齐次微分方程

1、创作编号:BG7531400019813488897SX 创作者:别如克*第二讲一阶微分方程【教学内容】齐次微分方程、一阶线性微分方程【教学目的】理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。【教学重点与难点】齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法【教学过程】一、齐次微分方程：形如=/()的微分方程；叫做齐次微分方程dx x对它进行求解时，只要作变换"=-原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。 x于是有y = ux, = u + X 从而原方程可化为u + x = /(«) t dxdxclx即du_=f(H)-udx x此方程是可分离变量的微分方程。按

2、可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量U还原为上，所得函数就是原方程的通解。X例1、 求微分方程x1+y1dx = 2xydy ,满足初始条件y|A.=1 = 0的特解。解：方程可化为dy _ F + y2dx 2xyl + (t)22(2)它是齐次方程。令/ = -代入整理后，有 Xdu _ 1-"dx Ixu分离变量，则有 du = dx1 2广2a*两边积分，得-(I)ln(l - zr) = () In x + (|) Inc 乙厶J即CX(1-M2) = 1将n =-代入上式，于是所求方程的通解为 xc(x2-y2) = x2把初始条件)口= 0代入上式，求出c

3、 = l,故所求方程的特解为y = -x二、一阶线性微分方程形如y + P(x)y = Q(x)的方程称为一阶线性微分方程，其中PQ、04)都是连续函数。当0&) = 0时，方程yr + P(x)y = 0称为一阶线性齐次微分方程；当Q® H 0 ,方程称为一阶线性非齐次微分方程。1. 一阶线性齐次微分方程的解法将方程y' + P(x)y = 0分离变量得dy一 =-P(x)clx两边积分得n y = -f P(x)tZr+lnC方程的通解为-P(x)dxy = Ce（Q为任意常数）例2 .求微分方程# + Ixy = 0的通解。解法1 （分离变量法）所给方程是一阶线

4、性齐次方程变量分离畔+两边积分得=-/+Ce方程的通解为y = Ce解法2 （公式法）将F（x）二2w代入通解公式，得通解-jP(x)dxCe-2xdx9创作编号:BG7531400019813488897SX创作者：别如克*2. 一阶线性非齐次微分方程的解法非齐次方程与齐次方程的差异仅是方程右边的项0（0。从齐次方程的通解一 J P(x)dx的结构及导数运算的规律， 我们有理由推测非齐次方程的解形如（C（x）是关于x的函数）代入非齐次方程，得C(x) = .f Q(x)eP(x)dxdx + C一阶非齐次线性方程通解的公式为:Wg)mcV 齐次方程 的通解y = CeiPMdx +W(gjQ

5、(x)尹齐次方程 的通解上述求解方法称为常数变易法.用常数变易法求一阶非齐次线性方程通解的步骤为:（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解;（2）利用常数变易法设出非齐次线性方程的一个特解;（3）将所设特解代入非齐次线性方程，解出C&）,写岀非齐次线性方程的通解.,X例3.求微分方程2$ y二幺 的通解.解法1 （常数变易法） 原方程变形为： 对应的齐次方程为r J汁。得通解为-Px)dxy = Ce=Ce设原方程的解为1x2y = C(x)e从而11xx717y = Cf(x)eZ +-C(x)eZ代入原方程得1 1 1, 2X 1 2A 1 2X 1C (x)e + Cx)

6、e- -C(x)e= -e化简得 Cx) = 两边枳分，得所以，原方程的通解1x2y = C(x)e解法2 (用公式法)pg = -|,e(x)=把它们代入公式得dx+C=/(耳八22 z 2 i °、=e (e + C)例4、已知曲线过点(0, 0),且该曲线上任意点p (x, y)处的切线的斜率为该点的 横坐标与纵坐标之和，求此曲线方程。解法1 (采用常数变易法求解)设所求的曲线方程为y=y (x),由导数的几何意义有y =x+y即y'_y = x初始条件为下 y(0) = 0由y-y = 0分离变量并积分，得y = cex令y = u(x)ex,则y' = ux)ex把y, y'代入方程中，于是有ux) = xex两端积分后，得u(x) = -(x+l)ex +c(c 为任意常数)将上式代入y = u(x)e从而方程的通解为y = cex _(x + l)再把初始条件-(0) = 0代入上式，解岀c=l,因此方程的特解为y = ex -x-这就是所求的曲线方程。解法2 (采用公式法求解)原方程中的p(A)= -l, q(Q = x，把它们代入公式得y = eJ (I xeJ dx + c)= ex(xedx + c)= ex(-xex _严 +c)把y(0) = 0代