高考数学二轮复习作业17

1、专题训练专题训练 作业作业(十七十七) 一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的) 1(2020 陕西省宝鸡市模拟)已知 ，是两个不同的平面，l，又 m，n 是三条不同的直线，则不正确的命题是( ) a若 m，n，则 mn b若 m，n，则 mn c若 l，l，则 d若 ，l，且 l，则 l 答案 b 解析 a 中，若 n，则在 中存在一条直线 l，使得 ln，又 m，l，则 ml，又 ln，那么 mn，故正确；b 中，若 m，n，则 mn 或相交或异面，故不正确；c 中，若 l，则存在 a，使 la，又 l，a，则 ，故正确；d中，若 ，且 l，则 l或 l，又

2、 l，l，故正确故选 b. 2.如图，正方体 abcda1b1c1d1的棱长为 1，e 为棱 dd1上的点，f为 ab的中点，则三棱锥 b1bfe 的体积为( ) a.13 b.14 c.112 d.16 答案 c 解析 由等体积法可知 vb1bfevebfb113sbb1fa故选 c. 3在长方体 abcda1b1c1d1中，abbc1，异面直线 ac1与 bb1所成的角为 30，则 aa1( ) a. 3 b3 c. 5 d. 6 答案 d 解析 如图，连接 a1c1，由长方体的性质知 bb1aa1，则a1ac1即为异面直线 ac1与 bb1所成的角，所以a1ac

3、130.在 rta1b1c1中，a1c1 a1b12b1c12 2.在 rta1ac1中，tana1ac1a1c1aa1，即 aa1a1c1tana1ac1233 6.故选 d. 4已知正方体 abcda1b1c1d1，给出下列四个结论： 点 p 在直线 bc1上运动时，三棱锥 ad1pc 的体积不变； 点 p 在直线 bc1上运动时，直线 ap 与平面 ad1c所成角的大小不变； 点 p 在直线 bc1上运动时，二面角 pad1c的大小不变； m是平面 a1b1c1d1上到点 d 和 c1距离相等的点，则点 m 的轨迹是过点 d1的直线 其中正确结论的序号是( ) a b c d 答案 c

4、解析 如图，vad1pcvpad1c，bc1平面 ad1c，bc1上任意一点到平面 ad1c 的距离相等，三棱锥 ad1pc 的体积不变，正确；直线 ab 与平面 ad1c 所成的角和直线 ac1与平面 ad1c所成的角不相等，不正确；ap平面 bc1d1a，二面角 pad1c 的大小即平面 bc1d1a 与平面 cad1所成角的大小，正确；m 是平面a1b1c1d1上到点 d 和 c1距离相等的点，点 m 的轨迹是平面 a1b1c1d1与线段 dc1的垂直平分线所在平面的交线，而 dd1d1c1，正确故正确结论的序号是. 5.(2020 合肥肥东县高级中学调研)如图，已知 p 是矩形 abc

5、d 所在平面外一点，pa平面 abcd，e，f 分别是 ab，pc 的中点若pda45，则 ef与平面 abcd 所成角的大小是( ) a90 b60 c45 d30 答案 c 解析 如图，取 pd中点 g，连接 ag，fg， e，f分别为 ab，pc的中点， ae12ab，gfdc 且 gf12dc， 又在矩形 abcd中 abcd且 abcd， aegf且 aegf， 四边形 aefg 是平行四边形， agef， ag与平面 abcd所成的角等于 ef与平面 abcd 所成的角， pa平面 abcd，ad平面 abcd，paad， 过 g 作 ghad，垂足为 h，gh平面 pad，则 g

6、hpa， gh平面 abcd， gah 为 ag与平面 abcd所成的角，即为所求角， pda45，g为 pd的中点， gah45， 即 ef 与平面 abcd 所成的角为 45.故选 c. 6(2020 皖南八校联考)已知圆锥顶点为 p，母线 pa，pb 所成角的余弦值为34，pa 与圆锥底面所成角为 60，若pab的面积为 7，则该圆锥体积为( ) a2 2 b. 2 c.2 63 d.63 答案 c 解析 如图所示，设底面半径为 oar， pa与圆锥底面所成角为 60， pao60， papb2r，母线 pa，pb 所成角的余弦值为34， sinapb74，12(2r)274 7r 2，

