 ac 的方程得2m = ，此时|4 15rac=+=. 本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线ac的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m代入后求得m，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质. 3、【2019 年高考浙江卷】已知椭圆22195xy+=的左焦点为f，点p在椭圆上且在x轴的上方，若线段pf的中点在以原点o为圆心，of为半径的圆上，则直线pf的斜率是_ 【答案】15 2 / 25 【解析】方法 1：如图，设 f1为椭圆右焦点.由题意可知|=|2of

3、om |=c=， 由中位线定理可得12| 4pfom=，设( , )p x y，可得22(2)16xy+=， 与方程22195xy+=联立，可解得321,22xx= =（舍）， 又点p在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22p，所以1521512pfk=. 方法 2：（焦半径公式应用）由题意可知|2of |=|om |= c=， 由中位线定理可得12| 4pfom=，即342ppaexx= ， 从而可求得315,22p，所以1521512pfk=. 本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位

4、线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁. 4、【2018 年高考全国 i 卷文数】直线1yx=+与圆22230 xyy+=交于ab，两点，则3 / 25 ab =_ 【答案】2 2 【解析】根据题意，圆的方程可化为()2214xy+=，所以圆的圆心为()0, 1，且半径是 2， 根据点到直线的距离公式可以求得()220 1 1211d+ +=+ ， 结合圆中的特殊三角形，可知2 422 2ab =，故答案为2 2. 该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径

5、构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长. 5、【2018 年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_ 【答案】2220 xyx+= 【解析】设圆的方程为220 xydxeyf+=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0）， 则01 104020fdefdf=+ +=+=，解得200def= =，则圆的方程为2220 xyx+=. 6、【2019 年高考浙江卷】已知椭圆22195xy+=的左焦点为f

6、，点p在椭圆上且在x轴的上方，若线段pf的中点在以原点o为圆心，of为半径的圆上，则直线pf的斜率是_ 【答案】15 4 / 25 【解析】方法 1：如图，设 f1为椭圆右焦点.由题意可知|=|2ofom |=c=， 由中位线定理可得12| 4pfom=，设( , )p x y，可得22(2)16xy+=， 与方程22195xy+=联立，可解得321,22xx= =（舍）， 又点p在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22p，所以1521512pfk=. 方法 2：（焦半径公式应用）由题意可知|2of |=|om |= c=， 由中位线定理可得12| 4pfom=，即342ppaexx= ， 从

7、而可求得315,22p，所以1521512pfk=. 本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁. 7、【2018 年高考全国 i 卷文数】直线1yx=+与圆22230 xyy+=交于ab，两点，则5 / 25 ab =_ 【答案】2 2 【解析】根据题意，圆的方程可化为()2214xy+=，所以圆的圆心为()0, 1，且半径是 2， 根据点到直线的距离公式可以求得()220 1 1

8、211d+ +=+ ， 结合圆中的特殊三角形，可知2 422 2ab =，故答案为2 2. 8、【2018 年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_ 【答案】2220 xyx+= 【解析】设圆的方程为220 xydxeyf+=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0）， 则01 104020fdefdf=+ +=+=，解得200def= =，则圆的方程为2220 xyx+=. 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，

9、切点与两圆心三点共线 (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式 9、【2018 年高考全国卷文数】直线20 xy+=分别与x轴，y轴交于a，b两点，点p在圆6 / 25 22(2)2xy+=上，则abp面积的取值范围是 a26， b48， c23 2， d2 23 2， 【答案】a 【解析】直线20 xy+=分别与x轴，y轴交于a，b两点，()()2,0 ,0, 2ab，则2 2ab =. 点 p 在圆22(2)2xy+=上，圆心为（2，0）

10、，则圆心到直线的距离12022 22d+=. 故点 p 到直线20 xy+=的距离2d的范围为2,3 2，则22122,62abpsab dd=. 故答案为 a. 本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出 a，b 两点坐标得到ab ，再计算圆心到直线的距离，得到点 p 到直线距离的范围，由面积公式计算即可. 10、【2019 年高考全国卷文数】已知点 a，b 关于坐标原点 o 对称，ab=4，m 过点 a，b 且与直线x+2=0 相切 （1）若 a 在直线 x+y=0 上，求m 的半径； （2）是否存在定点 p，使得当 a 运动时，mamp为定值？并

