高考数学二轮复习专题二 第7讲三角恒等变换与解三角形

1、 第第 7 讲讲 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形 考情分析考情分析 1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为工具，将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题.2.单独考查可出现在选择题、填空题中，综合考查以解答题为主，中等难度 考点一 三角恒等变换 核心提炼 1三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角” 2三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1sin2cos2tan 45 等 (2)项的拆分与角的配凑：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等 (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降

2、次 (4)弦、切互化 例 1 (1)(2020 全国)已知 (0，)，且 3cos 28cos 5，则 sin 等于( ) a.53 b.23 c.13 d.59 答案 a 解析 由 3cos 28cos 5， 得 3(2cos21)8cos 5， 即 3cos24cos 40， 解得 cos 23或 cos 2(舍去) 又因为 (0，)，所以 sin 0， 所以 sin 1cos2123253. (2)已知 sin 55，sin()1010， 均为锐角，则 等于( ) a.512 b.3 c.4 d.6 答案 c 解析 因为 ， 均为锐角，所以22. 又 sin()1010，所以 cos()

3、3 1010. 又 sin 55，所以 cos 2 55， 所以 sin sin() sin cos()cos sin() 553 10102 55101022. 所以 4. 易错提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况 (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解 跟踪演练 1 (1)已知 0，2，0，2，tan cos 21sin 2，则( ) a2 b4 c4 d22 答案 b 解析 tan cos 21sin 2cos2sin2cos2sin22sin cos (cos sin )(co

4、s sin )(cos sin )2 cos sin cos sin 1tan 1tan tan4 ， 因为 0，2，0，2， 所以 4，即 4. (2)(tan 10 3)cos 10sin 50_. 答案 2 解析 (tan 10 3)cos 10sin 50(tan 10 tan 60 )cos 10sin 50sin 10cos 10sin 60cos 60cos 10sin 50sin(50 )cos 10 cos 60cos 10sin 501cos 602. 考点二 正弦定理、余弦定理 核心提炼 1正弦定理：在abc 中，asin absin bcsin c2r(r 为abc 的

5、外接圆半径)变形：a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c，sin aa2r，sin bb2r，sin cc2r，abcsin asin bsin c等 2余弦定理：在abc中，a2b2c22bccos a. 变形：b2c2a22bccos a，cos ab2c2a22bc. 3三角形的面积公式：s12absin c12acsin b12bcsin a. 考向 1 求解三角形中的角、边 例 2 在abc中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且asin c1cos a 3c. (1)求角 a的大小； (2)若 bc10，abc 的面积 sabc4 3，求 a 的值 解 (1)

6、由正弦定理及asin c1cos a 3c， 得sin asin c1cos a 3sin c， sin c0，sin a 3(1cos a)， sin a 3cos a2sina3 3， sina332， 又 0a，3a343， a323，a3. (2)sabc12bcsin a34bc4 3，bc16. 由余弦定理，得 a2b2c22bccos 3(bc)22bcbc(bc)23bc， 又 bc10，a210231652，a2 13. 考向 2 求解三角形中的最值与范围问题 例 3 (2020 新高考测评联盟联考)在：a 3csin aacos c，(2ab)sin a(2ba)sin b

7、2csin c这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答 已知abc 的角 a，b，c的对边分别为 a，b，c，c 3，而且_ (1)求角 c； (2)求abc周长的最大值 解 (1)选：因为 a 3csin aacos c， 所以 sin a 3sin csin asin acos c， 因为 sin a0，所以 3sin ccos c1， 即 sinc612， 因为 0c，所以6c656， 所以 c66，即 c3. 选：因为(2ab)sin a(2ba)sin b2csin c， 所以(2ab)a(2ba)b2c2， 即 a2b2c2ab， 所以 cos ca2b2c22ab12， 因

