高考数学二轮复习专题35 不等式（同步练习）（文）（解析版）

1、1 / 9 专题专题 35 不等式不等式（同步练习同步练习） 一、一、判断两个数的大小和不等式证明判断两个数的大小和不等式证明 例 1-1已知a、b为正数，且ba ，比较33ba +与22abba+。 【解析】)()()()(2222332233babbaaabbabaabbaba=+=+ )()()(222babababa+=， 0a，0b且ba ，0)(2ba，0+ba， 0)()(2233+abbaba，即2233abbaba+。 作差法比较两个数大小时做差后变形的方法： 因式分解；配方；通分；对数与指数的运算性质；分母或分子有理化；分类讨论。 变式 1-1-1比较aa+1与1aa的大小

2、，其中1a。 【解析】0)1)(1(111111)1()1(+=+=+aaaaaaaaaaaaaa， 11+aaaa。 变式 1-1-2比较43aa与54aa的大小，其中5a。 【解析】42)53()54()43(+=aaaaaaa， 又053+aa且042a， 则)5)(3(2825)5)(3(23)53(2+=+=+aaaaaaaaa， )4(282164)42(2+=aaaa， 又158 )5)(3(22+=aaaa，168)4(2+=aaa， 5443aaaa。 例 1-2已知0a，试比较a与a1的大小。 【解析】aaaaaaa) 1)(1(112+=，0a， 当1a时，0) 1)(1

3、(+aaa，有aa1， 当1=a时，0) 1)(1(=+aaa，有aa1=， 当10 a时，0) 1)(1(+aaa，有aa1， 2 / 9 综上，当1a时，aa1，当1=a时，aa1=，当10 a时，aa1。 变式 1-2比较) 1(log3+aa与) 1(log2+aa的大小，其中0a且1a。 【解析】11log) 1(log) 1(log2323+=+aaaaaaa， 当1a时，1123+aa，11123+aa，011log23+aaa，) 1(log) 1(log22+aaaa， 当10 a时，1123+aa，111023+aa，011log23+aaa，) 1(log) 1(log2

4、2+aaaa。 综上当0a且1a时，) 1(log) 1(log22+aaaa。 例 1-3已知22，试求2的取值范围。 【解析】22，22，22， ，又，0，0， 022，2的取值范围是)0 ,2。 变式 1-3设bxaxxf+=2)(且2) 1(1 f，4) 1 (2 f，求)2(f的取值范围。 【解析】法一：设) 1 () 1()2(nfmff+=(m、n为待定系数)， 则bmnanmbanbamba)()()()(24+=+=， 于是得4=+ nm，2=nm，解得3=m，1=n， ) 1 () 1(3)2(fff+=，又2) 1(1 f，4) 1 (2 f， 10) 1 () 1(35

5、+ff，即)2(f的取值范围是10, 5。 法二：由baf= ) 1(，baf+=) 1 (得：)1 () 1(21ffa+=，)1() 1 (21=ffb， ) 1 () 1(324)2(ffbaf+=，又2) 1(1 f，4) 1 (2 f， 10) 1 () 1(35+ff，即)2(f的取值范围是10, 5。 利用不等式的性质证明不等式注意事项： (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。 (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随

6、意构造性质与法则。 利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题： 3 / 9 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质。 (2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由ba 及dc ，推不出bdac ；由ba ，推不出22ba 等。 (3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误。 二二、解一元二次不等式解一元二次不等式 例 2-1解下列关于x的不等式： (1)1222+aaxx；(2)012+axx；(3)0) 1(2+axax。 【解析】(1)原不等式可化为0)1()1(+axax，原不等式的解集为 1, 1+a

7、a。 (2)42=a；当0=，即2=a或2时，原不等式解集为),2()2,(+aa， 当0，即2a或2a时， 原不等式解集为),24()24,(22+aaaa， 当0，即22a时，原不等式解集为r； (3)0)(1(axx，当1a时，原不等式解集为), 1 ( a； 当1a时，原不等式解集为) 1 ,(a； 当1=a时，原不等式解集为。 例 2-2解关于x的不等式：01)1(2+xaax(0a)。 【解析】原不等式化为0)1)(axax， 1=a或1=a时，解集为； 当10 a或1a时，aa1，解集为)1,(aa； 当1a或01a时，aa1，解集为),1(aa。 例 2-3解关于x的不等式：0

8、)(322+axaax(ra)。 【解析】原不等式化为0)(2axax， 当0a或1a时解集为),(),(2+aa ； 当0=a时解集为), 0()0 ,(+； 当10 a时解集为),(),(2+aa； 当1=a时解集为), 1 () 1 ,(+。 三三、线性规划线性规划 例 3-1以下各点不在623+yx表示的平面区域内的是( )。 4 / 9 a、)0 , 0( b、) 1 , 1 ( c、)2 , 0( d、)0 , 2( 【答案】d 【解析】将点的坐标代入，abc均满足上述不等式，故选 d。 例 3-2已知点)2 , 1 (和点) 1 , 1 (在直线03=mxy的异侧，则m的取值范围

