(word完整版)高考数学三角函数知识点总结及练习,推荐文档

1、三角函数总结及统练 . .教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1.1.与角终边相同的角的集合S 2k ,k Z 2.2. 三角函数的定义（六种）一一三角函数是 x、y、r三个量的比值 3.3. 三角函数的符号口诀：一正二弦，三切四余弦。 4.4. 三角函数线 正弦线 MP=MP=sin 余弦线 0M= 0M= COS 正切线 AT= AT= tan 5.5.同角三角函数的关系 倒数关系：tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6.6.诱导公式一一口诀：奇变偶不变，符号看象限。 2k 2 2 2 平方关系: sui Ct 斗

2、cos3 a = 1 1 + tan a = sec a, 1 十 COt CE = CSC CL 商数关系: sin a cose tan 65 = - i cot cc = - 正弦 sin sin sin sin sin cos cos 余弦 cos cos cos cos cos sin sin 正切 tan tan tan tan tan cot cot 余切 cot cot cot cot cot tan tan 7.7.两角和与差的三角函数 函数 y sin x y cosx y tanx 半角公式: sin 2 1 cos cos 2 1 cos tan 2 1 cos 1 c

3、os cos sin 1 cos tan 1 2 sin 9 9. .三角函数的图象和性质 si n( ) sin cos cos sin tan( si n( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin tan( cos( ) cos cos sin sin 8. 8. 一倍角公式- 代换： 令 tan tan 1 tan tan tan tan tan tan sin 2 cos2 2sin cos 2cos2 2si n2 cos 2 sin tan2 2ta n 1 tan2 -2 sin 1 cos2 2 cos 2 1 cos2 （1 1）y

4、sin x 图象左移 y sin(x ) 横坐标缩短到原来的丄倍 x | x R 且 x k , k Z 2 y min 1 周期性 周期为2 周期为2 周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 2k -,2k - 在 2 2 上都是增函数；在 3 2k 一,2k 2 2 上都是减函数（k Z） 在2k ,2k 上都 是增函数，在 2k ,2k 上都是 减函数（k Z） k , k 在 2 2内 都是增函数（k Z） 10.10.函数y Asin( x )的图象变换 AO, 函数y Asin（ x ）的图象可以通过下列两种方式得到: 定义 域 值域 最值 1,1 x 2k /2时 y m

5、ax x 2k /2时 1,1 X 2k 时 ymax 1 x 2k 时 y min 1 R R 无最大值 无最小值 横坐标缩短到原来的丄倍 图象左移一 （2 2）y si nx y sin( x) y si n( x ） 纵坐标伸长为原来的 A A 倍 y As in( x ) （二）数学思想与基本解题方法 1.1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 2.2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。 3 3估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。 4.4. 角的和与差的相对性 如： （ ）- 角的倍角与半角的相对性 5.5. 升幕与降幕：升幕角减半，降幕角加倍。 6.6. 数

6、形结合：心中有图，观图解题。 7.7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。 8.8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。 【典型例题】 y asinx bcosx a2 b2 sin(x ), tan 1.1.女口： a (化成一个角的一个三角函数) y sin x cosx 2 sin(x ); y sin x .3cosx 2sin(x ) 4 3 y sin( x 纵坐标伸长为原来的 A A 倍 y Asin( x 如: y . 3 sin x cosx 2sin(x ) 6 例 1 1求下列函数的最大值和最小值及何时取到？ 2 2 (1) f (x

7、) sin x 2sin x cosx 3cos x 2 (2) f(x) sin x sinx cosx 1 解： 41 cos sin 41 cos V2 cos 2 2 例 2化简 2 1 sin 8 2 2 cos8 _ 答案：2si n4 3.3.化异为同 例 3 3已知tan 2，求： sin cos sin2 2 (1 1) sin cos 2 2 (2 2) 3 cos sin 答案：(1 1) 3 3; (2 2) 14 答案:(1)(1) 2 2 sin(2x ) 4 , y max 8（k Z） ymin 、2,x k 3r(k Z) 3 丄sin(2x 2 2 4),

