专项练习：菱形的判定

1、专项练习：菱形的判定菱形的判定一、选择题1. 下列条件能判断四边形A3CD是菱形的条件是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.邻边相等D.对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（）A.矩形.B.菱形.C.矩形和菱形.D.正方形.3. 满足下列（）的是菱形.A.两对角线相等B两对角线垂直C. 两条对角线垂直且互相平分D. 两条对角线相等且互相垂直4顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（ ）A.等腰梯形B.矩形 C.对角线相等 D.菱形5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分

2、，将展开后得到的平面图形是（）A.矩形 B.三角形C.正方形D.菱形6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边 形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定8. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A. AB = CDB. AC = BDC. /C丄BQ时，它是菱形D.当ZMC = 90°时，它是矩形二、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是.10. 在四边形ABCD中，对角线AC. 3D交于点O,从(1) AB = C

3、D； (2)AB/CD； (3) OA = OC； (4) OB = OD; (5) MC 丄 3D； (6) z!C 平分上必 Q 这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形.如(1) (2) (5) =>ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个："BCD是菱形：ABCD是菱形.11. 延长等腰肋C顶角平分线到E使DE = 4D,连结BE, CE,则四边形ABEC是形.12. 对角线的四边形是菱形.13. 将矩ABCD绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使力与B重合，得矩形BFDE, BF$AD于M, DE交BC于N,则四边形MDN是(填特殊四边形的名称).三. 证明题14

4、. 已知，如图，从菱形ABCD对角线的交点0分别向各边引垂线，垂线分别是E9 F, G, H.求证，四边形EFGH是矩形.15. 已知四边形的四边分别为s b, c. d.且满足a4 +b4 + c4 +1/4 = Aabcd 9 求证：四边形 ABCD 是菱形16. 已知口43CD是对角线AG BQ相交于0,如图，且AD = AC = 69BD = 4,你能说明四边形是菱形吗？17.如图所示，RtAABC中，ZACB = 90 , ZABC的角平分线3D交AC于点6CH丄AB交BD于F , DE±ABE9四边形CDEF是菱形吗？18.如图，在五边形 A3CDE中，AB = BC =

5、 CD = DE = EA. ZABC = 2ZDBE.请 说明：四边形ACDE是菱形.19.如图，在ABC中，AQ是ABAC的平分线，齐垂直平分AQ交于E ,交AC于F,求证：四边形是菱形.20如图，矩形43CD中，O是两对角线的交点，AF垂直平分线段03,垂足 为E, CH垂直平分线段OD,垂足为G.求证：（1） AOB是等边三角形；（2）四边形AFCH是菱形.21.如图，矩形ABCD中，0是AC与3D的交点，过0点的直线与AB 9 CD 的延长线分别交于E, F.（1）求证：ABOEADOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF为菱形？并证明你的结论.22如图所示，AQ是Rt

6、ZkABC斜边3C上的高，的平分线交AQ于M,交AC于E, ZDAE的平分线交CD于求证：四边形AMNE为菱形23.如图所示，在四边形ABCD中，对边= A/, /V , P , 0分别是AD,24.如图，四边形ABCD中，点E在A3上，且NADE与BCE都是正三角形, 点P, c，M, W分别为边AB, BC, CD, 04的中点.求证：四边形P0MN为菱形.25.如图，四边形 ABCD 中，ZABC = ZADC = 90 , M AC 中点，且MN 丄 与MD的平行线DV交于N,求证：四边形3VDM为菱形26.如图 RtA ABC 中，ZBAC = 90 , AD 丄 BC于 D 9 C

7、E平分 ZACB 交 A£于 G , 交A3于。EF丄BC于F,求证：四边形4EFG为菱形.21. 口ABCD的对角线的垂直平分线与边AD BC分别交于国F,求证：四边28. 已知：如图，过口ABCQ的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E，F, G H求证：四边形EFGH是菱形.29. 如图，在口ABCD中，。是对角线AQ的中点，过点O作AC的垂线与边AD,分别交于E, F.求证：四边形AFCE是菱形.四、应用题30. 如图，在四边形4BCD中，E、F、G. H分别是AB、BC、CD、DA的中点,请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说