11、说明理由 【答案】（1）m的半径=2r或=6r；（2）存在，理由见解析. 【解析】（1）因为m过点,a b，所以圆心 m 在 ab 的垂直平分线上.由已知 a 在直线+ =0 x y上，且,a b关于坐标原点 o 对称，所以 m 在直线yx=上，故可设( , )m a a. 因为m与直线x+2=0相切，所以m的半径为|2|ra=+. 7 / 25 由已知得|=2ao，又moao，故可得2224(2)aa+=+，解得=0a或=4a. 故m的半径=2r或=6r. （2）存在定点(1,0)p，使得|mamp为定值. 理由如下： 设( , )m x y，由已知得m的半径为=| +2|,|=2rxao.

12、 由于moao，故可得2224(2)xyx+=+，化简得m的轨迹方程为24yx=. 因为曲线2:4c yx=是以点(1,0)p为焦点，以直线1x = 为准线的抛物线，所以|= +1mp x. 因为| |=|= +2( +1)=1mamp rmp xx，所以存在满足条件的定点p. 【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解. 一、圆的有关概念和方程 1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 2、圆的标准方程：设圆心的坐标(),c

13、a b，半径为r，则圆的标准方程为：()()222xaybr+= 3、圆的一般方程：圆方程为220 xydxeyf+= （1）22,xy的系数相同（2）方程中无xy项（3）对于,d e f的取值要求：2240def+ 4、确定圆的方程的方法和步骤;确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或d、e、f的方程组； 8 / 25 (3)解出a、b、r或d、e、f代入标准方程或一般方程. 5.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点m(x0，y0) (1)点在圆上：(x0a)2(

14、y0b)2r2； (2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2； (3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20)要确定两个待定量 a，r2的值，只需建立两个含 a，r2的等式，建立方程组求解由圆 c 过点a(2，1)，且与直线 xy1相切，得（2a）2（12a）2r2，|a2a1|2r， 即5a28a5r2，a22a12r2，解得a1，r22.所以圆 c的标准方程为(x1)2(y2)22. 例 2、(2018 镇江期末）已知圆 c 与圆 x2y210 x10y0 相切于原点，且过点 a(0，6)，则圆 c 的标准方程为_ 【答案】 (x3)2(y3)218 【解析】由几何知识可知，圆心 c 在圆

15、 x2y210 x10y0 的圆心与原点的连线 yx 上，又在 oa的垂直平分线 y3上，所以 c(3，3)，易得圆 c 的标准方程为(x3)2(y3)218. 例 3、(2019 苏州期末） 在平面直角坐标系 xoy 中，过点 a(1，3)，b(4，6)，且圆心在直线 x2y10上的圆的标准方程为_ 【答案】 (x5)2(y2)217 【解析】思路分析 由圆心既的线段 ab 的垂直平分线上，又在直线 x2y10 上，先求出圆心的坐标 线段 ab 的中点为 m52，92，斜率 kab1，所以线段 ab 的垂直平分线方程为 y92x52，即 xy7. 由xy7，x2y1，得圆心 c(5，2)，半

16、径 rca 17，圆 c 的方程为(x5)2(y2)217. 11 / 25 解后反思 因为圆的标准方程中有三个待定量，所以只要建立一个含三个方程的方程组 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则（1a）2（3b）2r2，（4a）2（6b）2r2，a2b10，解得a5，b2，r217. 所以圆的方程为(x5)2(y2)217. 题型二 直线与圆的位置关系 直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：1、代数法。2、几何法。运用几何法时要注意寻找直角三角形。 例 4、(2019 南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系 xoy中，圆 o：x2y21，圆 c：(x4)2y