8、y max .2 3 (k Z) ymin 8(k Z) 2 2. .“ i i ” 熟悉下列三角式子的化简 的妙用凑一拆 、1 2 sin cos sin cos 2 sin( 7) 、1 sin 1 2sin cos 2 2 sin cos 2 2 运sinq -) tan 2 例 4 4已知 2 2, 2 2cos2 sin 1 2 ，求： sin cos 4. 4. sin cos 与sin cos 间的相互转化 (1 (1 )若 sin cos sin t，则 cos t2 _1 2 ； sin .2 t 1 ； sin cos = = 2 t2 sin cos t，则 sin co

9、s sin cos 2t (3)(3) tan cot 1 sin cos 2 sin 2 tan 例 5 5化简： 8 cot 8 答案: 例 6 6 若 在第二象限, sin 2 75 cos 2 sin 求 2 cos 2。 答案: 5.5.互为余角的三角函数相互转化 2，则 sin cos .cos sin 例 7 7 已知 sin( )- 3 4 则 cos（6 ） 答案: 例 8 8 求值: sin 40 sin 50 cos10 1 答案：2 527 例 9 9求值：sin 18 sin 54 _ 。 1 答案：4 6.6.公式的变形及活用 (i i) tan tan tan(

10、)1 tan tan AB (1 tan A)(1 ta n B) 2 (2 2 )若 4 例 10计算(1 tan1 )(1 tan 2 )(1 tan3 ) (1 tan 45 ) _ 答案：223 答案：3 7.7.角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性 1 tan -,ta n( ) 2 例 1212若 3 ，则 tan _ 。 答案：7 7 5cos( ) 7 cos 0 tan tan 例 1313若 2 2 ，则 2 2 _ 。 答案：6 例 1414在ABC中，A A 为最小角，C C 为最大角，且cos(2A C) 0.8， sinB 0.8，求 cos(2B 2C)的值

11、。 答案：625例 1111 tan 70 tan10 . 3 tan70 tan10 8.8.角的范围的限定 由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。 1 sin cos - 例 1515已知 3 (0,)，求 cos2 答案： 9 sin cos 例 1616若是第二象限角且 2 2 ,5 sin cos 2，求 2 2的值。 (si n cos)2 解法一：利用公式 2 2 1 sin 然后限定角的范围。 sin cos t 解法二：设 2 2 利用平方和求t的值，然后限定角的范围。 (si n cos)(s in cos) 解法三：利用 2 2 2 2 cos ，

12、可回避限定角的范围。 A B C 180 ； A B 180 C ； 结论： si n( A B) sin C . cos(A B) .A B C A B .C sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 - 3 答案： 2 9.9.在三角形中的有关问题 例 1717已知 A A、B B、C C 是ABC的内角且IgsinA 的形状。 A B C 2 2 2 cosC lg sin B lg cosC lg 2，试判断此三角形 答案：等腰三角形，B=CB=C 例 1818在锐角三角形 ABC ABC 中，求证：Sin A sinB sinC cosA cosB cosC AB 0 BA 证

13、明：由 2则 2 故 sin A cosB 同理 sin B cosC sin C cosA 三式相加, 得证。 10.10.形如 cos2 cos 4 cos8 cos2n 的化简 例 1919求值： （1 1） cos36 cos72 (2)(2) 2 4 coscos cos 7 7 1 答案：（1 1）4 (2)(2) 11.11.三角函数图像和性质的应用 会求一一定义域、 值域、 最值、 周期、 对称轴、 单调区间 （ 不等式、三角方程、比较大小。 例 2020求下列函数的定义域。 “一套”）；会简单的三角 (1)(1) lg sin(cos x) （2 2） 答案: A 2 log

