2021年春人教新版八年级下册第17章勾股定理单元练习含解析

1、第17章勾股定理.选择题共10小题 1.点A的坐标为2, - 1,那么点A到原点的距离为D. 1A. 32.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长后，在他的左右肩上生出两个小正方形,其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长后，变成了下列图,如果继续“生长下去，它将变得“枝繁叶茂，请你算出“生长了 2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2021C. 2021D. 2021C.-! , + 1D.-k/s4. Rt ABC中，/ C= 90°，假设 a+b= 14cm c = 10cm 那么Rt ABC的面积是2A. 24cm2B. 36cm2C. 48cm2D

2、. 60cm5. 如下图的“赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.假设ab= 8,大正方形的面积为25,那么小正方形的边长为B.6C. 4D. 36. 如图是“赵爽弦图 ， ABH BCG CDFffiA DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD EFGh都是正方形，如果 AB= 10, EF= 2,那么AH等于A. 2B. 4C. 6D. 87.如图，在 ABC中, AB= 8, BC= 10, AC= 6,贝U BC边上的高 AD%()A. 8B. 9C.仝D. 1052 2 2&假设 ABO的三边 a

3、、b、c 满足条件a-b a +b - c= 0，那么 ABCA. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形9.在一块平地上，张大爷家屋前 9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下局部的长是考虑房屋高度10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？不C. 一定会B.可能会D.以上答案都不对.填空题共5小题6cm 3cm 2cm 盒内可放木棒最长的长度是C. 8 cmD. 9cm11 .一个直角三角形的两条直角边分别为6cm, 8cm那么这个直角三角形斜边上的高为cm12.如图， ABC中，/ ACB= 90°,分别以 AB

4、C的边AB BG AC向外作等腰 Rt ABF等腰Rt BEC和等腰Rt ADC记厶ABF BEC ADC勺面积分别是 S1, S2, S,那么S、S、S3之间的数量关系是 13.如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积为225和144，那么正方14.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形2 2边长为7cm,正方形 A的面积为9cm,那么正方形A,B,C,D面积之和为 cm.15矩形纸片 ABCD中, AD= 10cm AB= 4cm按如图方式折叠，使点 B与点D重合，折痕为 EF,贝U DE=cm三解答题(共5小题)16. (1 )阅读理解

5、：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13; 9、40、41;但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5;是三个连续正整数组成的勾股数.解决问题：在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？答： ，假设存在，试写出一组勾股数： . 在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？假设存在，求出 勾股数，假设不存在，说明理由. 在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？假设存在，求出勾股数，假设 不存在，说明理由.(2)探索升华：是否存在锐角 ABC三边也为连续正整数；且同时还满足：/B>Z C>/ A;/ ABC= 2/ BAC

6、假设存在，求出 ABC三边的长；假设不存在，说明理由.17如图，正方形网格中的 ABC假设小方格边长为1,请你根据所学的知识(1 )求厶ABC的面积.(2)判断 ABC是什么形状？并说明理由.18. 问题背景：在厶 ABC中, AB BC AC三边的长分别为每、顷、门王求这个三角形 的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点 ABC(即厶ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这 样不需求厶ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.(1) 请你将 ABC的面积直接填写在横线上. (2) 画厶DEF DE EF DF三边的长分别为近

7、、徒、判断三角形的形状，说明理由.求这个三角形的面积.19. 如图1，在6X 8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点 D A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒 2个单位，点Q的运动速度为每秒 1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动.(1) 请在6X 8的网格纸图2中画出运动时间t为2秒时的线段PQ并求其长度；(2) 在动点P、Q运动的过程中， PQB能否成为PQ= BQ的等腰三角形？假设能，请求出 相应的运动时间t ;假设不能，请说明理由.LI 厂！ ! r !厂厂 厂iLd I厂II广I q图二20如图，一架 2.5米长的梯子 AB斜靠在竖直的墙 AC上，此时

