2018学年数学人教A版选修2-2优化复习：第一章章末优化总结

1、章末检测 (一) 时间： 120 分钟满分： 150 分一、选择题 (本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1曲线 y xex1在点 (1,1) 处切线的斜率等于() a2ebe c 2 d1 解析：由 yxex1得 y ex1 xex1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率ky|x1e111e112.故选 c. 答案： c 2二次函数y f(x)的图象过原点且它的导函数yf(x)的图象是如图所示的一条直线，yf(x)的图象的顶点在() a第象限b第象限c第象限d第象限解析： 设 f(x)ax2bxc，二次函数yf(x)的图象过原点，

2、c 0， f(x)2axb，由 yf(x)的图象可知，2a0， a0，b2a0，4acb24ab24a0，故选 a. 答案： a 3设函数f(x)ax3，若 f (1)3，则 a 等于 () a2 b 2 c 3 d 3 解析： f(x)li m x0f x x f x xli m x0a x x 3 ax3 x a，f(1) a3. 答案： c 4若 f(x)x22x4ln x，则 f(x)的单调递增区间为() a(1,0) b(1,0)(2， ) c (2， ) d(0， ) 解析： f(x)2x24x2x22x4x2 x1 x2x，由 f(x)0 得 x2. 答案： c 5已知 f(x)

3、2x36x2 m(m 为常数 )在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为() a 37 b 29 c 5 d 11 解析： 由 f(x)6x212x6x(x2)0，解得 x0 或 x2，又 f(0)m，f(2) m 8，f(2)m 40，所以 f(x)maxm3，f(x)minm40340 37. 答案： a 6已知 f(x) 2cos2x1，x(0，)，则 f(x)的单调递增区间是() a.4，b.()0，c.2，d. 0，2解析： f(x)2cos2x12cos 2x， x(0，)，f(x) 2sin 2x. 令 f(x)0，则 sin 2x0. 又 x(0，)， 02x2.2

4、 x2 ，即2x.答案： c 7.设函数 f(x)在 r 上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() a函数 f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) b函数 f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) c函数 f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) d函数 f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) 解析： 由图可知，当x0；当 2x1 时， f(x)0；当 1x2 时， f(x)2 时，f(x)0.由此可以得到函数在x 2 处取得极大值，在x2 处取得极小值，选d. 答案： d 8由 y x2与直线 y2x3 围成的图形的面积是() a.

5、53b.323c.643d9 解析： 解y x2，y2x 3，得交点 a(3， 9)，b(1， 1)如图，由 y x2与直线 y2x3 围成的图形的面积s13(x2)dx13(2x3)dx13x3|13(x2 3x)|13323. 答案： b 9下列函数中，x0 是其极值点的函数是() af(x) x3bf(x) cos xc f(x)sin xxdf(x)1x解析： 对于 a，f (x) 3x20 恒成立， 在 r 上单调递减， 没有极值点； 对于 b，f (x)sin x，当 x( ，0)时， f(x)0，故 f(x) cos x 在 x0 的左侧区间 ( ，0)内单调递减，在其右侧区间(

6、0，)内单调递增，所以x0 是 f(x)的一个极小值点；对于c，f(x)cos x10 恒成立，在r 上单调递减，没有极值点；对于d，f(x)1x在 x0 没有定义，所以x0 不可能成为极值点，综上可知，答案选b. 答案： b 10已知函数f(x)asin xbcos x 在 x4时取得极值，则函数yf(34x)是() a偶函数且图象关于点( ，0)对称b偶函数且图象关于点(32，0)对称c奇函数且图象关于点(32，0)对称d奇函数且图象关于点( ，0)对称解析： f(x)的图象关于x4对称， f(0)f(2)， ba，f(x)asin xbcos xasin xacos x2asin(x4)

7、，f(34x)2asin(34x4)2asin( x)2asin x. 显然 f(34x)是奇函数且关于点( ，0)对称，故选d. 答案： d 11已知定义在实数集r 上的函数f(x)满足 f(1)2，且 f(x)的导数 f(x)在 r 上恒有 f(x)1(xr)，则不等式f(x)x1 的解集为 () a(1， ) b (， 1) c (1,1) d(， 1) (1， ) 解析： 不等式 f(x)x1 可化为 f(x)x1，设 g(x)f(x)x，由题意 g(x)f(x)10，g(1)f(1)11，故原不等式 ? g(x)g(1)，故 x1. 答案： a 12函数 f(x)(1cos x)si

8、n x 在 ， 的图象大致为 () 解析： 在 ， 上，f(x)1cos(x)sin( x)(1cos x) (sin x) (1cos x)sin x f(x)，f(x)是奇函数， f(x)的图象关于原点对称，排除b. 取 x2，则 f(2) (1cos2)sin210，排除 a. f(x)(1 cos x)sin x， f(x) sin x sin x(1cos x)cos x1cos2xcos xcos2x 2cos2xcos x1. 令 f(x)0，则 cos x1 或 cos x12. 结合 x ， ，求得 f(x)在(0， 上的极大值点为23 ，靠近 ，选 c. 答案： c 二、填