8、为 0c，所以 c3. (2)由(1)可知，c3， 在abc中，由余弦定理得 a2b22abcos c3，即 a2b2ab3， 所以(ab)233ab3(ab)24， 所以 ab2 3，当且仅当 ab时等号成立， 所以 abc3 3，即abc周长的最大值为 3 3. 规律方法 (1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性 (2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围 跟踪

9、演练 2 (1)在abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c.若abc 的面积为 s，且 a1,4sb2c21，则abc 外接圆的面积为( ) a4 b2 c d.2 答案 d 解析 由余弦定理得，b2c2a22bccos a，a1， 所以 b2c212bccos a， 又 s12bcsin a,4sb2c21， 所以 412bcsin a2bccos a， 即 sin acos a，所以 a4， 由正弦定理得，1sin42r，得 r22， 所以abc 外接圆的面积为2. (2)在abc中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，若 a3b，则ab的取值范围是( ) a(0,3

10、) b(1,3) c(0,1 d(1,2 答案 b 解 析 a 3b sin asin bsin 3bsin bsin(2bb)sin bsin 2bcos bcos 2bsin bsin b2sin bcos2bcos 2bsin bsin b2cos2bcos 2b2cos 2b1，即absin asin b2cos 2b1， 又 ab(0，)，即 4b(0，)2b0，2cos 2b(0,1)，ab(1,3) (3)在abc中，内角 a，b，c所对的边分别为 a，b，c，若 tan c125，ab 13，bc边上的中点为 d，则 sinbac_，ad_. 答案 3 1313 3 52 解析

11、 因为 tan c125，所以 sin c1213，cos c513， 又 ab 13，所以 c2a2b22abcos c13132 13 1351316，所以 c4. 由asinbaccsin c，得13sinbac41213， 解得 sinbac3 1313. 因为 bc 边上的中点为 d，所以 cda2， 所以在acd中，ad2b2a222 ba2 cos c454，所以 ad3 52. 专题强化练专题强化练 一、单项选择题 1(2020 全国)在abc中，cos c23，ac4，bc3，则 cos b等于( ) a.19 b.13 c.12 d.23 答案 a 解析 由余弦定理得 ab

12、2ac2bc22ac bccos c4232243239，所以 ab3， 所以 cos bab2bc2ac22ab bc991623319. 2(2020 全国)已知 sin sin31，则 sin6等于( ) a.12 b.33 c.23 d.22 答案 b 解析 因为 sin sin3 sin66sin66 sin6cos 6cos6sin 6 sin6cos 6cos6sin 6 2sin6cos 6 3sin61. 所以 sin633. 3在abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且 b2，sin 2c1cos 2c1，b6，则a 的值为( ) a. 31 b2 32

13、c2 32 d. 2 6 答案 d 解析 在abc 中，内角 a，b，c的对边分别为 a，b，c，且 b2，sin 2c1cos 2c1， 所以2sin ccos c2sin2c1，所以 tan c1，c4. 因为 b6，所以 abc712， 所以 sin asin43sin 4cos 3cos 4sin 32 64. 由正弦定理可得a2 642sin 6，则 a 2 6. 4在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，acos bbcos a2ccos c，c 7，且abc 的面积为3 32，则abc的周长为( ) a1 7 b2 7 c4 7 d5 7 答案 d 解析 在abc

14、 中，acos bbcos a2ccos c， 则 sin acos bsin bcos a2sin ccos c， 即 sin(ab)2sin ccos c， sin(ab)sin c0，cos c12，c3， 由余弦定理可得，a2b2c2ab， 即(ab)23abc27， 又 s12absin c34ab3 32，ab6， (ab)273ab25，即 ab5， abc的周长为 abc5 7. 5若 ， 都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos 等于( ) a.2 525 b.2 55 c.2 525或2 55 d.55或525 答案 a 解析 因为 ， 都是锐角，且 cos

