高考数学二轮复习专题58 复数（知识梳理）（文）（解析版）

1、1 / 5 专题专题 58 复数（知识梳理）复数（知识梳理） 一、复数的概念一、复数的概念 1、虚数单位i： (1)它的平方等于1，即12=i； (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； (3)i与1的关系：i就是1的一个平方根，即方程12=x的一个根，方程12=x的另一个根是i； (4)i的周期性：iin=+14、124=+ni、iin=+34、14=ni。 2、数系的扩充：复数+=+=+)0()0()0()0(abiaabibbiababia非纯虚数纯虚数虚数实数。 3、复数的定义：形如bia +(rba、)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部。全体

2、复数所成的集合叫做复数集，用字母c表示。 4、复数的代数形式： 通常用字母z表示，即biaz+=(rba、)，把复数表示成bia +的形式，叫做复数的代数形式。 5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数bia +(rba、)， 当且仅当0=b时，复数bia +(rba、)是实数a， 当0b时，复数biaz+=叫做虚数， 当0=a且0b时，biz =叫做纯虚数， 当且仅当0= ba时，z就是实数0。 6、复数集与其它数集之间的关系：n z q r c。 7、两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。 这就是说，如果a、b、c、rd ，那么dicb

3、ia+=+ca=、db =。 例 1-1设i为虚数单位，则下列命题成立的是( )。 a、ra，复数ia3是纯虚数 b、在复平面内)2(ii对应的点位于第三象限 c、若复数iz21=，则存在复数1z，使得rzz1 d、rx，方程02=+ixx无解 【答案】c 【解析】a选项，只有当3=a时，复数ia3是纯虚数，错， b选项，12)2(+=iii，对应的点位于第一象限，错， c选项，若复数iz21=，则存在复数iz211+=，使得rzz1，对， 2 / 5 d选项，0=x，方程02=+ixx成立，错，c正确。 例 1-2若复数2)1(iiz=(i为虚数单位)，则= | z( )。 a、21 b、2

4、2 c、1 d、2 【答案】a 【解析】iiiiz2121)1(2=，21|21|=iz，故选 a。 例 1-3已知ra，i为虚数单位，若iia+1为纯虚数，则a的值为 。 【答案】1 【解析】由题意得2) 1()1)(1 ()1)(1iaiaiiiiaiia+=+=+，iia+1为纯虚数，+=0101aa，解得1=a。 二、复数的几何意义二、复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 复数biaz+=(rba、)与有序实数对)(ba，是一一对应关系。 建立一一对应的关系。点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数biaz+=(rba、)可用点)(baz，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复

5、平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数。 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为)00( ，它所确定的复数是000=+=iz表示是实数。 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2、复数biaz+=一一对应复平面内的点)(baz，。 这就是复数的一种几何意义。也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 3、复数的模：复数biaz+=(rba、)的模就是其在复平面内的点)(baz，到原点)00( ，的距离。22|baz+=。 4、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 复数biaz+=(rba、)的共轭复数为

6、biaz=(rba、)。 3 / 5 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 例 2-1复数iiz21+=在复平面内对应的点位于( )。 a、第一象限 b、第二象限 c、第三象限 d、第四象限 【答案】b 【解析】iiiiz21212121+=+=+=，在复平面对应的点的坐标为)2121(，位于第二象限，故选b。 例 2-2设复数z满足iiz21+=，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于( )。 a、第一象限 b、第二象限 c、第三象限 d、第四象限 【答案】a 【解析】由iiz21+=得iiiiiiz=+=+=2)()21 (212，iz+= 2， z在复平面内对应的点的坐标为)

7、12( ，位于第一象限，故选 a。 例 2-3设复数iz21+=(i是虚数单位)，则在复平面内，复数2z对应的点的坐标为( )。 a、)23(， b、)43(， c、)43( ， d、)45( ， 【答案】b 【解析】iz21+=，iiiz43441)21 (22+=+=+=，复数2z对应的点为)43(，故选 b。 三、复数的四则运算三、复数的四则运算 设biaz+=1、dicz+=1 (a、b、c、rd )是任意两个复数： 1、复数1z与2z的和的定义：idbcadicbiazz)()()()(21+=+=+。 (1)复数的加法运算满足交换律：1221zzzz+=+。 (2)复数的加法运算满

8、足结合律：)()(321321zzzzzz+=+。 2、复数1z与2z的差的定义：idbcadicbiazz)()()()(21+=+=+。 4 / 5 3、乘法运算规则：iadbcbdacdicbiazz)()()()(21+=+=， 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i换成1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 乘法运算律： (1)()(321321zzzzzz=； (2)3121321)(zzzzzzz+=。 4、复数除法的定义： 满足)()()(biayixdic+=+的复数yix+(ryx、)叫复数bia +除以复数dic +的商， 记

9、为：)()(dicbia+或者dicbia+。 (1)除法运算规则：设复数bia +(rba、)，除以dic +(c、rd )，其商为yix+(ryx、)， 即yixdicbia+=+)()(，icydxdycxdicyix)()()()(+=+， biaicydxdycx+=+)()(， 由复数相等定义可知=+=bcydxadycx，解这个方程组，得+=+=2222dcadbcydcbdacx， 于是有：idcadbcdcbdacdicbia2222)()(+=+； (2)利用22)()(dcdicdic+=+于是将dicbia+的分母有理化得： 原式idcadbcdcbdacdciadbc

10、bdacdicdicdicbiadicbia222222)()()()(+=+=+=+=， idcadbcdcbdacdicbia2222)()(+=+； 点评：是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数dic +与复数dic ，相当于我们初中学习的23 +的对偶式23 ，它们之积为1是有理数，而22)()(dcdicdic+=+是正实数。所以可以分母实数化。 把这种方法叫做分母实数化法。 例 3-1设i为虚数单位，复数=+ii1111( )。 a、i b、i c、1 d、1 【答案】d 5 / 5 【解析】122)1)(1 (111111=+=+iiiiii，故选 d。 例 3-2在复平面内，复数1z和2z对应的点分别是) 12( ，a和) 10( ，b，则=21zz( )。 a、i 21 b、i 21+ c、i 21 d、i