高考数学二轮复习专题四 第5讲空间几何体的外接球

1、 第第 5 讲讲 空间几何体的外接球空间几何体的外接球 空间几何体的外接球是高中数学的重难点我们可以通过对几何体的割补或寻求几何体外接球的球心两大策略求解此类问题 例 1 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( ) a. 56 b. 62 c2 d512 答案 b 解析 将半球补成球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线就是它的外接球的直径设正方体的棱长为 a，球体的半径为 r，则(2r)2a2a2(2a)2，即 r62a，v半球1243r32362a362a3，v正方体a3，v半球v正方体62a3a3

2、 62，故选 b. 例 2 已知在三棱锥 sabc 中，abbc，abbc2，sasc2 2，二面角 bacs的大小为23，则三棱锥 sabc 的外接球的表面积为( ) a.1249 b.1054 c.1059 d.1049 答案 d 解析 如图，取 ac 的中点 d，连接 bd，sd，则bds23，ac2 2，bd 2，sd6.过点 d 作与平面 abc 垂直的直线，则球心 o 在该直线上，设球的半径为 r，连接 ob，os，可得 od2r2( 2)2，在osd中，ods6，利用余弦定理可得 r2r22( 6)22 r22 632，解得 r2269，所以其外接球的表面积为 4r21049.

3、例 3 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( ) a.814 b16 c9 d.274 答案 a 解析 如图，正四棱锥 pabcd的底面中心为 h. 在底面正方形 abcd中，ah 2， 又 ph4， 故在 rtpah中， pa ph2ah2 42( 2)23 2. 则由正四棱锥的性质可得，其外接球的球心 o 在 ph 所在的直线上，设其外接球的直径为pq2r. 又 a 在正四棱锥外接球的球面上，所以 apaq. 又 ahph，由射影定理可得 pa2phpq， 故 2rpqpa2ph(3 2)2492，所以 r94. 故该球的表面积为 s4r249

4、42814. 解决此类问题的关键在于利用几何体的结构特征确定球的球心，利用球的截面的性质，球心和球的截面的中心连线垂直于截面结合相关几何量之间的数量关系可确定球心 1已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) a b.34 c.2 d.4 答案 b 解析 球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12，球的半径为 1，则圆柱底面圆的半径 r112232，故该圆柱的体积为 v322134. 2在三棱锥 pabc 中，abc 为等边三角形，papbpc3，papb，则三棱锥 pabc的外接球的体积为( ) a.272 b.27 32 c27 3 d27 答

5、案 b 解析 因为 papbpc，abc 是正三角形，所以pabpacpbc，由 papb知，papc，pbpc，以 pa，pb，pc 为过同一顶点的三条棱作正方体(图略)，则三棱锥pabc 的外接球可看成正方体的外接球，因为正方体的体对角线长为 3 3，所以其外接球的半径为 r3 32，外接球的体积为 v43r327 32.故选 b. 3已知三棱锥 sabc 的所有顶点都在球 o 的球面上，sc 是球 o 的直径，若平面 sca平面 scb，saac，sbbc，三棱锥 sabc的体积为 9，则球 o的表面积为_ 答案 36 解析 如图，sc为球 o的直径，o为球心， 因为 saac，所以 a

6、osc， 同理 sbbc，所以 bosc，boaoo，所以 sc平面 abo. 又平面 sca平面 scb，平面 sca平面 scbsc，aosc，ao平面 sac， 所以 ao平面 sbc，所以 aobo. 设球的半径为 r，则 aobosocor， 所以 v三棱锥sabc213saboso21312aoboso13r39，所以 r3， 所以球 o 的表面积为 s4r236. 4类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念，已知球 o 的一个内接四面体abcd中，abbc，bd过球心 o，若该四面体的体积为 1，且 abbc2，则球 o的表面积的最小值为_ 答案 38 解析 在 rtabc中，由 abbc，且 abbc2， 得 2abbc2 ab bc，得 ab bc1， 当且仅当 abbc1时，ab bc 取最大值 1， bd过球心 o，且四面体 abcd的体积为 1， 三棱锥 oabc的体