(word完整版)初二数学一次函数知识点总结全面,推荐文档

1、一次函数知识点总结基本概念1、 变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式s vt中,v表示速度,t表示时间，s表示在时间t内所走的路程，则变量是 _ 量是_ 在圆的周长公式 C=2n中，变量是 _ _ 常量是_.2、 函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。*判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应1-1 2例题：下列函数（1） y=冗

2、x （2）y=2x-1（3）y=-y=2 -3x（5）y=x -1 中，是一次函数的有（）X（A） 4 个（B） 3 个（C） 2 个（D） 1 个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：（1 ）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3 ）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x2 的是（）A. y=、2 xB. y= - C.

3、y= 丁4 x2D. y= Vx 2x 2Jx2函数y Jx 5中自变量x的取值范围是 _已知函数y1x2，当1 x1时，y的取值范围是（)253353535A.yB-y -C.yD.y -222222 225、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由 这些点组成的图形，就是这个函数的图象.6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中

4、数值对应的 各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的 函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。9、正比例函数及性质一般地，形如 y=kx（k 是常数，k 和）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx （k 不为零）k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k0 时，直线 y=

5、kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0 , y 随 x 的增大而增大；k 0 时 ， 向 上 平 移 ； 当 b 0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b0b0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k0 或 ax+b0,则一次函数y=mx+n的图象不经过(A第一象限B.第二象限C第三象限12、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数 y=kx + b 的图象是一条直线，

6、它可以看作是由直线 上平移；当 b0 时，向T*T*函数函数和正比和正比例函数例函数前图象和性质前图象和性质函数性质：1. y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.即：y=kx+b（k,b为常数，k工0）,/ 当x增力卩m，k（x+m）+b=y+km,km/m=k。2.当x=0时，b为函数在y轴上的点，坐标为（0，b）。3当b=0时（即y=kx），一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。4.在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行;函魏函魏过点过点 0 0b b）且

7、平且平行于产行于产戰的一戰的一条富线条富线4函函数数y=kx+bCi)（1）当当k0时，乎随时，乎随X的的嗜大而噌大嗜大而噌大，图图象必过象必过 第第一一 r r 三象限宗三象限宗1 1当当bAO时，过第时，过第一一、二、二、三象廉；三象廉；2 2当当b=O时时，只过第只过第一一、三三象帳；象帳；3 3当当bVO时时过第一过第一、 三三 四四象限象限. .（2）当当k0时时， 过第过第一一、 二二、四四彖限；彖限；2 2当当b=o时时? ?.Ril第二、第二、 四四郵邑郵邑3 3当当b0,増大而増大,图图象必象必过第过第一一“ 三象限；三象限；（2）当当k0时，直线必通过第一、三象限，y随x的

8、增大而增大；当k0,b0.这时此函数的图象经过第一、 二、三象限;k0,b0,这时此函数的图象经过第一、 三、四象限;k0,这时此函数的图象经过第一、 二、四象限;k0,b0时,当b0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。4、特殊位置关系:当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值(即一次项系数)相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘两点式(其中分母为 0，+ ,+ （正，正）在第一象限-,+ （负，正）在第二象限-，-（负，负）在第三象限+ ,-（正，负）在第四象限8. 若两

9、条直线 y 仁 k1x+b1 / y2=k2x+b2 ，那么 k 仁 k2 , bl 和 29. 如两条直线 y 仁 k1x+b1 丄 y2=k2x+b2 ，那么 k1 乂 2=-110.y=k （x-n ） +b 就是向右平移n 个单位y=k （x+n ） +b 就是向左平移n 个单位口诀：右减左加（对于y=kx+b 来说，只改变 b）y=kx+b+n 就是向上平移 n 个单位y=kx+b-n 就是向下平移 n 个单位口诀：上加下减（对于y=kx+b 来说，只改变 b ）相关应用生活中的应用1. 当时间 t 一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt。2. 当水池抽水速度f 一定，水

10、池中水量g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池中原有水量3. 当弹簧原长度b （未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y 是重物重量 x即 y=kx+b （ k 为任意正数）数学问题一、确定字母系数的取值范围例 1 已知正比例函数，则当 k0 时，y 随 x 的增大而减小。解：根据正比例函数的定义和性质，得且 mx2 B. x10 ，且 y1y2。根据一次函数的性质当 k0 时，y 随 x 的增大而增大S。g=S-ft。的一次函数，y1y2，则 x1”， 得 x1x2。一次函数的平移故选 A。三、判断函数图象的位置例 3. 一次函数 y=kx+b 满足 kb0，且 y 随 x 的增大而减