15、5512， 所以32， 又 sin()35，而123522， 所以3456， 所以 cos() 1sin2()45， 又 sin 1cos22 55， 所以 cos cos()cos()cos sin() sin 2 525. 6在abc 中，a，b，c 的对边分别是 a，b，c.若 a120 ，a1，则 2b3c 的最大值为( ) a3 b.2 213 c3 2 d.3 52 答案 b 解析 因为 a120 ，a1，所以由正弦定理可得 bsin bcsin casin a1sin 1202 33， 所以 b2 33sin b，c2 33sin c， 故 2b3c4 33sin b2 3sin

16、 c 4 33sin()60 c 2 3sin c 4 33sin c2cos c2 213sin(c) 其中 sin 217，cos 2 77， 所以 2b3c 的最大值为2 213. 二、多项选择题 7(2020 临沂模拟)在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，若 b2 3，c3，a3c，则下列结论正确的是( ) acos c33 bsin b23 ca3 dsabc 2 答案 ad 解析 因为 a3c，abc，所以 b2c.由正弦定理bsin bcsin c，得2 3sin 2c3sin c，即2 32sin ccos c3sin c，所以 cos c33，故 a 正确

17、；因为 cos c33，所以 sin c63，所以 sin bsin 2c2sin ccos c263332 23，故 b错误；因为 cos bcos 2c2cos2c113，所以 sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c2 2333136369，则 cos a5 39，所以 a2b2c22bccos a(2 3)23222 335 391，所以 a1，故 c 错误；sabc12bcsin a122 3369 2，故 d正确 8已知 04，若 sin 2m，cos 2n 且 mn，则下列选项中与 tan4 恒相等的有( ) a.n1m b.m1n c.1nm d.1mn

18、 答案 ad 解析 sin 2m，cos 2n， m2n21，1mnn1m， tan4 1tan 1tan cos sin cos sin (cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )1sin 2cos 21mnn1m. 三、填空题 9(2020 保定模拟)已知 tan4 12，则sin 2cos21cos 2_. 答案 56 解析 因为 tan4 12，所以tan 4tan 1tan 4tan 12， 即1tan 1tan 12，解得 tan 13， 所以sin 2cos21cos 22sin cos cos22cos2tan 1256. 10在abc 中

19、，a，b，c 分别是内角 a，b，c 的对边，且basin c2asin bcsin bsin a，则 a_. 答案 4 解析 由正弦定理asin absin bcsin c， 得bac2asin bcba， 整理得 b2a22acsin bc2， 即 b2c2a22acsin b2bcsin a， 由余弦定理得，b2c2a22bccos a， 2bccos a2bcsin a，即 cos asin a， tan a1，a4. 11(2020 全国)如图，在三棱锥 pabc 的平面展开图中，ac1，abad 3，abac，abad，cae30 ，则 cosfcb_. 答案 14 解析 在abd

20、 中，abad，abad 3，bd 6，fbbd 6. 在ace中，aead 3，ac1，cae30 ， ec( 3)2122 31cos 30 1， cfce1. 又bc ac2ab212( 3)22， 在fcb 中，由余弦定理得 cosfcbcf2bc2fb22cfbc1222( 6)221214. 12(2020 山东省师范大学附中月考)在abc 中，设角 a，b，c 对应的边分别为 a，b，c，记abc 的面积为 s，且 4a2b22c2，则sa2的最大值为_ 答案 106 解析 由题意知，4a2b22c2b24a22c2a2c22accos b， 整理，得 2accos b3a23c2cos b3(c2a2)2ac， 因为sa2212acsin ba22csin b2a2c2(1cos2b)4a2， 代入 cos b3(c2a2)2ac，整理得 sa221169c4a422c2a29 ， 令 tc2a2，则sa22116(9t222t9) 1163t11321036， 所以sa221036，所以sa2106，故sa2的最大值为106. 四、解答题 13(2020 全国)abc中，sin2asin2bsin2csin bsin c. (1)求 a； (2)若 bc3，求abc周长的最大值 解 (1)由正弦定理和已知条件得 bc2ac2ab2ac a