07讲轴对称的认识与运用

1、高效领跑第一阶段第七讲轴对称的认识与运用【归纳知识点】【课本概念理解与演练】一、轴对称的认识1. 轴对称图形与轴对称 轴对称图形的概念：一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够，这个图形就叫做,也说这个图形关于这条直线。这条直线叫做这个图形的。 轴对称：把一个图形沿着某一条直线对折，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形,称这两个图形 ,折叠后重合的点是对应点，叫做。 轴对称图形与轴对称的联系与区别：联系：都至少有一条对称轴，沿对称轴折叠，对称轴两旁的部分都能相互重合。图形而言。区别：轴对称图形是对图形而言的，成轴对称是对【实战演练】【例1】下列图形不是轴对称图形的是（）(a)2.

2、 线段的垂直平分线 垂直平分线的定义：经过线段并且于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 垂直平分线上点的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。 与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的上。 外心：三角形三边的交于一点，该点到三角形顶点的距离,称该点为三角形的外心（外接圆的圆心）。 用尺规作线段的垂直平分线步骤：分别以a、b为圆心，大于ab长度的一半为半径作弧，弧分别相交于a、b的两侧的c点和d点；作直线cd,即为所作的中垂线。【实

3、战演练】【例2】两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形,如图,在筝形abcd中,ab=ad, bc=dc, ac, bd相交于点0。（1）求证：abc丝adc；0b=0d, ac丄bd； （2）如果ac二6, bd二4,求梯形abcd的面积。【例3】已知锐角三角形abc中，ab, ac边的中垂线交于0点。（1）若za=a （0° < a <' 试判断zab0+zacb是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由。【例4】如图,已知zaob与线段cd,求作一点p,使点p到cd两端的距离相等且到zaob两边的距离也相等。3. 作轴对称图形 由于几何图形都是由点组成的

4、，因此我们只要分别作出这些点的关于对称轴的对应点，再连接这些对应点 就可以得到原图形的轴对称图形。【实战演练】【例5如图在直线1的同侧有a, b两点，试在1上找一点c使ac+bc授短。【例6】如图，在2xabc中,zbac=120° , ad丄bc于d,且ab+bxdc。求zc的度数。【例7】如图，de是aabc的边ab的垂直平分线，分別交ab、bc于点d、e, ae平分zbac,若zb=30° ,求zaec的度数。【例8】如图，在zsabc中，ab=ac, de为ab的中垂线且abec的周长为14, bo5,那么4. 用坐标表示轴对称 点的平移与坐标变化的规律（a, b）

5、向右平移k个单位（a + k, b） （a, b）向左平移k个单位（a-k, b）（a, b）向上平移h个单位（a, b + h） （a, b）向下平移h个单位（a, b-h ） 关于坐标轴对称的点的坐标特征点（a, b）关于x轴对称的点的坐标为（a, -b ）,规律为：不变，反号。点（a, b）关于y轴对称的点的坐标为（-a, b）,规律为：反号，不变。点（a, b）关于原点轴对称的点的坐标为（-a, -b ）,规律为：, 都反号。【实战演练】【例91（1）点p在第二象限内，点p到x轴的距离为4,到y轴的距离为3,则点p的坐标为。（2）将点p向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得点p

6、,其坐标为。【例10】已知a （2, a）, b （b, -4）根据下列条件求a, b, （1） a、b关于x轴对称,（2） a' b关于y轴对 称，（3） a, c关于x轴对称，b,c关于y轴对称，（4）若a, b关于原点对称点（a, b）在第儿象限。【例11】在平而直角坐标系中，直线1过点h （3, 0）,且平行于y轴。（1）如果三角形ai3c三个顶点的坐标分 别是a （-2, 0）, b （-1, 0）, c （-1, 2）,三角形关于y轴的对称图形是三角形def,三角形def关于直线1的 对称图形是三角形mnh。写出三角形mnh的三个顶点坐标；（2）如果点p的坐标是（-&

7、;、，0）,其中a>0,点p 关于y轴的对称点是k,点k关于直线1的对称点是r,求pr的长。二、轴对称的运用1等腰三角形 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个相等(等边对等角)。 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等(等角对等边)。 “三线合一”：等腰三角形的顶角,底边上的,底边上的相互重合。 判定等腰三角形的另外方法(“两线合一”)法：三角形中若一边上的中线垂直于这条边则是等腰三角形；若一 角的角平分线垂直于对边则是等腰三角形；若一角的角平分线平分对边则是等腰三角形。 运用“中线倍长法”进行证明“两线合一”的正确性。【实战演练】【例12】如图，在

8、zsabc中,ac=2ab, ad平分zbac, e是ad上一点,且ea二ec,求证:eb丄ab。【例13如图，己知三角形abc中,ab=ac=10厘米,bc=8厘米，点d为ab的中点。(1) 如果点p在线段bc上以3厘米/秒的速度山b点向c点运动，同时，点q在线段ca上山c点向a点运动。 若点q的运动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后，三角形bpd与三角形cqp是否全等，请说明理由； 若点q的运动速度与点p的运动速度不相等，当点q的运动速度为多少时，能够使三角形bpd与三角形cqp金 等？(2) 若点q以中的运动速度从点c出发，点p以原来的运动速度从点b同时出发，都逆时针沿三角形abc三

9、边运动，求经过多长时间点p与点q第-次在三角形abc的哪条边上相遇？2. 等边三角形 定义：三条边都的三角形是等边三角形。 性质：三边都相等，三个内角也相等都是,同时等边三角形具有等腰三角形的所有性质。 判定：证明三边相等；证明三个角相等；证明有一个角是60。的等腰三角形。 在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。【实战演练】【例14】如图，在rtaabc中，zc二90° , zabc=30° , ab二6,点d在ab边上，点e在bc边上(不与点b, c 重合)且da=de,则ad的取值范围。【例 15】已知zman, ac平分zman。(

10、1)在图中若zman=12o° , zabc二zadc二90° ,求证:ab+ad二ac, (2) 在图中若zman=12o° , zabc+zadc=180° ,则(1)中的结论是否仍然成立，若成立请证明，若不成立， 请说明理由。【课木知识巩固与应用】1. 如图，e 为 rtaabc 斜边 ab 上的中点，ed丄ab, ilzcad： zdab二1:7 则zbao2. 若m (a, 2)与n (3, b)关于y轴对称，贝壮+b二3. 等腰三角形的顶角和一个底角的度数比是4:1 ,则这个三角形三个内角度数分别)(b)三角的比为3:4:5的三角形(d)有一

11、个内角为3(r，个外角为60°的三角形5如图,cd是rtaabc斜边ab上的高,将zbcd沿cd折叠,b点恰好落在ab的中点e处,wjza=(c) 45©(d) 60°为、。4. 下列图形中，不是轴对称图形的是( (a)有两个内角相等的三角形(o有一个内角为45。的直角三角形6在aabc 中，zbac=120° , ad丄bc 于 d,且 ab+bd二dc,那么 zc 的度数是7如图，aabc等边三角形,过ab边上的点作dgbc,交ac于g,在gd的延长线上取点e,使de二db, 连接ae, cd, (1)求证：aage空adac, (2)过点e作efdc交bc于点f,请你连接af并判断zxaef是怎样的 三角形并证明你的结论。【中考真题链接】(2008安徽)已知