7、 v13s底面po13(r2) 3r2 63.故选 c. 7如图，在边长为 2 的正方形 abcd 中，e，f 分别为 bc，cd 的中点，h 为 ef 的中点，沿 ae，ef，fa 将正方形折起，使 b，c，d 重合于点 o，在构成的三棱锥 oaef中，下列结论错误的是( ) aao平面 eof b三棱锥 oaef的体积为13 c直线 ah与平面 eof所成角的正切值为 2 2 dae平面 oah 答案 d 解析 对于 a，翻折前，abbe，addf，故翻折后，oaoe，oaof.又 oeofo，oe，of平面 eof，oa平面 eof，故正确 对于 b，oa平面 eof，voaefvaoe

8、f13soefao131211213，故正确 对于 c，连接 oh，ah，则oha 为 ah与平面 eof 所成的角 oeof1，h是 ef 的中点，oeof， oh12ef22. 又 oa2，tanohaoaoh2 2，故正确 对于 d，oa平面 eof，ef平面 eof，oaef.又 ohef，oaoho，oa，oh平面 oah，ef平面 oah. ea不可能与平面 oah 垂直，故错误故选 d. 8(2020 厦门市毕业班质量检查)一副三角板由一块有一个内角为 60的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，bf90，a60，d45，bcde.现将两块三角板拼接在一起，取 bc 中点

9、 o 与 ac 中点 m，则下列直线与平面 ofm 所成的角不为定值的是( ) aac baf cbf dcf 答案 b 解析 因为 o，m 为中点，所以 omab，所以 ombc， 又 ofbc，且 omofo，om，of平面 omf， 所以 bc平面 omf， 所以 bf，cf 与平面 ofm所成的角分别为bfo 和cfo，它们相等，等于 45， 根据直线与平面所成角的定义，知 ac 与平面 ofm所成的角为cmocab60. 故只有 af与平面 ofm 所成的角不为定值故选 b. 9(2020 北流市实验中学模拟)如图，将边长为 2的正方形 abcd 沿对角线 bd 折起，使得 ac1，

10、则三棱锥 abcd的体积为( ) a.36 b.33 c.32 d.13 答案 a 解析 如图所示，图 1中，连接 ac与 bd相交于点 o，acbd， 则 oaoc12ac1， 图 2 中，oac 是等边三角形，oabd，ocbd，oaoco，oa平面 oac，oc平面 oac，bd平面 oac， 三棱锥 abcd 的体积13soacbd133412236.故选 a. 10(2020 长郡中学高三适应性考试)已知三棱柱 abca1b1c1内接于一个半径为 3的球，四边形 a1acc1与 b1bcc1均为正方形，m，n 分别是 a1b1，a1c1的中点，c1m12a1b1，则异面直线 bm与

11、an所成角的余弦值为( ) a.310 b.3010 c.710 d.7010 答案 b 分析 画出图形，找出 bm 与 an 所成角的平面角，利用解三角形求出 bm 与 an 所成角的余弦值 解析 如图，取 bc的中点为 o，连接 on，oa，mn， 则 mn12b1c1綊 ob，则四边形 mnob 是平行四边形，bm 与 an所成角就是ano 或其补角， m，n分别是 a1b1，a1c1的中点，c1m12a1b1， a1c1b1c1， 由四边形 a1acc1与 b1bcc1均为正方形，可得 bccacc1， 设 bccacc1a， 三棱柱 abca1b1c1外接球可看作棱长为 a的正方体外

12、接球， 三棱柱 abca1b1c1内接于一个半径为 3的球， a2a2a22 3，解得 a2， bccacc12，co1，ao5，an5，nombb1m2bb12（ 2）222 6， 在ano 中，由余弦定理可得： cosanoan2no2ao22anno62 5 63010.故选 b. 二、多项选择题(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求) 11已知直线 l平面 ，直线 m平面 ，下列四个命题中正确的是( ) a若 ，则 lm b若 ，则 lm c若 lm，则 d若 lm，则 答案 ac 12.如图，直线 pa 垂直于圆 o 所在的平面，abc 内接于圆 o，且 ab为圆 o 的直径