11、小，则此函数的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解：由 kb0，知 k、b 同号。因为 y 随 x 的增大而减小，所以k0。所以 b0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A.典型例题例 1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例如果挂上 3kg 物体后，弹簧总长是 13.5cm，求弹簧总长是 y(cm)与所挂物体质量 x(kg)之间的函数关系式 如 果弹簧最大总长为23cm，求自变量 x 的取值范围.分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总

12、长是空 载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长T最大伸长T最大质量及实际的思路来处理.解：由题意设所求函数为y=kx+12贝 U 13.5=3k+12 ，得 k=0.5所求函数解析式为y=0.5x+12由 23=0.5x+12 得：x=2.2自变量 x 的取值范围是0 $30时,Y1Y2当 X30时,Y1Y2 例 1.(1) y与 x 成正比例函数，当时，y=5.求这个正比例函数的解析式(2)已知一次函数的图象经过A (- 1 , 2)和 B ( 3, - 5)两点，求此一次函数的解析式解：(1 )设所求正比例函数的解析式为把，y=5 代入上式得，解之，得所求正比例函数

13、的解析式为(2)设所求一次函数的解析式为此图象经过 A (- 1 , 2)、B ( 3, - 5)两点，此两点的坐标必满足，将、y=2 和 x=3、 分别代入上式，得解得此一次函数的解析式为点评：(1) 不能化成带分数.(2)所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列几个方例 2.拖拉机开始工作时，油箱中有油20 升，如果每小时耗油5 升，求油箱中的剩余油量Q (升)与工作时间 t (时)之间的函数关系式，指出自变量x 的取值范围，并且画出图象分析：拖拉机一小时耗油5 升，t 小时耗油 5t 升，以 20 升减去 5t 升就是余下的油量解：图象如下图所示点评：注意函数自变量的取值范围该

14、图象要根据自变量的取值范围而定，它是一条线段，而不是一条直线.例 3.已知一次函数的图象经过点 P (- 2, 0),且与两坐标轴截得的三角形面积为3，求此一次函数的解析式分析：从图中可以看出，过点P 作一次函数的图象，和y 轴的交点可能在y 轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进行研究，这就是分类讨论的数学思想方法解：设所求一次函数解析式为点 P 的坐标为(一 2 , 0) |0P|=2设函数图象与 y 轴交于点 B ( 0, m )根据题意，SAP0B=3 |m|=3 一次函数的图象与y 轴交于 B1 ( 0 , 3 )或 B2 ( 0, - 3)将 P (- 2 , 0)及

15、 B1 ( 0, 3)或 P (- 2, 0)及 B2 ( 0，- 3)的坐标代入 y=kx+b 中，得 解得所求一次函数的解析式为点评：(1)本题用到分类讨论的数学思想方法涉及过定点作直线和两条坐标轴相交的问题，一定要考虑到方向，是向哪个方向作可结合图形直观地进行思考，防止丢掉一条直线.(2)涉及面积问题，选择直角三角形两条直角边乘积的一半，结果一定要得正值【考点指要】一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C 级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D 级知识点它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等

16、题型出现在中考题中，大约占有8 分左右解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法例 3 如果一次函数 y=kx+b 中 x 的取值范围是-2 x5，相应的函数值的范围是-11 今0，则可以列方程组-2k+b=-116k+b=9解得 k=2.5 b=-6，则此时的函数关系式为y=2.5x 6(2)若 k0，则 y 随 x 的增大而增大；若 k0，则 y 随 x 的增大而减小。综合测试一、选择题：1.若正比例函数 y=kx 的图象经过一、三象限，则k 的取值范围是（）A.k 和 B.k0 D.k 为任意值2.一根蜡烛长 20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y （

17、cm ）与燃烧时间 x （小时）的函数关系用图象表示为（）3.（北京市）一次函数的图象不经过的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.（陕西省课改实验区）直线 与 x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为（）A. 3 B. 6 C. D.5.（海南省）一次函数的大致图象是（）二、填空题：1.若一次函数 y=kx+b 的图象经过（0, 1 ）和（1, 3）两点，则此函数的解析式为 _ .2.（ 2006 年北京市中考题） 若正比例函数 y=kx 的图象经过点（1,2），则此函数的解析式为 _三、一次函数的图象与 y 轴的交点为（0, 3）,且与坐标轴围成的三角形的面积为6

18、,求这个一次函数的解析式.四、 （芜湖市课改实验区）某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械效率n和海拔高度 h （，单位 km ）的函数关系式如图所示.（1） 请你根据图象写出机车的机械效率n和海拔高度 h （ km）的函数关系；（2）求在海拔 3km 的高度运行时，该机车的机械效率为多少？五、 （浙江省丽水市）如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高OD 为 1.55 米，双方场地的长 OA=OB=6.7（米）.羽毛球运动员在离球网5 米的点 C 处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E 直线飞过，且 DE 为 0.05米，刚好落在对方场地点 B 处.（1）求羽毛球飞行轨