9、是( )。 a、) 1, 2( b、)0 , 1( c、), 0( + d、)3 , 1 ( 【答案】a 【解析】要使)2 , 1 (、) 1 , 1 (两点在03=mxy的异侧， 则代入后它们的符号相异，由此得到关于m的不等式：0)2()1(mm， 即0)2() 1(+mm，解得12m，故m的范围为) 1, 2(，故选 a。 例 3-3设x、y满足约束条件+05301307yxyxyx，则yxz= 2的最大值为( )。 a、2 b、3 c、8 d、10 【答案】c 【解析】画可行域，由yxz= 2，得zxy= 2，欲求z的最大值， 可将直线xy2=向下平移，当经过区域内的点， 且满足在y轴上

10、的截距z最小时，即得z的最大值， 如图可知当过点a时z最大， 由=+=+01307yxyx得=25yx即)2 , 5(a，8252max=z，故选 c。 例 3-4已知变量x、y满足约束条件+083012043yxyxyx，目标函数ayxz+=(0a)仅在点)2 , 2(处取得最大值，则a的范围为( )。 a、)31, 0( b、)21, 0( c、),31+ d、),31(+ 【答案】d 【解析】画出已知约束条件的可行域为abc内部(包括边界)，如图， 易知当0=a时，不符合题意， 当0a时，由目标函数ayxz+=得azxay+=1， 则由题意得akac13=，31a，故选 d。 5 / 9

11、 例 3-5已知x、y满足约束条件+000yyxyx，若yaxz+=的最大值为4，则=a( )。 a、3 b、2 c、2 d、3 【答案】c 【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，易知)0 , 2(a， 由=+=20yxyx得) 1 , 1 (b，由yaxz+=，得zaxy+=， 当3=a或2=a时，yaxz+=在)0 , 0(o处取得最大值， 最大值为0max=z，不满足题意，排除 a、b选项， 当2=a或3时，yaxz+=在)0 , 2(a处取得最大值，42 =a，2=a，排除 d，故选 c。 四四、基本不等式基本不等式 例 4-1已知0 x，0y，且1=+ yx，则yx43+的

12、最小值为( )。 a、327 + b、347 + c、367 + d、387 + 【答案】b 【解析】0 x，0y，且1=+ yx， 3474327437)()43(43+=+=+=+yxxyyxxyyxyxyx， 当且仅当yxxy43=，即yx32 =时等号成立，yx43+的最小值为347 +，故选 b。 变式 4-1已知0a，0b，且12 =+ ba，则ba11+的最小值为( )。 a、223+ b、243+ c、263+ d、283+ 【答案】a 【解析】0a，0b，223221)11)(2(11+=+=+abbabababa， 即最小值为223+，故选 a。 例 4-2已知xxy+=2

13、4(2x)，则y的取值范围为( )。 a、), 44,(+ b、2,( c、), 0 + d、),6+ 【答案】b 【解析】当2x时，02 x， 6 / 9 22)2(2422)2(242)2(2424=+=+=+xxxxxxxx， 当且仅当xx=224，即0=a时取等号，y的取值范围为2,(，故选 b。 变式 4-2已知24+=xxy，则y的取值范围为( )。 a、), 26,(+ b、), 44,(+ c、), 22,(+ d、), 2 + 【答案】a 【解析】224)2(24+=+=xxxxy， 若02 +x，则424)2(224)2(=+xxxx， 若02 +x，则424)2(224)

14、2(=+xxxx， y的取值范围为), 26,(+，故选 a。 例 4-3已知)4(xxy=，则y的取值范围为( )。 a、6,( b、), 26,(+ c、4 ,( d、), 6 + 【答案】c 【解析】rx，rx4，4)24()4(2=+=xxxxy，y的取值范围为4 ,(，故选c。 变式 4-3当40 x时，则)28(xxy=的最大值为( )。 a、2 b、4 c、6 d、8 【答案】d 【解析】40 x，028 x，22)28(2)28(22xxxxy+=，8y，即最大值为8，故选d。 例 4-4已知两正数x、y满足1=+ yx，则)1)(1(yyxxz+=的最小值为( )。 a、2

15、b、222 c、4 d、425 【答案】d 【解析】222)(11)1)(1(2+=+=+=+=xyxyxyxyyxxyxyyxxyxyxyyyxxz， 令xyt =，则41)2(02=+=yxxyt， 7 / 9 又tt+2在41, 0(上的最小值为当41=t时，最小值为433418=+， 当21= yx时z有最小值425，故选 d。 误区警示： (1)在利用基本不等式求最值时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因。如132+=xxy(0 x)有最大值621而不是有最小值621+。 (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号

16、成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错。 变式 4-4已知0 yx，1=xy，求yxyx+22的最小值及相应的x、y的值。 【解析】yxyxyxyxyxxyxyyxyxyx+=+=+=+2)(2)(2222222， 0 yx，0 yx，222)(+yxyx，且当yxyx=2时等号成立， 226 +=x，226 =y。 例 4-5如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。 (1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为242m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 【解析】(1)设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件，知3664=+yx，即1832=+ yx， 设每间虎笼的面积为s，则xys