8、点 B到墙的底端 C的距离为0.7米.(1) 如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4米，那么点B向外移动多少米？(2) 梯子的顶端沿墙 AC下滑的距离与点 B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么?参考答案与试题解析一选择题共10小题1.点A的坐标为2, - 1,那么点A到原点的距离为A. 3B. . -：C. HD. 1【分析】易得点 A的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理 求解即可.【解答】解：点 A的坐标为2,-1到原点O的距离：0A= 1= n.应选：C.2.有一个面积为1的正方形，经过一次"生长后，在他的左右肩上生出两个小正方形,其中，三个正方形围成的三角形是

9、直角三角形，再经过一次“生长后，变成了下列图,如果继续“生长下去，它将变得“枝繁叶茂，请你算出“生长了 2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2021C. 2021D. 20211次后，以直角三角形两条直【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2 X 1 = 2; “生长 2次后，所有的正方形的面积和是3X 1 = 3,推而广之即可求出“生长 2021次后形成图形中所有正方形的面积之和.【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a, b, c.2 2 2 根据勾股定理，得 a+b = c ,即正方形A

10、的面积+正方形B的面积=正方形 C的面积=1.推而广之，“生长了 2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2021 X 1 = 2021.应选：D.3如图，AB= AC那么数轴上点 C所表示的数为 ji.-2 -1 0 LC 23A. nB. . 1C.- ED.- n - 1【分析】根据勾股定理列式求出 AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.【解答】解：由勾股定理得，AB=匚二 AO ",.点A表示的数是-1,点C表示的数是一，-1.应选：B.4. Rt ABC中，/ C= 90°，假设 a+b= 14cm c = 10cm 贝U Rt ABC的面积是

11、A. 24cmB. 36cmC. 48cmD. 60cni2 2【分析】要求 Rt ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积.根据勾股定理，得a+b=c2= 100 .根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积.【解答】解： a+b= 142 a+b= 1962 2 2ab= 196 - a+b = 96 ab= 24.应选：A.5. 如下图的“赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边长为 b.假设ab= 8,大正方形的面积为25,那么小正方形的边长为A. 9B.6C. 4D. 3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长

12、为：a-b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,每一个直角三角形的面积为：二ab=丄x 8= 4,2回24x _ab+ ( a- b) = 25,22( a-b)= 25- 16= 9,a - b= 3,应选：D.6. 如图是“赵爽弦图 ， ABH BCG CDFffiA DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD EFGh都是正方形,如果AB= 10, EF= 2,那么 AH等于(B.C.6D. 8【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a- b= 2,解得a, b的值代入即可.【解答】解： AB= 10, EF

13、= 2,大正方形的面积是100,小正方形的面积是4,四个直角三角形面积和为100 - 4= 96，设AE为a, DE为b, 即卩4x ab= 96,j-i2 2 2ab= 96, a +b = 100,2 2 2 ( a+b)= a +b +2ab= 100+96 = 196, a+b= 14,a - b= 2,解得：a= 8, b= 6, AE= 8, DE= 6,AH= 8- 2 = 6.应选：C.7.如图，在 ABC中，AB= 8, BC= 10, AC= 6,贝U BC边上的高 AD%()A. 8B. 9C.仝D. 105【分析】根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出ABC是直角三角形，

14、再根据三角形的面积相等即可得出 BC边上的高.【解答】解： AB= 8, BC= 10, AC= 6,2 2 2.6 +8 = 10 , ABC是 直角三角形，/ BAC= 90°,那么由面积公式知， SABC= 丄AB?AC=丄 BC?AD2 2 AD=.5应选：C.2 2 2&假设 ABC的三边 a、b、c满足条件(a - b) (a+b - c ) = 0，那么 ABC%()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【分析】因为a, b, c为三边，根据(a-b) ( a2+b2- c2)= 0,可找到这三边的数量关系.2 2 2【

15、解答】解：( a- b) (a+b - c)= 0, a= b 或 a2+b2= c2.当只有a= b成立时，是等腰三角形.当只有第二个条件成立时：是直角三角形.当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形.应选：C.9.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下局部的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？不C. 一定会B.可能会D.以上答案都不对【分析】大树倒下局部，以 AB为半径，绕点 A做圆弧形的运动，AB= 10米，10大于9.【解答】解：由勾股定理知：BC=Q&丽也2 =右2甘 =8 米.由于8 v 9,应选：A.所以