19、迹所在直线的解析式；（2） 在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC 为多少米？（结果精确到0.1 米）【综合测试答案】一、选择题：1. C 2. B 3. D 4. A 5. B二、 填空题：1.y=-2x+1 2. y=2x三、 分析：一次函数的解析式y=kx+b 有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y 轴的交点的纵坐标是一3,另一个条件比较隐蔽，需从和坐标轴围成的面积为6”确定.解：设一次函数的解析式为y=kx+b ,函数图象和 y 轴的交点的纵坐标是一3,函数的解析式为是一次函数，求其解析式。解析式时，要保证。如本例中应保证二点斜型 例

20、 2.已知一次函数 的图像过点 （2, 1） ,求这个函数的解析式。图像过点 （2,1 ），即 故这个一次函数的解析式为变式问法：已知一次函数这个函数的解析式。.定义型例 1.已知函数解：由一次函数定义知，故一次函数的解析式为注意：利用定义求一次函数解：一次函数的，当时，y= 1，求.两点型已知某个一次函数的图像与数的解析式为0 ）、（ 0, 4）,则这个函 由题意得 故这个一次函数的解析式为四.图像型函数解析式为五.斜截型析：两条直线x 轴、y 轴的交点坐标分别是（一 2, _ 解：设一次函数解析式为例 4.已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为 由图可知一次函数例 5.已知直线

21、。当_ 解：设一次的图像过点（1 , 0）、（ 0, 2） 有 故这个一次函数的解析式为与直线 平行，且在 y 轴上的截距为 2,则直线的解析式为 时， 直线 与直线 平行，。 又 直线 在 y 轴上的截距为 2, 故直求这个函数图象与 x 轴的交点，即解方程组：得即交点坐标为（，0）由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6，由三角形面积公式，得这个一次函数的解析式为四、 解：（1）由图象可知，与 h 的函数关系为一次函数 设此函数图象经过（0, 40%）, （ 5, 20%）两点解得（2 ）当 h=3km 时，当机车运行在海拔高度为3km 的时候，该机车的机械效率为28%五、

22、解：（1）依题意，设直线BF 为 y=kx+b/ OD=1.55 , DE=0.05即点 E 的坐标为（0 , 1.6 ）又 OA=OB=6.7点 B 的坐标为（一 6.7 , 0）由于直线经过点E （ 0 , 1.6 ）和点 B （- 6.7 , 0）,得解得，即：（2）设点 F 的坐标为（5 ,）,则当 x=5 时，则 FC=2.8在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度是2.8 米常见题型常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查 内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家

23、的学习有所帮助。线的解析式为六平移型 例 6把直线 向下平移 2 个单位得到的图像解析式为 _ 解析：设函数解析式为，直线向下平移 2 个单位得到的直线与直线平行直线在 y 轴上的截距为，故图像解析式为七.实际应用型 例 7.某油箱中存油 20 升，油从管道中匀速流出，流速为 0.2 升/分钟，则油箱中剩油量Q(升)与流出时间 t (分钟)的函数关系式为 _解：由题意得 ，即 故所求函数的解析式为()注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。八.面积型 例 8.已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为 _解：易求得直线与 x 轴交点为(，0)，所以，所以，即

24、 故直线解析式为或九对称型 若直线 与直线 关于 (1)x 轴对称，则直线 I 的解析式为 (2)y 轴对称，则直线 I 的 解析式为(3)直线 y=x 对称，则直线 I 的解析式为(4)直线 对称，则直线 I 的解析式为(5)原点 对称，则直线 I 的解析式为 例 9.若直线 I 与直线 关于y 轴对称，则直线 I 的解析式为 _解：由(2)得直线 I 的解析式为十.开放型 例 10.已知函数的图像过点A (1，4)，B ( 2，2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。解: ( 1)若经过 A、B 两点的函数图像是直线，由两点式易得(2)由于 A、B 两点的横

25、、纵坐标的积都等于4，所以经过 A、B 两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为(3)其它(略)十一 .几何型 例 11.如图，在平面直角坐标系中，A、B 是 x 轴上的两点，以 AO、BO 为直径的半圆分别交 AC、BC 于 E、F 两点，若 C 点的坐标为(0, 3 )。( 1 )求图像过 A、B、C 三点的二次函数 的解析式，并求其对称轴；(2)求图像过点 E、F 的一次函数的解析式。解：(1 )由直角三角形的知识易得点 A ( ,0)、B( ,0),由待定系数法可求得二次函数解析式为，对称轴是(2)连结 OE、OF,贝 U、。过 E、F 分别作 x、y 轴的垂线，垂足为 M、N、P、G,易求得 E ( ,)、F (,)由待定系数法可求得一次函数解析式为十二.