(完整word)北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题,推荐文档

1、1 / 101 等腰三角形知识点 1 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)1 1 所示，在 ABC 中，TAB= AC,：/ B =ZC 定理的证明：取 BC 的中点 D，连接 ADAB AC(已知),/ BD CD(中点定义), ABDN ACD(SSS).AD AD(公共边),/ B=/ C(全等三角形的对应角相等 ).定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等.拓展等腰三角形还具有其他性质.(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45(2) 等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角.K(3) 等腰三角

2、形的三边关系：设腰长为a，底边长为 b,则va.2(4) 等腰三角形的三角关系：设顶角为/A，底角为/ B，/ C，则/ A= 180/ B / C = 180 180 2 / C .知识点 2 等腰三角形的性质定理的推论推论 1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”(1) 用符号语言表示为：如图1 3 所示，1在 ABC 中，TAB = AC，/ 1 = / 2， AD 丄 BC . BD = DC ;2在 ABC 中，TAB = AC，AD 丄 BC，/ 1 = / 2，BD = DC ;3在 ABC 中，TAB = AC，BD = DC，/ 1 =

3、/ 2，AD 丄 BC .(2) 推论 1 的证明.1在 ABC 中，TAB = AC，/ 1 = / 2，AD = AD， ABDACD(SAS).BD = DC，/ ADB =/ ADC = 90.： AD 丄 BC.2在 ABC 中，TAD 丄 BC，：/ ADB =/ ADC = 90.用符号语言表).2 / 10/ AB= AC,： / B =ZC .又 AD = ADRt ADB 也 Rt ADC(AAS)./ 1 = / 2, BD = CD .3在 ABC 中，TAB = AC, AD = AD, BD = CD , ABDACD(SSS)/ 1 = / 2,/ ADB = /

4、 ADC = 90,. AD 丄 BC.推论 1 的作用：证明角相等、线段相等或垂直91 12推论 2:等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60 .(1) 用符号语言表示为：如图1 -4 所示，在厶 ABC 中，TAB= BC = AC，/ A=/ B =/ C = 60.(2) 推论 2 的证明：/AB= AC， / B = / C ./AB= BC，/ A =/ C . / A=/ B=/ C.又/ A+ / B+ / C= 180。，即卩 3/ A= 180 , / A=/ B=/ C= 60.知识点 3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(

5、简述为等角对等边).用符号语言表示为：如图 1-6 所示，在 ABC 中， / B=/ C,：AB= AC判定定理的证明：如图 1-6 所示.圈1 -(!过 A 作 AD 丄 BC 于 D，则/ ADB = / ADC = 90/ B=/ C, AD = AD, ABDACD(AAS), AB= AC.判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等.3 / 10拓展 如图 1-6 所示，在 ABC 中，4 / 10(1)如果 AD 丄 BC,/ 1 =Z2，那么 AB = AC;(2)如果 AD 丄 BC, BD = DC,那么 AB = AC;如果/ 1 -/ 2, BD = DC,那么 AB=

6、 AC.知识点 4 等腰三角形的判定定理的推论推论 1.(1)推论 1 的内容：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形.(2)用符号语言表示为： 如图 1 8 所示，在 ABC 中，TAB = AC, / A= 60 (或/ B = 60或/ C= 60 ),. AB = AC= BC.(3)推论 1 的证明：在厶 ABC 中，TAB= AC,. / B =/ C .B=/ C =18002A= 60. AB= AC = BC .(或/ B= 60,./ A = 180 2/ B= 60. AB = AC = BC .或T/C= 60，./ A = 180 2/ C = 60. AB= A

7、C= BC .)推论 2.(1)推论 2 的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形.(2)用符号语言表示为：如图1 8 所示，在 ABC 中，/ A=/ B=/ C,. AB= AC= BC.(3)推论 2 的证明：在厶 ABC 中，/ A =/ B,. BC = AC(等角对等边).又/ B =/ C,. AB = AC(等角对等边). AB= AC = BC .(4)推论 1 和推论 2 的作用：证明一个三角形是等边三角形.拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；(2)根据推论 1,证明两条边相等，有一个角是60;(3)根据推论 2,证

8、明三个角都相等.推论 3.(1)推论 3 的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.5 / 10(2)用符号语言表示为：如图1 9 所示，在 Rt ABC 中，/ C= 90,/ A= 30,二 BC=1AB.2(3)推论 3 的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2 倍.知识点 5 反证法图 1 - 9先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：(1) 假设命题不成立；(2) 从假