16、 大树倒下时不能砸到张大爷的房子.C. 8 cmD. 9cm6cm、3cm 2cm,盒内可放木棒最长的长度是【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决.【解答】解：此题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为傅二尹=疝cm这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形.盒内可放木棒最长的长度是 .：-，二=7cm应选：B.填空题共5小题11 .一个直角三角形的两条直角边分别为6cm, 8cm,那么这个直角三角形斜边上的高为 4.8 cm【分析】根据勾股定理可求出斜边.然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答.【解答】解：直角三角形的两条直角边分

17、别为6cm 8cm斜边为 I =10,设斜边上的高为h,那么直角三角形的面积为 丄x 6X 8=丄乂 I0h, h = 4.8 cm,2 2这个直角三角形斜边上的高为4.8cm12.如图， ABC中，/ ACB= 90°,分别以 ABC的边AB BG AC向外作等腰 Rt ABF等腰Rt BEC和等腰Rt ADC记厶ABF BEC ADC勺面积分别是 S , S, S3,那么S、S2、S3之间的数量关系是S1= Sb+Se_2【分析】根据勾股定理得到AB = aC+bC,根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案.【解答】解：在 Rt ABC中, AB= AC+BC?,

18、 ABF BEC ADC都是等腰直角三角形，S1 = 4B, $ =耳eC- - bC,1 aD- aC,424S+Se- bS+IaC-441 aB ,4- 82+83=2Si,2故答案为：卅=S013.如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积为225和144，那么正方形A的面积为 81.【分析】根据正方形可以计算斜边和一条直角边，那么另一条直角边根据勾股定理就可以 计算出来.【解答】解：如图，/ CBD= 90°, CD= 225, BC= 144,bD= cD_ bC = 81,正方形A的面积为81,故答案为：81.14如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形

19、都是直角三角形，其中最大的正方形2 2 边长为7cm正方形 A的面积为9cm,那么正方形A,B,C,D面积之和为49cm.【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积和等于 最大正方形的面积.【解答】解：所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，2 2正方形 A的面积=a ,正方形B的面积=b ,99正方形C的面积=c ,正方形D的面积=d , 2 . 2 2 2 ,2 2又 a +b = x , c +d = y ,99999999正方形 A、B、C D 的面积和=(a +b ) + (c +d ) = x +y = 7 = 49cm . 故答案为：49.

20、15矩形纸片 ABCD中, AD= 10cm AB= 4cm按如图方式折叠，使点 B与点D重合，折痕为 EF,贝U DE=-cm5 【分析】根据条件可以知道，DE= BE,假设设DE= x,贝U DE= BE= x, AE= 10 - x,在Rt ABE中可以利用勾股定理，列方程求出DE的长.AE= 10 - x,【解答】解：设 DE= x，贝U BE= DE= x,又在Rt ABE中 aB+aE= bE ,2 2 2即 4+ (10- x)= x ,解得x =故答案为:2929T三解答题(共5小题)16. (1)阅读理解：我们知道在直角三角形中,有无数组勾股数，例如:5、 12、 13; 9

21、、40、41;但其中也有一些特殊的勾股数，例如:3、4、5;是三个连续正整数组成的勾股数.解决问题：在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？答： 存在 ，假设存在，试写出一组勾股数:6, 8, 10. 在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？假设存在，求出 勾股数，假设不存在，说明理由. 在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？假设存在，求出勾股数，假设 不存在，说明理由.2探索升华：是否存在锐角 ABC三边也为连续正整数；且同时还满足：/B>Z C>/ A;/ ABC= 2/ BAC假设存在，求出 ABC三边的长；假设不存在，说明理由

