2020高考二轮专题圆锥曲线的综合问题

1、第3讲圆锥曲线的综合问题全国卷3年考情分析年份全国卷I全国卷全国卷川2019直线与抛物线性质的综合应用压求曲线方程、直线与 椭圆的位置关系、最值问题21直线过定点、直线与抛物线相交弦长问题、点到直线的距离及四边形的面积T2018直线的方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题T9直线的方程、直线与抛物线的位置关系、圆的方程T直线与椭圆的位置关系、列的证明T等差数2017椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题T点的轨迹方程、椭圆方程、向量的数量积等To直线与抛物线的位置关系、的方程、圆的方程t直线解析几何是数形结合的典范， 是高中数学的主要知识板块， 是高考考查的重点知识之一,在解答题中一般会

2、综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现.解答题的热点题型有：直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)圆锥曲线中的判断与证明.第1课时 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题考点一圆锥曲线中的最值问题例1(2019全国卷 )已知点A( 2, 0), B(2, 0),动点M(x, y)满足直线 AM与BM1的斜率之积为一1记M的轨迹为曲线 C.(1)求C的方程，并说明 C是什么曲线；过坐标原点的直线交 C于P, Q两点，点P在第一象限，PE丄X轴，垂足为E,连 接QE并延长交C于点G.证明： PQG是直角三角形；求 PQG面积的最大值.1.(2019

3、河北省九校第二次联考)已知抛物线C: y2= 2px(p>0)的焦点为F ,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于 M , N两点，且IMNl= 8.(1)求抛物线C的方程； 设直线I为抛物线C的切线，且I / MN , P为I上一点，求PM -PN的最小值.考点二圆锥曲线中的范围问题例2 (2019安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C :x2a2*y2b2=1(a>b>0)的焦点坐标分3 别为F( 1,0),F2(1,0),P 为椭圆 C 上一点，满足3PF=5PF2且cosF1PF2=-.(1) 求椭圆C的标准方程；1(2) 设直线I: y= kx+ m与椭圆C交于A, B

4、两点，点Q 4， 0，若IAQI=IBQ|,求k的取值范围.1. (2019洛阳模拟)已知A, B是X轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|= a(a>0), 过A, B分别作X轴的垂线，与抛物线 y2= 2px(p>0)在第一象限分别交于 D, C两点.(1)若a = P,点A与抛物线y2= 2px的焦点重合，求直线 CD的斜率；S若O为坐标原点，记厶OCD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求§的取值范围.2已知A, B分别为曲线 C: 2+ y2= 1(y 0, a>0)与X轴的左、右两个交点，直线 l a过点B且与X轴垂直，M为I上位于X轴上方的一点

5、，连接 AM交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为AB的三等分点，试求出点 M的坐标.4若a> 1, SMAB = 2,当厶TAB的最大面积为3时，求椭圆的离心率的取值范围.考点三 圆锥曲线中的证明问题例3X2(2018全国卷I )设椭圆C ：卜y2= 1的右焦点为F ,过F的直线I与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).(1) 当I与X轴垂直时，求直线 AM的方程；(2) 设O为坐标原点，证明： OMA = OMB.1.(2019福州市第一学期抽测)已知点A 1,宁 在椭圆C: a2 + £ = 1(a>b>0)上，O为 坐标原点，直线I:事2¥

6、;= 1的斜率与直线OA的斜率乘积为4.(1)求椭圆C的方程；不经过点A的直线y="23x+ t(t 0且t R)与椭圆C交于P, Q两点，P关于原点的 对称点为R(与点A不重合)，直线AQ, AR与y轴分别交于两点 M , N,求证：IAMI=IAN.【课后专项练习】x2 y221. (2019湖南省五市十校联考)已知椭圆 C: x2+ y2= 1(a>b>0)的离心率为，右焦点a b2为F,以原点O为圆心，椭圆 C的短半轴长为半径的圆与直线x y+ ,；2= 0相切.(1) 求椭圆C的方程；(2) 如图，过定点P(2, 0)的直线l交椭圆C于A, B两点，连接AF并延

7、长交C于M ,求证： PFM = PFB.2.(2019 东六校第一次联考)已知椭圆D: 2+ b2= 1(a>b>0)的离心率为e=-2 ,点(一，2,1)在椭圆D上.(1)求椭圆D的方程；过椭圆D内一点P(0, t)的直线I的斜率为k,且与椭圆D交于M , N两点，设直线OM , ON(O为坐标原点)的斜率分别为k, k2,若对任意k,存在实数 使得k+ k2= k 求实数的取值范围.3.已知抛物线 C: y2 = 2px(p>0)的准线Ii与X轴交于点M ,直线I2: 4x 3y+ 6 = 0与抛物线C没有公共点，动点 P在抛物线C上，点P到l1, l2的距离之和的最小

