高考数学二轮复习专题突破练25　直线与圆及圆锥曲线

1、专题突破练专题突破练 25 直线与圆及圆锥曲线直线与圆及圆锥曲线 1.(2020 全国,理 19)已知椭圆 c1:22+22=1(ab0)的右焦点 f 与抛物线 c2的焦点重合,c1的中心与 c2的顶点重合.过 f 且与 x轴垂直的直线交 c1于 a,b 两点,交 c2于 c,d 两点,且|cd|=43|ab|. (1)求 c1的离心率; (2)设 m是 c1与 c2的公共点.若|mf|=5,求 c1与 c2的标准方程. 2. 已知圆 o:x2+y2=4,点 a(3,0),以线段 ab为直径的圆内切于圆 o,记点 b的轨迹为. (1)求曲线的方程; (2)直线 ab 交圆 o于 c,d两点,当

2、 b 为 cd的中点时,求直线 ab的方程. 3.(2019 全国,理 19)已知抛物线 c:y2=3x 的焦点为 f,斜率为32的直线 l与 c 的交点为 a,b,与 x 轴的交点为 p. (1)若|af|+|bf|=4,求 l的方程; (2)若 =3 ,求|ab|. 4.(2020 山东威海一模,20)已知椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 f1,f2,点 p(-1,32)是椭圆上一点,|f1f2|是|pf1|和|pf2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 a 为椭圆的右顶点,直线 ap与 y轴交于点 h,过点 h 的另一条直线与椭圆交于 m,n两点,且 shma

3、=6sphn,求直线 mn的方程. 5.(2020 重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆 c:22+22=1(ab0),f1,f2为椭圆的左、右焦点,p(1,22)为椭圆上一点,且|pf1|=322. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 l:x=-2,过点 f2的直线交椭圆于 a,b 两点,线段 ab的垂直平分线分别交直线 l、直线 ab 于m,n两点,当man最小时,求直线 ab的方程. 6.(2020 天津河北一模,19)已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的离心率为12,直线 x+y-6=0 与圆 x2+y2=b2相切. (1)求椭圆 c 的方程; (2)过点 p(4,0)的直线

4、l与椭圆 c 交于不同两点 a,b,线段 ab的中垂线为 l1,若 l1在 y轴上的截距为413,求直线 l的方程. 专题突破练 25 直线与圆及圆锥曲线 1.解 (1)由已知可设 c2的方程为 y2=4cx,其中 c=2-2. 不妨设 a,c 在第一象限,由题设得 a,b的纵坐标分别为2,-2;c,d的纵坐标分别为2c,-2c,故|ab|=22,|cd|=4c. 由|cd|=43|ab|得 4c=823,即 3=2-2()2,解得=-2(舍去),=12.所以 c1的离心率为12. (2)由(1)知 a=2c,b=3c,故 c1:242+232=1. 设 m(x0,y0),则0242+0232

5、=1,02=4cx0,故0242+403=1. 由于 c2的准线为 x=-c,所以|mf|=x0+c,而|mf|=5,故 x0=5-c,代入得(5-)242+4(5-)3=1,即 c2-2c-3=0,解得 c=-1(舍去),c=3. 所以 c1的标准方程为236+ 227=1,c2的标准方程为 y 2=12x. 2.解 (1)设 ab的中点为 m,切点为 n,连接 om,mn,则|om|+|mn|=|on|=2,|ab|=|on|-(|om|-|mn|)=2-|om|+12|ab|,即|ab|+2|om|=4. 取 a关于 y轴的对称点 a,连接 ab,则|ab|=2|om|, 故|ab|+2

