基本不等式完整版(非常全面)

1、基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式(1)若 a,b R,则 a2b22 ab1、设a,b均为正数，证明不等式：Jab »1a,b,c为两两不相等的实数2(2)若 a,bR*,则 ab b2b2abbcca若a,b R,贝U ab22、基本不等式一般形式（均值不等式）*右 a,b R ,贝U a b2jab3、基本不等式的两个重要变形（1）若 a,bR*,则 a-v'ab2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值;特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“二”4、

2、求最值的条件:5、常用结论“一正(1)若 x0,则(2)若 X0,贝Ux1x x12（当且仅当2（当且仅当3、已知a1,求证:b2(3)若 ab0,则与 b2 （当且仅当(4)若 a, b号)24、a,b,c(5)若 a,b2.2a b12(1a)(1b)(1 c) 8abc特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”6、柯西不等式(1)若 a,b, c,d R,则(a2 b2)(c2 d2) (ac bd )2(2)若 a1,a2,a3,bi,b2,b3 R ,则有:5、a,b,c R(a；222,2,22a2a3 )(16 b2b3 )6a2b2a3b3)(3)设4e2, ,an与b1

3、,b2, ,b是两组实数，则有111-1-1bc2a?an2)(b12 b22bn2) (am a2b2a”6)26、（2013年新课r标n卷数学（理）选修45:不等式选，讲设a,b,c均为正数，且a b c 1,证明：2221 ,、a b c （1） ab bc ca ； （ n）1.3b c a题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1） y 3x2 2（2） y x（4 x）2x1 ,(3) y x (x 0) x1 ,(4) y x - (x 0) x题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）41、已知x 2,求函数y 2x 4 的最小值;2x 47、（2013年江苏卷（数学）

4、选修4一5:不等式选讲已知 a b 0,求证：2a3 b3 2ab2 a2b变式1：已知x 2 ,求函数4y 2x 的最小值;2x 44变式2：已知x 2 ,求函数y 2x 的最大值;2x 4练习：1、已知x5,求函数y44x 21的最小值:4x 5-52、已知x4求函数y 4x2 的取人值；4x 52、若0 x 2 ,求y ,x(6 3x)的最大值;变式：若0 x 4 ,求y Jx(82x)的最大值;题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当|口工c 4时，求y x(8 2x)的最大值；3、求函数y冤2x 1 95 2x(x M)的最大值;22(提示：平方，利用基本不等式)变式1：当口心

5、工工4时，求y 4x(8 2x)的最大值;变式：求函数y 7 4x 3 V11 4x(- x 11)的最大值;443变式2：设0 x -,求函数y 4x(3 2x)的最大值。题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题111、已知a,b 0,a 2b 1 ,求t 1 1的最小值;a b19变式4：已知x, y 0,且 4,求x x yy的最小值;法一：的最小值；y的最小值;变式5:11(1)若 x,y 0 且 2x y 1 ,求- x y(2)若a,b,x, y R 且a b 1,求 x x y、，-111.1 ,11,.，变式1：已知a,b 0,a 2b 2,求t 一 一的最小值;a b变式6：已知

6、正项等比数列an满足：a71存在两项am，an ,使得、；aman4a ,求一ma6 2a5,右4 ，一，一的最小值；n、,、 一，2 8变式2：已知x, y 0,- - 1 ,求xy的最小值;x y11式3：已知x, y 0,且一一9,求x y的取小值。x y题型六：分离换元法求最值（了解）x2 7x 101、求函数y （x 1）的值域;x 1题型七：基本不等式的综合应用a _ b1、已知log 2 a 10g 2 b 1 ,求39的最小值变式：求函数yX2 8,(x 1)的值域;X 1x 22、求函数y 的取大值；（提不：换兀法）2x 5变式1： （2010四川）如果a b 0,求关于a,

7、b的表达211 一 一式a 的取小值；ab a（a b）2、（2009天津）已知a, b 0,求2vab的最小值; a b变式：求函数y 上x二的最大值;4x 9变式2： （2012湖北武汉诊断）已知，当 a 0, a 1时，函数y 1oga（x 1） 1的图像恒过定点 A,若点A在直线mx y n 0上，求4m 2 n的最小值；3、已知 x, y 0, x 2 y 2xy 8,求 x 2 y 最小值;4、（2013年山东（理）设正实数x,y,z满足x2 3xy 4y2 z 0 ,则当取得最大值 z一，212时，一一一的取大值为（）x y zA. 0 B. 1 C.9 D. 34（提示：代入换

8、元，利用基本不等式以及函数求最值）变式1:已知a,b 0 ,满足aba b 3,求ab范围;变式2： （2010山东）已知x,y 0, -2 x 2 y 3求xy最大值；（提示：通分或三角换元）2变式：设x,y,z是正数，满足x 2y 3z 0,求-的xz最小值；变式 3： （2011 浙江）已知 x,y 0 , x2 y2 xy 1, 求xy最大值；题型八：利用基本不等式求参数范围1、(2012 沈阳检测)已知 x, y 0,且(x y)(- a) 9 x y恒成立，求正实数 a的最小值；,一 11 n ,2、已知x y z 0且恒成立,x y y z x z如果n N ，求n的最大值；(参

9、考：4)(提示：分离参数，换元法)1变式：已知a,b 0满则1 a44，一一一 2 ,右a b c恒成乂, b求c的取值范围;题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式 a b(a,b,c,d R,当且仅当一 一；即ad be时等w成立)c d若 a, b,c,d R,则(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)22、二维形式的柯西不等式的变式(1)Ja2 b2 4cd ac bd(a,b,c,d R,当且仅当a P;即ad be时等号成立)c d(2), a2 b2 . c2 d2 ac bd(a,b,c,d R,当且仅当a P;即ad be时等号成立)c d2(a b)(c d) (

10、. ac . bd )(a,b, c, d 0,当且仅当刍即ad bc时等号成立)c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式(当且仅当0,或存在实数k,使a k时，等号成立)4、三维柯西不等式若 子 ,a2, a3,b1,b2,b3 R,则有：(a； a22 a32)(1b； 22 42)(4匕 a2b2 a3b3)2(ai,bi R,当且仅当曳生曳时等号成立) “ b2 b35、一般n维柯西不等式设阚®, ,an与6,b2, ,bn是两组实数，则有：2222.2.22(3 a2an)(bi b20) (a1b1 a2 b2anbn)(ai,bi R,当且仅当曳 &亘时等号成立

11、)b1 b2bn题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, y, z R,若 X2 y2 z2 4,则 x 2y 2z 的最小值为 时，（x, y,z） 4、（2013 年湖南卷（理）已知 a,b, c , a 2b 3c 6,则a2 4b2 9c2的最小值是（ Ans:12）析：(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)12 ( 2)2 224 9 36 x 2y 2z最小值为 6此日x1yz6-22 12 ( 2)2 2223-2、设 x, y,z R, 2x y 2z 6 ,求x2 y2 z2的最 小值m ,并求此时x,y, z之值。4 24Ans： m 4;(x, y,z)(-,-,一)3 335、（ 2013年湖北卷（理）设x, y, z R ,且满 足：x2 y2 z2 1 , x 2y 3z VT4 ,求 x y z 的 值；3、设