8、值等于2.(1)求抛物线C的方程；过点M的直线与抛物线 C交于两个不同的点 A, B,设M = MB 3<1 ,求IABl 的取值范围.4. (2019重庆七校联考)椭圆C :a2+y21=1(a>b>0)的离心率为2,其左焦点到点P(2, 1)的距离为10.不经过原点O的直线I与椭圆C相交于A, B两点，且线段 AB被直线OP平分.(1)求椭圆C的方程;(2)求厶ABP的面积取最大值时，直线I的方程.第2课时 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题考点一定点问题例1 (2019郑州市第一次质量预测)设M点为圆C : x2+ y2= 4上的动点，点 M在X轴上 的投影为N.动点P

9、满足2 PN = 3MN ,动点P的轨迹为E.(1)求E的方程；设E的左顶点为D ,若直线I: y= kx+ m与曲线E交于A ,B两点(A,B不是左、右顶点)， 且满足|DA + DBl=IDA DB |,求证：直线I恒过定点，并求出该定点的坐标.1. (2019北京高考)已知抛物线C: x2= 2py经过点(2, 1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；设O为原点，过抛物线 C的焦点作斜率不为 0的直线I交抛物线C于两点M , N, 直线y= 1分别交直线 OM , ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个 定点.X y2. (2019安徽省考试试题)已知椭圆C: a2+

10、器=1(a>b>0)的上顶点为P,右顶点为 Q,直线4 24PQ与圆x2+ y2 = 4相切于点M2-.5 55(1)求椭圆C的方程； 若不经过点P的直线I与椭圆C交于A, B两点，且PA -PB = 0,求证：直线I过定占八、考点二定值问题X V例 2已知椭圆 C: 2+ 2= 1(a>b>0),过 A(2, 0), B(0, 1)两点.a b(1) 求椭圆C的方程及离心率；(2) 设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线FA与y轴交于点M ,直线PB与X轴交于点N ,求证：四边形 ABNM的面积为定值.如图所示，已知点M(a, 3)是抛物线y2= 4x上一定点，直线A

11、M , BM的 斜率互为相反数，且与抛物线另交于A, B两个不同的点.(1) 求点M到其准线的距离；(2) 求证：直线 AB的斜率为定值.考点三探索性问题例3 (2019重庆市学业质量调研)如图，已知椭圆 C:x2a24y2b2=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F( 2, 0)及F2(2, 0),过点Fi的直线交椭圆C于A, B两点，线段AB的中点为G , AB的中垂线与X轴和y轴分别交于D, E两点，且|AFi|, F1F2, AF2构成等差数列.(1)求椭圆C的方程;S2試记 GFiD的面积为 $, OED(O为坐标原点)的面积为 问是否存在直线 AB,使得Si = S2?

12、请说明理由.(2019 州市调研测试)已知动圆C过定点F(1 , 0),且与定直线x= 1相切.(1) 求动圆圆心 C的轨迹E的方程；(2) 过点M( 2, 0)的任一条直线I与轨迹E交于不同的两点 P, Q,试探究在X轴上是 否存在定点N(异于点M),使得 QNM + PNM =?若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.【课后专项练习】X V1. (2019开封模拟)已知椭圆C:孑+ b= 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F, F2,上顶点为M， MFiF2为等腰直角三角形，且其面积为1.(1)求椭圆C的方程；过点M分别作直线 MA, MB交椭圆C于A, B两点，设这两条

13、直线的斜率分别为k1,k2,且k1 + k2 = 2,证明：直线 AB过定点.X2 y2、2. (2019南昌市第一次模拟测试 )已知椭圆 C: p+ 2= 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,a b1F2,离心率为2，P是C上的一个动点，且 F1PF2面积的最大值为 4.3.(1)求C的方程；设C的左、右顶点分别为 A, B ,若直线PA, PB分别交直线X= 2于M , N两点，过点F1作以MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值.3. (2019福州市质量检测)已知抛物线C1: X2= 2py(p>0)和圆C2： (x+ 1)2+ y2= 2,倾斜角为45°勺直线11过C1的焦点，且11与C2相切.(1)求P的值；动点M在C1的准线上，动点 A在C1上，若C1在A点处的切线2交y轴于点B,设M = 1M + MB ,求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程. 4.已知椭圆C:拿+ b2= 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F( 1, 0), F2(1 , 0),点A 1，宅 在椭圆C上.(