22、.【分析】1 © 6, 8, 10; 设这三个正整数为 n- 1, n, n+1,根据勾股定理列方程可得方程解x = 4,得出还是3,4, 5这三个数，可得结论不存在； 设这三个奇数分别为：2n- 1, 2n+1, 2n+3,同理列方程，方程无整数解，可知，不存在；2设AB= x, AC= x+1, BC= x- 1，作辅助线，构建等腰三角形，证明CABA CDA列比例式，可得方程，解出即可.【解答】解：1存在三个连续偶数能组成勾股数，如6, 8, 10, 3分故答案为：存在；6, 8, 10 ；答：不存在，4分理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数，设

23、这三个正整数为 n- 1, n, n+1,2 2 2那么n- 1+n = n+1, 5 分n1 = 4, n2= 0 舍，当 n = 4 时，n- 1 = 3, n+1 = 5,三个连续正整数仍然是 3, 4, 5,不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数；6分答：不存在，7分理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数,设这三个奇数分别为：2n- 1, 2n+1,2n+3 n> 1 的整数，2 2 2(2n- 1) + (2n+1)=( 2n+3),n2=-不存在三个连续奇数能组成勾股数;(8 分)2答：存在，三边长分别是4, 5,6, (9 分)理由是：如图，在 ABC中，设

24、 AB= x, AC= x+1, BC= x - 1, 那么：/ B>/ C>/ A； / ABC= 2/ BAC延长CB至 D,使BD= AB连接 AD/.z BAD=Z BDA (10 分)/ ABC=Z BABZ BDA= 2Z BDAZ ABC= 2 Z BAC:丄 BAC=Z BDA Z C=Z C, CAB CDA CD AC aC= bqdc2( x+1)=( X- 1) (X- 1) +x,x= 5 或 0 (舍)，当 x = 5 时，x - 1 = 4 , x+6 ,/ BC= 4 , AB= 5 , AC= 6 ,答：满足条件的厶 ABC三边的长为4 , 5 ,

25、 6. (12分)£Ac 1-1BxD17如图，正方形网格中的厶 ABC假设小方格边长为1，请你根据所学的知识(1 )求厶ABC勺面积.(2)判断 ABC是什么形状？并说明理由.【分析】(1)用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出厶ABC勺面积.(2)根据勾股定理求得 ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难 得到其形状.【解答】解：(1 ) ABC勺面积=4X 8 - 1 X 8- 2 -2 X 3-2 - 6X 4- 2= 13.故厶ABC勺面积为13;2 正方形小方格边长为 1 AC= . . jAB= -1 i - _ = . |:，BC= | .： =

26、 2 :, 在 ABC中, AB+BC= 13+52 = 65, AC= 65,2 2 2- AB+BC = AC,网格中的厶ABC是直角三角形.18问题背景：在厶 ABC中, AB BC AC三边的长分别为衝、顶、/叵，求这个三角形 的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格每个小正方形的边长为1,再在网格中画出格点 ABC即厶ABC三个顶点都在小正方形的顶点处，如图1所示.这 样不需求厶ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.1 请你将 ABC的面积直接填写在横线上.3.52画厶DEF DE EF DF三边的长分别为近、竝、 判断三角形的形状，说明理由. 求这个三角形的面积./k

27、BC图1图2【分析】1利用恰好能覆盖厶 ABC的边长为3的小正方形的面积减去三个小直角三角 形的面积即可解答；2利用勾股定理的逆定理进行解答，利用1方法解答就可以解决问题.【解答】解：1如图，ABC= 3 x 3 丄 x 2 x 1 -x 3 x 2= 3.522丄x 3x 1 -2(2 )© DEF为直角三角形；因为：4: ，所以 DEF为直角三角形； Sdef- 3 X 2 -Ax 3 x 1 -丄x 2X 2-3x 1 x 1 = 2;2 2 2答： DEF的面积为2.19.如图1，在6x 8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点 D A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒 2个单位，点Q的运动速度为每秒 1个单位， 当点P运动到点C时，两个点都停止运动.(1) 请在6x 8的网格纸图2中画出运动时间t为2秒时的线段PQ并求其长度；(2) 在动点P、Q运动的过程中， PQB能否成为PQ= BQ的等腰三角形？假设能，请求出相应的运动时