17、24.若存在过点 p(m，0)的直线 l，直线 l被两圆截得的弦长相等，则实数 m的取值范围是_ 【答案】 4，43 【解析】当直线 l 斜率不存在时，l 与两个圆不可能都相交，故不成立；当 l 斜率存在时，设 l 的方程为 yk(xm)，即 kxykm0，设圆 o、圆 c到直线 l的距离分别为 d1，d2，则有：1d214d22，即d22d213，所以|4kkm|21k2|km|21k23，整理得 168m33k23，解得 m138，又直线与圆相交，所以 d11，则|km|21k21，即 m21k2k2，所以m2168m3，即 3m28m160，解得4m43，综上实数 m的取值范围是4，43

18、 . 解题反思 1. 设直线方程时，要考虑斜率是否存在，否则会漏解，当然本题也可以设直线 l 的方程为 xmya，从而避免了斜率的讨论 2. 本题不能忽视了对直线与圆相交这一条件的应用，即 dr 这一不等关系，而由于 1d214d22，故只需 d11 就能保证 d20)上存在点 p，且点 p关于直线 xy0 的对称点 q在圆 c2：(x2)2(y1)21 上，则 r 的取值范围是_ 【答案】. 21， 21 【解析】设圆 c1上存在点 p(x0，y0)满足题意，点 p关于直线 xy0的对称点 q(y0，x0)， 则x20（y01）2r2，（y02）2（x01）21，故只需圆 x2(y1)2r2

19、与圆(x1)2(y2)21 有交点即可，所以|r1| （10）2（21）2r1，解得 21r 21. 6、(2018 苏州暑假测试） 已知点 a(1，0)和点 b(0，1)，若圆 x2y24x2yt0 上恰有两个不同的点p，使得pab的面积为12，则实数 t的取值范围是_ 【答案】. 12，92 【解析】思路分析 题设“圆 x2y24x2yt0 上恰有两个不同的点 p，使得pab 的面积为12”等价于“圆上有且只有两个点到直线 ab 的距离为22”，进而思考圆心到直线 ab 的距离在什么范围内符20 / 25 合题意 圆 x2y24x2yt0 的方程可化为(x2)2(y1)25t，设点 p 到

20、直线 ab 的距离为 h，则 spab12 2h12，解得 h22，而圆心到直线 ab 的距离为 2，欲使得圆 x2y24x2yt0 上恰有两个不同的点 p，使得pab 的面积为12，则需要圆上有且只有两个点到直线 ab的距离为22，故圆的半径5t222， 222，解得 t12，92. 7、(2018 南京学情调研）在平面直角坐标系 xoy 中，若圆(x2)2(y2)21 上存在点 m，使得点 m 关于 x轴的对称点 n在直线 kxy30上，则实数 k的最小值为_ 【答案】43 【解析】思路分析 “圆(x2)2(y2)21 上存在点 m，使得点 m 关于 x轴的对称点 n在直线 kxy30 上

21、”等价于“圆(x2)2(y2)21 关于 x轴的对称圆与直线 kxy30 有公共点” 圆(x2)2(y2)21 关于 x 轴的对称圆的方程为(x2)2(y2)21，由题意得圆心(2，2)到直线kxy30的距离 d|2k23|k211，解得43k0，所以实数 k的最小值为43. 8、(2019 泰州期末）在平面直角坐标系 xoy 中，过圆 c1：(xk)2(yk4)21 上任一点 p 作圆 c2：x2y21 的一条切线，切点为 q，则当线段 pq长最小时，k_ 【答案】2 【解析】如下图，因为 pq 为切线，所以，pqc2q，由勾股定理得：pq pc221，要使 pq 最小，则需 pc2最小，显

22、然当点 p 为 c1c2与圆 c1的一个交点时，pc2最小，此时，pc2c1c21，所以当c1c2最小时，pc2就最小，c1c2 k2（k4）2 2（k2）282 2. 当 k2时，c1c2最小，得到 pq最小 21 / 25 解题反思 本题考查圆的切线长的问题，主要考查了转化与化归的思想切线长通常用勾股定理来求解，这样问题就转化为求圆外一点与圆上一点距离的最小值，而这种距离的最值问题，是圆的考查中常见的知识点 9、(2019 苏锡常镇调研（一）若直线 l：axy4a0 上存在相距为 2 的两个动点 a，b，圆 o：x2y21上存在点 c，使得abc 为等腰直角三角形(c为直角顶点)，则实数