14、0.5 x Itanx (1)(1) (2k 2)(k Z) (o, 2) ,4 例 2121 求下列函数的值域。 （1 1）y sin x x 2 sin x 0, (2 (2 )若 x是锐角, y sinx cosx 的值域。 答案：（1 1） (2) ”(2) ”2 2】 12.12.可化为形如：y Asin（ x ） B的形式（一个角的一个三角函数）例 2222已知函数y 3cos2 x 2j3sin xcosx sin2 x，求“一套”。 答案： y 2 si n(2x 6) 2 ， 定义域： R R ； 值域 0,4， y max 4 ，min 0 ； T 对称轴 x k ( Z)

15、 k ,k 2 6 增区间： 3 6 k -,k 2 -(k Z) 减区6 3 13.13.函数y Asin( x ) B的图像的变换一一两个题型，两种途径 题型一：已知解析式 y Asin( x ) B确定其变换方法 变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。 注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与 的关系 题型二：由函数图像求其解析式 y Asin( x ) B x 例 2323已知函数y Asin( x )，( A ， 0， 2 )在一个周期内，当 6时， 2 x y有最大值为 2 2，当 3时，y有最小值为 2，求函数表达式，并画出函数 y Asin( x )在一

16、个周期内的简图。(用五点法列表描点) y 2 si n(2x ) 答案： 6 冥 _ 12 o 2 厂 1 竺 2 6 n 1 1 1 1 II V 0 図区 2# / 14.14.可化为形如： 2 y at bt c，t D (定义域有限制的一元二次函数) y 例 2424求函数 3 (2 cosx)(5 cosx)的值域 解: 4,2 例 2525已知y cos2x asinx，若记其最大值为g(a)，求g(a)的解析式。 2 a 4，当 a 2 时,g(a) a 1 2 时，g(a) a 15.15.周期函数与周期 例 2626已知函数y f (x)对定义域中每一个x都有f (2x T)

17、 f (2x)，其中 T 0，则 f(x) 的周期 解: 。T T 例 2727 已知奇函数 y f(x)对定义域中每一个x都有f(x 2) f(X)成立，求其周期。 解: 4 4 例 2828已知奇函数y f(x)对定义域中每一个x都有f(x 2) f(2 x)成立，求其周期。 解：8 8(sin x a)2 2 a 2时，g(a) 1 例 2929已知奇函数y 解：6 6 f (x)对定义域中每一个 f(x x都有 3) f(x)成立，求其周期。 例 3030已知奇函数y 解：6 6 16.16.函数与方程的思想 f (x)对定义域中每一个 f(x x都有 3) 1 f(x) 1 f (x

18、)成立，求其周期。 例 3131方程 100sinx x的解的个数 解：6363 【模拟试题】(答题时间：6060 分钟) 1.1.求下列函数的最大值和最小值及何时取至U?U? f (x) sin x cos6 x 2.2.已知tan 2 2，求：sin 2sin cos c 2 3cos sin 3.3.设 cos 1 4 ， 贝U sin cos 4 4. . sin x cosx sin x cosx的最大值和最小值。 cos40 sin 50 (1 、3 tan1O ) 5 5. . 求值: sin 70 1 cos40 6 6. . sin 若 cos 1 5 ； (0, 求cot

19、7.7.已知 (0,)且tan( 的值。 8. 8. a为何值时方程cos2x cosx 0有解? 9.9.方程 cos2x asinx 0, x 0, 有两解时求 a的值。 10.10.求值: (1) (1) cos20 cos40 cos60 cos80 (2 2) sin 18 sin 54 11.11. 求下列函数的定义域。 y lg sin x tan x .3 12.12. 已知函数y 3co x 3sin xcosx sinx，当x 4，4时，求函数的最大值 和最小值及何时取到？x 11 .6 2. 2. 5 3.3. 2 4 5. 5. 2 2 6.6. 3 7.7. 提示：关