9、空题 (本大题共4 小题，每小题4分，共 16 分，把答案填在题中的横线上) 13设函数f(x)在(0， )内可导，且f(ex)xex，则 f(1)_. 解析： 令 ext，则 xln t，所以 f(x)ln xx，即f(x)11x，则 f(1)112. 答案： 2 14曲线 ye5x2 在点 (0,3)处的切线方程为_解析： 因为 ye5x2，所以y 5e5x，所求切线的斜率为ky|x0 5e0 5，故所求切线的方程为y3 5(x 0)，即 y 5x3 或 5xy30. 答案： y 5x3 或 5x y30 15若函数f(x)4xx21在区间 (m,2m1)上单调递增，则实数m 的取值范围是

10、_解析： f(x)44x2x212，令 f(x) 0，得 1x1，即函数f(x)的增区间为 ( 1,1)又 f(x)在(m,2m1)上单调递增，所以m1，m2m1，2m11.解得 1m0. 答案： ( 1,0 16周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_解析： 设矩形的长为x，则宽为10 x(0 x0，当 x(203，10)时，v(x)0，当 x203时， v(x)取得最大值为4 00027 cm3. 答案：4 00027 cm3三、解答题 (本大题共有6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分12 分)求曲线 yx3在点

11、 (3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积解析： 因为 f(3) li m x03 x333 x27，所以在点 (3,27)处的切线方程为y 2727(x3)，即 y27x54. 此切线与 x 轴、 y 轴的交点分别为(2,0)，(0， 54)所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1225454. 18(本小题满分12 分)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线 yf(x)在点 (0，f(0)处的切线方程为 y4x4. (1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解析： (1)f (x) ex(axab)2x4. 由已知得 f(0)4，f(0)4.

12、故 b4，ab8. 从而 a4， b4. (2)由(1)知， f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x 2)2x4 4(x2)(ex12)令 f(x)0，得 x ln 2 或 x 2. 从而当 x( ， 2)( ln 2， )时， f(x)0；当 x( 2， ln 2)时， f(x)0. 故 f(x)在(， 2)，(ln 2， )上单调递增，在( 2， ln 2)上单调递减当 x 2 时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1 e2)19. (本小题满分12 分)已知函数 f(x) x3ax2bx 在区间 (2,1)内 x 1 时取极小值， x23时取极大值(1)求函数 yf

13、(x)在 x 2 时的对应点的切线方程；(2)求函数 yf(x)在 2,1上的最大值与最小值解析： (1)f(x) 3x22axb. 又 x 1， x23分别对应函数取得极小值、极大值，所以 1，23为方程 3x2 2axb0 的两个根所以23a 123，b3 (1)23. 于是 a12，b2，则 f(x) x312x22x. 当 x 2 时， f(2)2，即 (2,2)在曲线上又切线斜率为kf(2) 8，所求切线方程为y2 8(x2)，即为 8xy140. (2)当 x 变化时， f(x)及 f(x)的变化情况如下表：x 2(2， 1) 1(1，23)23(23，1)1 f(x)00f(x)

14、232222712则 f(x)在2,1上的最大值为2，最小值为32. 20(本小题满分12 分)已知二次函数f(x)3x23x，直线 l1：x2 和 l2：y3tx(其中 t 为常数，且 0t1)，直线 l2与函数 f(x)的图象以及直线l1、l2与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形如图所示，设这两个阴影区域的面积之和为s(t)(1)求函数 s(t)的解析式；(2)定义函数h(x)s(x)，x r.若过点a(1，m)(m4)可作曲线y h(x)(xr)的三条切线，求实数 m 的取值范围解析： (1)由y 3x23x，y 3tx得 x2(t 1)x0，所以 x10，x2t1. 所以直线 l2与

15、 f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t1. 因为 0t1，所以 1t10，得 x01 或 x01；由 g(x0)0，得 1x00，g 1 0，m40，即 4m4. 故实数 m 的取值范围是 (4,4)21(本小题满分13 分)(2014 高考北京卷 )已知函数f(x)xcos xsin x，x0，2(1)求证： f(x)0；(2)若 asin xxb 对 x(0，2)恒成立，求a 的最大值与b 的最小值证明： (1)由 f(x) xcos x sin x 得f(x)cos xxsin xcos x xsin x. 因为在区间 (0，2)上 f(x) xsin x0 时， “sin xxa”等价于 “sin xax0”；“sin xxb”等价于 “sin xbx0 对任意 x (0，2)恒成立当 c1时，因为对任意x(0，2)，g(x)cos xc0，所以 g(x)在区间 0，2上单调递减从而对g(x)g(0)0 对任意 x(0，2)恒成立当 0cg(0)0.进一步， “g(x)0 对任意 x(0，2)恒成立”当且仅当g(2)12c0，即 00 对任意 x(0，2)恒成立；当且仅当c1 时， g(x)0 对任意 x(0，2)恒成立所以，若 asin xx0 且 g(1