用GeoGebra促进学生数学思维的发展

1、    用geogebra促进学生数学思维的发展    龙正武“数学是人类思维的体操”，利用数学可以培养人的思维能力，这些都已经是大家的共识。另外，数学思维是一个整体的结构，数学教学应从思维的整体性出发，数学教学要提高教学的理解力，促进学生思维整体结构的发展1。在信息技术飞速发展的今天，如何借助有关软件来进行数学教学，帮助学生发展数学思维能力，已经成为广大数学教育工作者十分关注的问题。geogebra是一款结合了几何、代数、微积分和统计功能的动态数学软件，其提供了多种语言支持，已在欧洲和美国荣获多项教育类软件奖项。这一软件近年来也越来越受到了一线教师的关

2、注，得到了广泛的应用和探讨2345。在试用和探索的过程中，笔者发现，比起过去大家课堂上使用的主流软件，geogebra更能促进学生数学思维的发展，更有利于减轻一线中学数学教师制作课件和教学等的负担，下面选取几个案例加以说明。关于分段函数的教学函数是中学数学内容中一个非常重要的讨论对象。而分段函数性质的考查，既涉及整体性的考量，又要处理函数局部的特征，因此这一内容一直是教学重点和难点之一。在实际教学过程中，借助分段函数的图像来突破上述重难点是非常有效的教学手段。然而，手工或者利用有关教学软件作出分段函数的图像，一直是比较烦琐和困难的。例如，如果在课堂上要作出函数的图像，有些教师作出的图像如图1所

3、示，其中用加粗的曲线表示出了分段函数的图像。不难看出，用这样的图像进行教学会有不理想的地方，因为多余曲线的存在会干扰学生的思维，阻碍学生对分段函数整体性质的理解。也有些教师是借助符号函数等将函数表达式化为一个，然后借助有关软件实现的。例如，上述分段函数可以改写为：对于这种方式而言，即使不过分追究其中0的问题，单就分段函数改写的表达式来理解，对学生来说也并不容易。但如果使用geogebra，只需使用“if”命令就可以实现分段函数的显示和作图。例如，对于上述分段函数，只需在命令输入窗口中输入“f（x）=ifx<=0，x2+2x，x2-2x”，即可得到图2所示图像。图2中代数区显示的函数表达式

4、，与学生课堂中所见形式是类似的，这无疑也能减轻学生理解上的负担。动态过程的实现在一些内容的教学过程中，使用动态效果来让学生加强对有关结论的直观认识，已经是现在数学课堂上不可缺少的一种教学方式。这当然也是培养学生数学思维能力的一种有效手段。比如，为了让学生深刻地理解函数中参数a对函数图像的影响，教师一般都会制作有关动画来动态演示变化过程。在geogebra中，选中“滑动条”之后在绘图区合适的位置单击，即可新建参数，在出现的对话框中可以指定参数的类型（“数字”“角度”“整数”），设置区间的最小值、最大值和增量等。参数建立以后，就可以立即在函数表达式中使用。更加方便的是，右键单击参数后，在快捷菜单中

5、选择“启动动画”，就可以让参数在指定的范围内自动变化，从而产生动画效果。例如，上述三角函数的实现如图3所示。选择“文件”“导出”“动画gif”命令后，可以将动画效果导出为gif图像，以供制作ppt等使用。这对于教师来说，无疑是个非常适用的功能。空间想象能力的培养空间想象能力的培养是中学数学教学中一个非常重要的目标。给定空间几何体，要学生画出对应的平面直观图；给定二维的平面直观图，让学生想象出有关空间几何体及其中对象的位置关系等，都是教学中经常要做的事情。在这一过程中，涉及三维与二维相互转化的问题，因此，这也是教学中的一个难点。例如，空间几何体直观图的斜二测画法中，要求看不见的线应该画成虚线或者

6、不画。在实际的操作过程中，无论是对教师来说还是对学生来说，这都是很容易出错的。但在geogebra中，利用其中的“3d绘图区”，只要指定了空间几何体的各个面，那么看不见的线就能自动变为虚线，而且当改变空间几何体的视角时，各线段也能自动在实线和虚线间切换，如图4所示。另外，在图4所示的立体图形中，显示了球面与棱锥相交之后的截面形状，这些内容的突出显示能提高学生对立体图形中有关几何对象的认识，从而提高自己的空间想象能力。统计计算和分析因为统计的有关内容与日常生活的联系非常紧密，而且在社会的各个方面都有应用，因而已经成为现代公民必须具备的知识之一。但是，在中学数学的教学中，因为统计知识所涉及的“随机

7、性”思想与传统数学内容“确定性”的思想区别较大，所以教学和考查都是学生容易出错的地方67。统计的内容学生掌握起来比较困难的一个原因在于，其中涉及的计算比较烦琐而且容易出错。学生在学习的过程中，常常过分地关注了其中的计算而轻视了统计思想的理解。例如，学生对平均值与方差，都知道怎么去算（虽然不一定算得对），但是大多数都不能将其直观意义说出来。再比如，关于线性回归分析的内容，学生往往只是惊叹回归系数公式的复杂和计算的繁杂，而不会仔细去体会回归系数的理论和实际意义。从这个角度来说，要促进学生统计思维的发展，在教学过程中，不仅要加强有关原理性知识的说明，而且要淡化其中的计算。但计算在统计教学中是不可避免

8、的，离开了计算，学生根本没有机会去直观理解统计的原理，因此借助有关软件来完成统计计算和分析，是发展学生统计思维的必由之路。 利用geogebra的表格区，可以方便、快捷地进行有关统计计算和分析，能实现的功能包括“单变量分析”“双变量回归分析”“多变量分析”等。例如，2、4、5、6、8的单变量分析结果如图5所示，可以看出，分析的结果中将平均数、标准差、最小值、中位数等都一并显示出来了，而且还显示了这组数的直方图。这样就可以让学生的注意力放在原理的理解和掌握上，而不是计算实现的难易程度上。输入两组数以后，也可以进行双变量回归分析，而且回归模型可以指定为“线性”“对数”“多项式”“幂”“指数”“成长

9、曲线”“正弦”“逻辑回归”等的任何一种，如图6所示。指定回归模型后，可以直接输入自变量的值，从而得到预测值。总的来说，geogebra的功能非常多，比如可以进行集合运算、排列组合数计算等。例如，利用命令“c=intersectiona，b”“d=uniona，b”可求得两个集合a、b的交集c和并集d，利用“x=nprn，k”“y=binomialn，k”可求得排列数和组合数，甚至可以利用geogebrascript等进行交互式编程，实现数据输入、创建复选框、创建按钮等功能。其能够满足一线中学数学教学中关于代数、几何、函数、概率统计等多方面的要求。但是，教学中任何信息技术的使用，都必须围绕提高教学效率来进行，对中学数学教学来说，尤其是要注意帮助学生发展数学思维。如果在教学过程中，我们能创造性地利用好geogebra提供的各种功能，一定能提高一线数学教学的效率。参考文献林崇德.智力发展与数学学习m.北京：中国轻工业出版社，2011.寇恒清.geogebra在高中数学教学中的应用初探j.数学通报，2015.李世臣，李淑梅.基于geogebra软件环境下一种轨迹曲线的探究j.中国数学教育，2015（3）.盘俊春.数形结合的利器：geogebraj.中国信