13、，点 m为线段 pb的中点以下各命题中，真命题是( ) abcpc bom 与平面 apc相交 c点 b 到平面 pac 的距离等于线段 bc的长 d三棱锥 mpac 的体积等于三棱锥 pabc的体积的一半 答案 acd 13.如图，正方体 abcda1b1c1d1中，o 为底面 abcd 的中心，m为棱 bb1的中点，则下列结论正确的是( ) ad1o平面 a1bc1 bd1o平面 mac c异面直线 bc1与 ac所成的角为 60 dmo平面 abcd 答案 abc 14(2020 潍坊高密市高三模拟)如图，已知正方体 abcda1b1c1d1，过对角线 bd1作平面 交棱 aa1于点 f

14、，交棱 cc1于点 e，下列说法正确的是( ) a平面 分正方体所得两部分的体积相等 b四边形 bfd1e一定是平行四边形 c平面 与平面 dbb1不可能垂直 d四边形 bfd1e 的面积有最大值 答案 abd 解析 对于 a：由正方体的对称性可知，平面 分正方体所得两部分的体积相等，故 a 正确； 对于 b：因为平面 abb1a1平面 cc1d1d，平面 bfd1e平面 abb1a1bf，平面 bfd1e平面 cc1d1dd1e，所以 bfd1e. 同理可证：d1fbe，故四边形 bfd1e一定是平行四边形，故 b 正确； 对于 c：当 e，f 为棱中点时，ef平面 bb1d，又因为 ef平

15、面 bfd1e， 所以平面 bfd1e平面 dbb1，故 c不正确； 对于 d：当 f 与 a 重合，当 e 与 c1重合时，四边形 bfd1e 的面积有最大值，故 d 正确故选 abd. 三、填空题 15(2020 浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_ 答案 1 解析 设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，则 rl2，2r122l，解得 r1，l2. 16(2020 江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽

16、毛坯的体积是_ cm3. 答案 12 32 解析 正六棱柱体积为 63422212 3 (cm3)， 圆柱体积为12222 (cm3)， 所求几何体体积为12 32 cm3. 17(2020 运城市联合体模拟)棱长为 3 的正方体 abcda1b1c1d1封闭薄壁容器内有一个高为 2，底面半径为 1 的圆柱水平移动，在移动过程中，该圆柱的一个底面恒在平面abcd内，则该圆柱不能到达的区域的体积为_ 答案 172 解析 该圆柱到达的区域为一个柱体，该柱体的底面积 s324145，高为2，体积为 102，所以该圆柱不能到达的区域的体积为 33(102)172. 18在 120的二面角内有一点 p，

17、p 到二面角的两个半平面的距离分别为 1 和 3，则 p 到该二面角棱的距离为_ 答案 2 213 解析 如图，设点 p 在两个半平面内的射影分别为 c，b，则 在pcb 中，pc1，pb3，cpb60，cb219213coscpb7，cb 7. 设 p到棱的距离为 l，则 lcbsin1202 213. 19(2020 深圳市第二次调研)已知正方形 abcd 边长为 3，点 e，f 分别在边 ab，ad 上运动(e 不与 a，b 重合，f 不与 a，d 重合)，将aef 以 ef 为折痕折起，当 a，e，f 位置变化时，所得五棱锥 aebcdf 体积的最大值为_ 答案 2 3 解析 不妨设|

18、ae|3a，|af|3b，a，b(0，1) 在直角三角形 aef中，易知 ef 边上的高为 h3aba2b2. 又五棱锥 aebcdf 的底面面积为 s91ab2， 欲使五棱锥 aebcdf的体积最大，需平面 aef平面 ebcdf. vmax13sh91ab2aba2b2. a2b22ab，vmax91ab2ab2ab9 24(2 abab ab) 令 t ab，则 t(0，1)，vmax9 24(2tt3)，t(0，1)， 令 f(t)2tt3，t(0，1)，则 f(t)23t2， 易知当 t63时，f(t)取得最大值4 69. vmax9 244 692 3. 综上所述，当 ab63时，

19、五棱锥 aebcdf的体积取得最大值 2 3. 20.(2020 山东日照市第一中学模拟)古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点 a，b距离之比为常数 (0 且 1)的点的轨迹是一个圆心在直线 ab上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体 abcda1b1c1d1中，ab2ad2aa16，点 e 在棱 ab 上，be2ae，动点 p 满足 bp 3pe.若点 p 在平面 abcd 内运动，则点 p 所形成的阿氏圆的半径为_；若点 p 在长方体 abcda1b1c1d1内部运动，f 为棱 c1d1的中点，m为 cp的中点，则三棱锥 mb1cf 的体积的最小值为_

