高中数学人教A版必修三教学案：第二章 第2节 第2课时 用样本的数字特征估计总体的数字特征含答案

1、起第2课时用样本的数字特征估计总体的数字特征核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材p71p78，回答下列问题(1)众数、中位数、平均数各是什么样的数？提示：见本课时归纳总结，核心必记(1)(2)你能说出教材p72思考中样本的中位数与样本中位数估计值为什么不一样吗？提示：频率分布直方图已经损失了一些基本的信息，因而通过频率分布直方图只能估计样本的中位数，而不能得到样本的准确的中位数(3)标准差和方差各指什么？提示：见本课时归纳总结，核心必记(2)2归纳总结，核心必记(1)众数、中位数、平均数众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做众数中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位

2、置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数，一般记为(x1x2xn)(2)标准差、方差标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示假设样本数据是x1，x2，xn，表示这组数据的平均数，则s.方差：标准差的平方s2 即为方差， 则s2(x1)2(x2)2(xn)2问题思考(1)一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个(2)在频率分布直方图中如何求众数、中位数、平均数？提示：在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；中位数

3、左边和右边的直方图的面积应该相等；平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)众数、中位数、平均数的概念： ；(2)标准差、方差的公式： .现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)甲：3, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10乙：4, 6, 6, 6, 8, 9, 12, 13丙：3, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12思考1三家广告中都称其产品使用寿命为8年，你能说明为什么吗？名师指津：三个厂家从不同的角度进行了说明，以宣传自己

4、的产品其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年思考2众数、中位数、平均数各有什么优缺点？名师指津：三种数字特征的比较：众数：优点是体现了样本数据的最大集中点，容易计算；缺点是只能表达样本数据中很少的一部分信息，无法客观地反映总体的特征中位数：优点是不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算，便于利用中间数据的信息；缺点是对极端值不敏感平均数：优点是代表性较好，是反映数据集中趋势的量，一般情况下可以反映出更多的关于样本数据全体的信息；缺点是任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”对平均值的影响越大讲一讲1某工厂人员及月工资构成如下：人员经理管理人员

5、高级技工工人学徒合计月工资(元)22 0002 5002 2002 0001 00029 700人数16510123合计22 00015 00011 00020 0001 00069 000(1)指出这个表格中月工资的众数、中位数、平均数；(2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？尝试解答(1)由表格可知，众数为2 000元把23个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2 200，故中位数为2 200元平均数为69 000÷233 000(元)(2)虽然平均数为3 000元，但由表格中所列出的数据可见，只有经理的工资在平均数

6、以上，其余人的工资都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平对众数、中位数、平均数的几点说明(1)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值在实际应用中，样本中位数和样本平均数可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策(2)众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心练一练1某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：分数5060708090100人数甲班161211155乙班351531311选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩解：甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙

7、班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；按从高到低(或从低到高)的顺序排列之后，甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班有27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班如果记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适.甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中

8、的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.思考1通过计算可以知道，甲、乙两人的平均成绩相等，那么甲、乙两人的成绩谁的更稳定一些？怎样用数字刻画这种稳定性？名师指津：乙的成绩相对稳定，样本数据的稳定性(或分散程度)常用标准差来刻画思考2怎样理解方差与标准差？名师指津：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小(2)标准差、方差的取值范围：0，)(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度

9、上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差讲一讲2甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定尝试解答(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100

10、)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定 (1)求一组数据的方差和标准差的步骤：先求平均数.代入公式得方差和标准差s2(x1)2(x2)2(xn)2，s.(2)实际问题中方差、标准差的意义在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高练一练2甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为(单位： mm)：甲：10.210.110.9

11、8.99.910.39.7109.910.1乙：10.310.49.69.910.1109.89.710.210分别计算上面两个样本的平均数与标准差如果图纸上的设计尺寸为10 mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？解：甲(10.210.110.910.1)10(mm)，乙(10.310.49.610)10(mm)，s甲 0.477(mm)s乙 0.245(mm)甲乙10，s甲s乙，乙比甲稳定，用乙较合适讲一讲3某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示(1)求这次测试数学成绩的众数；(2)求这次测试数学成绩的中位数；(3)求