8、明理由.C参考答案一、选择题1. D2. B3. C4. C5. D6. C7. B8. B二、填空题9. 菱形10. (1)(2)(6)(3)(4)(5)或(6)11. 菱12. 互相平分且垂直13. 菱形三、证明题14. 先证四边形为平行四边形，再证HF = EG.15. 解：因为a4+b4+c4+d4 =4abcd ,所以2a4+2b4 +2c4 +2J4-8abcd = 0,所 以(/ 一2a2b2 + 戻)+ (戻一2a2c2 +c4) + (c4-lc2d2 + 占)+ (J4 一2a2d2 + a4)+2(/方2 一2abcd + c2d2) + 2(% 一2abcd +b2c2

9、) = 0所以(a2 一员尸 +(，-c2)2+(c2 -d2)2+(d2 -a2)2 + 2(ab-cd)2 + 2(ad -be)2 = 0 由非负数性质得，a2-b2 = 0, b2 -c =0, c2-d =0 ,d2 -a2 =0 , ahcd = 0 9 ad be = 0 .所以d=/? = c = d .所以四边形A3CD是菱形.16. 解：.四边形ABCD是平行四边形，AC = 6, BD = 4.：.OA = OC = 3, OB = OD = 2 又AD = y/i3.:.AD2=OA2+OD2.:.ZAOD = 90 即:AC 丄 BD/. 口ABCD是菱形.17. 解

10、：四边形CDEF是菱形.理由如下：DE 丄 AB, CH 丄 AB,:、DE"CH.即：DE/CF.又.BQ是角平分线，DE = DC,且 ABDE = ZBDC.DE/CH,:.ZBDE = ZCFD.:.ZCDF = ZDFC.:.CD = CF.:.CF = DE.二四边形是平行四边形，又因DC = DE:.四边形CDEF是菱形.18. 提示：只需证四边形E4CD为平行四边形，只需证明AE/CD,过3作BM / AE经证BM CD即可.19. VEF 垂直平分 ADf ：AE = DE, AF = DF,9：AD平分 ABAC, :./AEDZAFDr :. AE = AFt

11、:.AE = DE = AF = DF t 故四边形AQF是菱形.20. (1)可证OA = -AC , OB = -BD ,：OA = OB 2 2*：AF垂直平分OB, ：.OA = AB = OB f故AOB为等边三角形.(2)在等边AOB 中，AF 丄OB, /. ZOAE = ZBAE = 30 ,可证明 ZFC4 = ZZMC, ZFCA = ZEAOf :. AF = CFt 可证明四边形AFCH是平行四边形，而AF = CF,故四边形AFCH是菱形.21. (1)在矩形 ABCD 中，AB/CDt :.ZE = ZFf ZEBO = ZFDO,又BO = OD, :. HBOE

12、JHDOF.(2)当EF与AC垂直时，四边形AECF为菱形.证明：9：/BOEZDOFt :.EO=FO.又AO = OC,四边形AECF为平行四边形.又EF丄AC, A四边形AECF为菱形.22. 证明：设A/V与ME交于点0,因为AD是Rt A ABC斜边BC上的髙，所以ZABD = ZCAD又BE, A/V分别平分ZABD和ACAD,所以ZEAN = ZABE所以在Rt初E中，ZAOB = 90 t ZXAME是等腰三角形，AN平分ME,又因为 ZABO = ZNBO, OB = OB ,所以RtAAOBRtAOB, AO = ON ,即ME垂直平分AN,四边形人旳川£是 菱形

13、.23. 证明四边形M0VP是菱形即可.24. 连结 ACt BD, / A ADE 与厶 BCE 都是正三角形，:.AE = DE, CE = BE,ZAED = ZBEC = 60 , ZAEC = 60 + ZDEC = ZDEB 证厶 AEC M DEB(SAS) .AC = DB,又 P, 0, M, W 分别为各边中点，PQ = MN = -ACf2QM = PN = -BD :. PQ = QM =MN = NP四边形PQMN 为菱形.225 .设MN与ED交于0,易证MB = MQ,再证 DOM A BON,从而BN = DM ,又由BN / DM ,可证得四边形3AQM为菱形.26. 易证 4£ =肥，而且 4£EF, ZAEG = ZAGE :. AG = EA = EF 又AG / EF :. AEFG 为菱形.27. 证明：.£F 垂直平分 AC, /. AF = FC