20、 答案 2 3 94 解析 (1)以 ab 为 x 轴，ad 为 y 轴，aa1为 z 轴，建立如图所示的坐标系，在 xay坐标平面中，b(6，0)，e(2，0)，设 p(x，y)， 由 bp 3pe得(x6)2y23(x2)2y2， 所以 x2y212， 所以若点 p 在平面 abcd 内运动，则点 p 所形成的阿氏圆的半径为 2 3. (2)在 axyz 空间直角坐标系中，b(6，0，0)，e(2，0，0)，设点 p(x，y，z)，由 bp 3pe得(x6)2y2z23(x2)2y2z2， 所以 x2y2z212， 由题得 f(3，3，3)，b1(6，0，3)，c(6，3，0)， 所以fb

21、1(3，3，0)，b1c(0，3，3)，设平面 b1cf的法向量为 n(x0，y0，z0)， 所以n fb13x03y00，nb1c3y03z00，故 n(1，1，1)为其一个法向量， 由题得cp(x6，y3，z)， 所以点 p到平面 b1cf 的距离为 h|cp n|n|xyz9|3， 因为(x2y2z2)(121212)(xyz)2，当且仅当 xyz 时取等号，所以6xyz6， 所以 hmin|69|3 3，所以点 m到平面 b1cf的最小距离为32， 由题得b1cf 为等边三角形，且边长为 32323 2， 所以三棱锥 mb1cf的体积的最小值为1334(3 2)23294. 1.如图，

22、一个二面角的棱上有两个点 a，b，线段 ac，bd 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 ab，ab4 cm，ac6 cm，bd8 cm，cd2 17 cm，则这个二面角的度数为( ) a30 b60 c90 d120 答案 b 解析 设所求二面角的大小为 ，则bd，ac，因为dcdbbaac，所以dc2(dbbaac)2db2ba2ac22dbba2dbac2baac.而依题意可知bdab，acab，所以 2dbba0，2baac0，所以|dc|2|db|2|ba|2|ac|22bdac，即 417824262286cos，所以 cos12，而 0，所以60，故选 b. 2(2020

23、厦门市高中毕业班质检)若平面 平面 ，m 是 内的任意一条直线，则下列结论正确的是( ) a任意直线 l，都有 l b存在直线 l，使得 l c任意直线 l，都有 lm d存在直线 l，使得 lm 答案 b 解析 如图所示，因为平面 a1b1c1d1平面 dd1c1c， 所以设 平面 a1b1c1d1，平面 dd1c1c， 连接 b1d1，则 b1d1平面 a1b1c1d1，但 b1d1不垂直于平面 dd1c1c，故 a 错误； 如 a1b1平面 a1b1c1d1，a1b1平面 dd1c1c，故 b正确； 连接 dc1，a1b1平面 a1b1c1d1，dc1平面 dd1c1c，但 a1b1不平

24、行于 dc1，故 c 错误； 如 mcc1平面 dd1c1c，m平面 a1b1c1d1，所以 m 垂直于平面 a1b1c1d1内所有的直线，故不存在直线与之平行，故 d 错误故选 b. 3(2020 深圳市第二次调研考试)设 为平面，m，n 为两条直线，若 m，则“mn”是“n”的( ) a充分必要条件 b充分不必要条件 c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件 答案 c 解析 当 m 时，如果 mn，不一定能推出 n，因为直线 n 可以在平面外当m 时，如果 n，根据线面垂直的性质一定能推出 mn，所以若 m，则“mn”是“n”的必要不充分条件故选 c. 4【多选题】(2020 山东师范附中

25、模拟)已知正方体 abcda1b1c1d1棱长为 2，如图，m 为 cc1上的动点，am平面 .下面说法正确的是( ) a直线 ab与平面 所成角的正弦值范围为33，22 b点 m与点 c1重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 c点 m 为 cc1的中点时，若平面 经过点 b，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形 d已知 n为 dd1中点，当 ammn的和最小时，m 为 cc1的中点 答案 ac 解析 对于 a，以点 d 为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 dxyz，点 a(2，0，0)，b(2，2，0)，设点 m(0，2，a)(0a2)， am平面 ，am为平面 的一个法向量，且am(2，2，a)，ab(0，2，0)， 则|cosab，am|ab am|ab| |am|42 a282a2833，22， 直线 ab与平面 所成