12、这次测试数学成绩的平均分尝试解答(1)由图知众数为75.(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.30.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.10.03(x70)，所以x73.3.(3)由图知这次数学成绩的平均分为：×0.005×10×0.015×10×0.02×10×0.03×10×0.025×10×0.005×1072.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数(2

13、)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和练一练3为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在55,75)的人数是_；(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为_；(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为_解析：(1)(0.04×100.025×10)×2013.(2

14、)设中位数为x，则0.2(x55)×0.040.5，x62.5.(3)0.2×500.4×600.25×700.1×800.05×9064.答案：(1)13(2)62.5(3)64课堂归纳·感悟提升1本节课的重点是会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差，难点是理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法2本节课要掌握以下几类问题：(1)当平均数大于中位数时，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中存在较小的极端值，见讲1.(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准

15、差、方差越小，数据的离散程度越小，见讲2.(3)利用频率分布直方图求出的众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数，见讲3.3本节课的易错点有两个：(1)计算标准差或方差时易将公式记错而致误，如讲2；(2)利用频率分布直方图求数字特征时易出现理解错误而致错，如讲3.课下能力提升(十三)学业水平达标练题组1众数、中位数、平均数的简单应用1某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()a85,85,85 b87,85,86c

16、87,85,85 d87,85,90解析：选c从小到大列出所有数学成绩：75,80,85,85,85,85,90,90,95,100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.2某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班其中甲班有40人，乙班有50人现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是_分解析：由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是85(分)答案：85题组2标准差(方差)的计算及应用3现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是()a1 b2 c3 d4解析：选a由s2(xxx)2，得

17、s2×100321，即标准差s1.4国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：甲乙丙丁平均成绩8.58.88.88方差s23.53.52.18.7则应派_参赛最为合适解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适答案：丙5用一组样本数据8，x,10,11,9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s_.解析：该组样本数据的平均数为10，(8x10119)÷510，x12，s2(44011)2，s.答案：题组3频率分布与数字特征的综合应用6如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得

18、分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是_解析：甲的中位数为28，乙的中位数为36，所以甲、乙两人得分的中位数之和为64.答案：647样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本频率分布直方图，则平均数为_解析：平均数10×0.0612×0.214×0.416×0.2418×0.114.24.答案：14.248某良种培育基地正在培育一种小麦新品种a.将其与原有的一个优良品种b进行对照试验两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种a：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405

19、,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品种b：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430.(1)完成数据的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种a与b的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论解：(1)如图(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较

20、，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据(3)通过观察茎叶图可以看出：品种a的亩产平均数比品种b高；品种a的亩产标准差(或方差)比品种b大，故品种a的亩产稳定性较差能力提升综合练1有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为()a6 b. c66 d6.5解析：选a(24455678911x)(61x)6，x5.方差数为：s26.2(2016·衡阳高一检测)甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；甲同学的平均分比乙同学高；甲同学的

21、平均分比乙同学低；甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差上面说法正确的是()a bc d解析：选a甲的中位数81，乙的中位数87.5，故错，排除b、d；甲的平均分(767280828690)81，乙的平均分(697887889296)85，故错，对，排除c，故选a.3甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则() 甲乙a甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数b甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数c甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差d甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选c由条形图易知甲的平均数为甲6，方差为s2，中位数为6，极差为4；乙的平均数为乙6，方差为s，中位数为

22、5，极差为4，故甲乙，ss，且甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数，两人成绩的极差相等4某中学举行电脑知识竞赛，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05，则参赛的选手成绩的众数和中位数可能是()a65,65 b70,65c65,50 d70,50解析：选a众数为第二组中间值65.设中位数为x，则0.03×10(x60)×0.040.5，解得x65.故选a.5已知k1，k2，kn的方差为5，则3(k14)，3(k24)，3(kn4)的方差为_解析：设k1、k2、kn的平均数为，则3(k14)，3(k24)，3(kn4)的平均数为3(4)，s23(ki4)3(4)23(ki)29×(ki)29×545.答案：456将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