6、|om|=|ab|+|ab|=4. 所以点 b的轨迹是以 a,a为焦点,长轴长为 4的椭圆. 其中 a=2,c=3,b=1,则曲线的方程为24+y2=1. (2) 因为 b为 cd的中点,所以 obcd,则 . 设 b(x0,y0),则 x0(x0-3)+02=0. 又024+ 02=1, 解得 x0=23,y0=23 . 则 kob=22,kab=2, 则直线 ab的方程为 y=2(x-3), 即2x-y-6=0或2x+y-6=0. 3.解 设直线 l:y=32x+t,a(x1,y1),b(x2,y2). (1)由题设得 f(34,0), 故|af|+|bf|=x1+x2+32, 由题设可得

7、 x1+x2=52. 由 =32 + ,2= 3,可得 9x2+12(t-1)x+4t2=0,则 x1+x2=-12(-1)9. 从而-12(-1)9=52,得 t=-78. 所以 l 的方程为 y=32x-78. (2)由 =3 可得 y1=-3y2. 由 =32 + ,2= 3可得 y2-2y+2t=0. 所以 y1+y2=2. 从而-3y2+y2=2,故 y2=-1,y1=3. 代入 c 的方程得 x1=3,x2=13. 故|ab|=4133. 4.解 (1)因为|f1f2|是|pf1|和|pf2|的等差中项,所以 a=2c,得 a2=4c2,则 b2=a2-c2=3c2. 又 p(-1

8、,32)在椭圆上,所以142+942=1,即142+342=1,所以 c=1. 则 a2=4,b2=3, 椭圆的标准方程为24+23=1. (2)因为 p(-1,32),由(1)计算可知 a(2,0),h(0,1), 当直线 mn 与 x轴垂直时,易验证,不合题意. 当直线 mn 与 x轴不垂直时,设直线 mn 的方程为 y=kx+1, 联立直线与椭圆的方程 = + 1,24+23= 1,消去 y,可得(4k2+3)x2+8kx-8=0, 设 m(x1,y1),n(x2,y2),由韦达定理可得1+ 2=-842+3,12=-842+3. 由 shma=6sphn,可得|ah|mh|=6|nh|

9、ph|,又|ah|=2|ph|, 所以|mh|=3|nh|,得 x1=-3x2, 代入,可得-22=-842+3,-322=-842+3, 所以 3162(42+3)2=842+3,解得 k=62,所以直线 mn 的方程为 y=62x+1. 5.解 (1)设椭圆的左焦点 f1(-c,0)(c0),则|pf1|=(1 + )2+12=322,解得 c=1, 所以|pf2|=22,则由椭圆定义|pf1|+|pf2|=2a=22,a=2,b=1. 故椭圆的标准方程为22+y2=1. (2)由题意直线 ab 的斜率必定不为零,于是可设直线 ab:x=ty+1, 联立方程 = + 1,22+ 2= 1,

10、得(t2+2)y2+2ty-1=0, 直线 ab交椭圆于 a(x1,y1),b(x2,y2), =4t2+4(t2+2)=8(t2+1)0, 由韦达定理得 y1+y2=-22+2,y1y2=-12+2, 则 yn=-2+2,xn=tyn+1=-22+2+1=22+2. mnab,kmn=-t,|mn|=1 + 2 -2-22+2=1 + 222+62+2. 又|an|=12|ab|=121 + 2|y1-y2|=1 + 221+22+2, tan man=|=2(2+3)2+1= 2(2+ 1 +22+1) 2 22=4. 当且仅当2+ 1 =22+1,即 t=1时取等号. 此时直线 ab的方

11、程为 x+y-1=0或 x-y-1=0. 6.解 (1)由题意得, =12, =|-6|1+1= 3, 又 a2=b2+c2, a=2. 椭圆 c 的方程为24+23=1. (2)由题意,直线 l 的斜率 k存在且不为零. 设直线 l 的方程为 y=k(x-4),k0. 设 a(x1,y1),b(x2,y2),ab 的中点 q(x0,y0). 由 = (-4),24+23= 1, 消去 y,整理得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0. 由 =(-32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)0, 解得-12k12,且 k0, x1+x2=3223+42. x0=1623+42,y0=k(x0-4)=-