9、设出发推导出矛盾；(3) 否定假设，从而肯定命题的结论.规律方法小结1转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的.2类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习.3.用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况.探究交流想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？解析 有，作等腰三角形 ABC 的顶角平分线 AD，如图 1 2 所示.AB AC(已 知),/ 12(角平分线定义),AD AD(公共边),ABDACD(SAS)./ B=/ C(全等三角形的对应角相等)课堂检测221、如图

10、 1 10 所示，在 ABC 中，AB = AC, AD = AC, AE = AB .求证 BD = CE.ffl 1 - 2334 / 10ffl 1 - to8 / 102、如图 1 12 所示，已知点 D , E 在厶 ABC 的边 BC 上，AB = AC, AD = AE .求证 BD = CE .3、如图 1 13 所示，已知/ CAE是厶ABC 的一个外角，/ 1 =Z2, AD / BC, 求证 ABC 是等腰三角形.4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题.学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC 的/A等于 30 ,求

11、其余两角.同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是 30和 120。”王华同学说：“其余两角是 75和 75.”还有一些同学也提出了不同的看法假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？5、已知等边三角形 ABC 和点 P,设点 P 到厶 ABC 三边 AB, AC, BC 的距离分别是 h1, h2, h3,AABC 的高为 h，若点 P 在边 BC 上，如图 1 17(1)所示，此时 h3= 0,可得结论：h1+h2+h3= h.请直接应用上述信息解决下列问题：点 P 在厶 ABC 内，如图 1 17(2)所示.点 P 在厶 ABC 外，如图 1 17(3)所示，这两种情况时

12、，上述结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，h1, h2, h3与 h 之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明.Affi 1 - 179 / 10体验中考1 已知等腰三角形 ABC 的周长为 10.若设腰长为 x，则 x 的取值范围是 _2、如图 1 - 20 所示，在 ABC 和厶 DEF 中，AB = DE , BE= CF，/ B=Z1 .求证 AC= DF （要求：写出证明过程中的重要依据 ）.2直角三角形概览图广勾股定理：a2+b2= c2（a, b 为直角边长，c 为斜边长）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这直角三角形 Y个三角形是直角三

13、角形互逆命题与互逆定理直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（HL）10 / 10知识点1勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c2=a2+b2（c为斜边长）.V勾股定理的作用.（1）已知直角三角形的两边求第三边.已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系.（3）用于证明平方关系的问题.（4）利用勾股定理作出长为的线段.勾股定理的各种表达形式.在RtAABC中，/C=90,/A,/B,ZC的对边长分别为a,b,c,贝Ua2=c2b2,b2=c2a2,c2=a2+b2,c=a2b2,a=、c2b2,b=.c2a2.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等

14、于第三边的平方， 那么这个三角形是直角 三角形.勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形.勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理. 直角三角形的判定.(1)首先确定最大边(如c).(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系.若c2=a2+b2，则ABC是直角三角形；若c2工a2+b2，则ABC不是直角三角形.勾股数.(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数.称为勾股数或勾股弦数.(2)勾股数必须是正整数.如3,4,5;5,12,13等.拓展 应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三 角形是直角11 / 10三角形

15、时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角.知识点2互逆命题与互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.拓展 每个命题都有逆命题.原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题. 原命题和 逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真.12 / 10如果一个定理的逆命题经过证明是真命题. 那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定 理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.拓展每个命题都有逆命题.但不是所有的定理都有逆定理知识点3直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理

16、： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.V定理的作用：判定两个直角三角形全等.V定理的证明：如图130所示，已知RtAABC,RtAABC，/C=ZC =90AB=AB ,AC=AC，求证RtABCRtAABC证明：在ABC和厶ABC中，/C=ZC =90 AB=AB ，AC=AC，二BC=BC RtAABCRtAABC(SSS).知识拓展“HL”是直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角形不成立.判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等.与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等.课堂检测1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假. BC=AB2AC2，BC=AB2AC213 / 102、如图131所示，在RtAABC中，/ACB=90,AB=50,13、在正方形ABCD中，如图132所示，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=1BC,4求证/EFA=904、试判断三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n0)的三角形是否是直角三角形.5、如图1-38所示，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得/MAD=30,货轮以每小时20海里的速度航行，1