23、a的取值范围为_ 【答案】. 33，33 【解析】思路分析 根据条件可以确定点 c 的另一轨迹为圆，进而将问题转化为两个圆的位置关系解决 记线段 ab 的中点为 m，因为abc 为等腰直角三角形(c 为直角顶点)，所以点 c在以 m为圆心，半径为 1 的圆上，又因为点 c 在圆 o 上，所以圆 m 和圆 o 有公共点，即 0om2，故圆心 o 到直线 l 的距离 d|4a|a212，解得33a33，所以实数 a的取值范围为33，33. 10、(2019 苏锡常镇调研（二）过直线 l：2yx=上任意点 p 作圆 c：221xy+=的两条切线，切点分别为 a，b，当切线最小时，pab的面积为 【答

24、案】.21 【解析】因为1222=oproppa，所以当op最小时，切线长pa最小.op的最小值即点o到直线l的距离2) 1(120022=+=d，所以1min=pa，此时pab为等腰直角三角形，所以pab的面积.2121=pbpas 11、(2019 镇江期末） 已知圆 o：x2y21，圆 m：(xa)2(y2)22.若圆 m 上存在点 p，过点 p作圆22 / 25 o 的两条切线，切点为 a，b，使得 papb，则实数 a的取值范围为_ 【答案】 【解析】思路分析 考察点 p的轨迹 c，轨迹 c与圆 m有公共点利用圆与圆的位置关系求解 由 papb，paao，pbob，papb，得四边形

25、 paob 是正方形，所以 p 的轨迹是以原点 o 为圆心， 2为半径的圆 又点 p 也在圆 m上，所以 om 2 2，得 a2228，解得2a2. 解后反思 本题是“隐圆”问题，是江苏卷一大特色，通过圆与圆的位置关系，较好地实现了代数问题与几何问题的相互转化 12、(2018 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系 xoy 中，若动圆 c 上的点都在不等式组x3，x 3y30 x 3y30，表示的平面区域内，则面积最大的圆 c 的标准方程为_ 【答案】 (x1)2y24 【解析】首先由线性约束条件作出可行域，面积最大的圆 c 即为可行域三角形的内切圆(如图)，由对称性可

26、知，圆 c的圆心在 x 轴上，设半径为 r，则圆心 c(3r，0)，且它与直线 x 3y30 相切，所以|3r3|13r，解得 r2，所以面积最大的圆 c的标准方程为(x1)2y24. 13、(2018 南京、盐城一模）在平面直角坐标系 xoy 中，若直线 yk(x3 3)上存在一点 p，圆 x2(y1)21上存在一点 q，满足op3oq，则实数 k的最小值为_ 23 / 25 【答案】 3 【解析】思路分析 由于点 q 在圆上运动，导致点 p 也随之移动，所以可以根据op3oq，得出点 p的轨迹方程，从而转化为直线与曲线的位置关系问题 设点 p(x，y)，由op3oq可得 qx3，y3.又点

27、 q在圆 x2(y1)21上，可得x32y3121，即 x2(y3)29，所以点 p 既在圆 x2(y3)29上，又在直线 yk(x3 3)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离 d|33 3k1k23，解得 3k0. 14、(2019 常州期末）过原点的直线 l 与圆 x2y21 交于 p，q 两点，点 a 是该圆与 x 轴负半轴的交点，以 aq 为直径的圆与直线 l 有异于 q 的交点 n，且直线 an 与直线 ap 的斜率之积等于 1，那么直线 l的方程为_ 【答案】. y 3x 【解析】思路分析由 pq 为圆的直径可得 apaq，从而得圆中 kapkaq1，结合条件 kankap1 得出 kaqkan，从而得出角相等，围绕几何性质，解出本题或者抓住 anpq，设点 p 坐标即可 解法 1