七年级数学思维探究(24)认识三角形(含答案)

1、七年级数学思维探究（24）认识三角形（含答案）24.认识三角形解读课标从房屋的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形， 生活中处处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，在 解决实际问题中也有着广泛的应用.认识三角形，就是认识三角形的概念及基本要素一一边与角，与边与角相关的知识有：三角形三边关 系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有广泛的应用.代数化及分类讨论法是解与三角形基本要素相关问题的重要方法代数化即用方程、不等式解边与角 的计算及简单推理题，分类讨论即按边或角对三角形进行分类

2、.问题解决例1在厶ABC中，高BD和CE所在直线想交于 O点，若 ABC不是直角三角形，且.A = 60 ,贝养 BoC=度.试一试 因三角形的高不一定在三角形内部，这样 ABC形状应分两种情况讨论.例2如图，将纸片 ABC沿着DE折叠压平，则（）.111A. A=/1. 2 B. A2C. A仁/ D. A1.2234试一试 在折叠动态变化中，不变关系是 B ZC ZAE ZADE，这是解本例的关键.例3（1）如图，AD丄BC于D , AE平分MBAC ,试探寻.DAE与/C、. B的关系.（2）如图，若将点 A在AE上移动到F , FD丄BC于D ,其他条件不变，那么.EFD与.C、 D

3、是否还有（1）中的关系？说明理由.（3）请你提出一个类似的问题.试一试 对于（2）,通过作辅助线，将问题转化为（1）.例4 如图，已知 A为X轴负半轴上一点，B为X轴正半轴上一点，C 0, -2 , D-3,-2 .（1）求 BCD的面积；（2）如图，若 AC丄BC ,作.CBA的平分线交 CO于P ,交CA于Q ,判断 CPQ与.CQP的大小 关系，并证明你的结论；（3） 如图，若 ADC =/DAC ,点B在X轴正半轴上运动， ACB的平分线CE交DA的延长线于点E ,在B点的运动过程中， 爲的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由图图图试一试 对于(3)， . ABC能否用.E

4、的式子表示？由数到形，分解出基本图形是解题的关键.例5在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？解法一 我们不妨先退一步，考察三角形内有一个点、两个点、三个点的简单情形，有下表所示的 关系：于是可以推出，当三角形内有2008个点时，连接可得到小三角形的个数为： 3 2 2008-1 =4017(个). 解法二整体核算法.设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为 180 n ,又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360的内

5、角，2008个点共提供内角2008 360 ,于是得方程180n =360 2008 180 ,解得n =4017 ,即这2008个点能将原三角形纸片分 割成4017个小三角形.角平分线角平分线是联系角与角之间关系的纽带，当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图.例6(1)如图，已知 ABC中的两内角平分线交于 P点，两外角平分线交于 M点，一内角平分线与一外角平分线交于 N点.试分别探究.BPC、. M、 N与.A关系； × D(2)如图，在凹四边形ABCD中，已知.ABD与/ACD的平分线交于点 E ,求证： E =AD2图111分析与解(1) /BPC

6、=90 /A , ZM =90 A ,乙-ZA .222(2)凹四边形 ABCD形似“规形”，易证 .BDC =A . C .图可分解为两个“规形”，V BE、CE 分另U平分.ABD、. ACD ,.可设.ABE DBE X , /ACE EDCE =y 由（1）得.ZA X y ,D=EXy ,-得.D-ZE=ZE-ZA , E A D2数学冲浪知识技能广场1一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与度.BCED ,则.1 . 2 =CDE 交于点 M .若 ZADF =100 ,则.BMD =_4如图，在 ABC中，.A=. , . ABC的平

7、分线与 ACD的平分线交于点 A ,得 A ； ABC的平 分线与 ACD的平分线相交于点 A ,得 A ;, A2008 BC的平分线与 A2008 CD的平分线相交于点 A2009 ,得/A2009 ,则 Z A200 5如图， ABC中，A、B、C的外角分别记为若 ：寻：4：5,则.A：. B:. C =( )A 3: 2:1 B 1: 2:3 C. 3: 4:5 D . 5: 4:36.如图，BP是厶ABC中.ABC的平分线，CP是.ACB的邻补角的平分线若 .ABP =20 , ./ACP =50 ,则艺A ./P=.().A. 70 B. 80 C. 90 D. 1007.在等腰

8、ABC中，ABrAC ,边上的中线 BD将这个三角形的周长分为 15和12两部分，则这个 等腰三角形的底边长为（）.A . 7 B . 11 C . 7 或 11 D . 7 或 10& 如图， ABC 中，Nabd=NDBE=NEBC , NACD =NDCE =ZECB ,若 NBEC =145° ,则 NBDC 等于（）.A. 100 B. 105 C. 110 D. 115C9.如图，已知射线 OM与射线ON互相垂直，B、A分别为OM、ON上一动点，.ABM、 BAN的 平分线交于C .问：B、A在OM、ON上运动过程中，.C的度数是否改变？若不改变，求出其值； 若改

9、变，说明理由.BM10 .如图，已知 ABC中， ABC =/ACB , D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且ADE =/AED .（1）求证： ZBAD =2CDE ,（2） 如图，若 D在BC的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？证明你的结 论.AAC图图思维方法天地11. 在 ABC中，ZA=50。，高BE、CF交于O ,且O不与B、C重合，则NBOC的度数为 12. 如图，已知 /C =亦，/B =45 2，ZBAC=45 3，AE平分.BAD，U /CAE =n13.如图，BP平分ZABC交CD于F ,DP平分ZADC交AB于E , AB与CD相交于G ,如果E

10、A=42 , NC =38 ®,那么ZP的度数为.14.如图，已知 ABC中，/A ZACB , CP平分ZACB , BD、CD分别为 ABC的两外角的平分C. 2 D . 31CP丄CD : D=：90A :PD /AC .其中正确结论的个数是（15.如图，ZABC =31 ,又ZBAC的平分线 AE与.FCB的平分线CE相交于E点，则/AEC为（）.A. 14.5B. 15.5 C. 16.5 D. 20AEF16.如图， ABC中，.BAC =90 ,AD丄BC , ABC的平分线 BE交AD于点F , AG平分.DAC .给 出下列结论：.BAD =/C ;.AEF=AFE

11、 ；.EBC =×C ;.AG EF .其中正确的结论是( ).A .B .C.D .17 平面内的四条线段 AB、BC、CD、DA首尾顺次连接，已知 ABC =24 , ADC =42 .(1) 如图，若.BAD与.BCD的平分线交于点 M ,求.AMC的值；(2) 如图，点E在BA的延长线上，.DAE的平分线和.BCD的平分线交于点 N ,求.ANC的值.图BE平分 DBC交CD于F ,延长BC至G , CE平分.DCG ,且EC、DB中,18如图，在的延长线交于 A点，若.A=30 , DFE =75 .(1) 求证：ZDFE ZA ZD EE ;(2) 求ZE的度数；(3)

12、若在图中作.CBE与.GCE的平分线交于 El ,作.CE I与.GCEl的平分线交于 E?,作.CE 2与 GCE2的平分线交于E3 ,依此类推，CBEn与.GCEn的平分线交于En 1 ,请用含有n的式子表示 En 1的度数.应用探究乐园19. 把一副学生用三角板(30、60、90和45、45、90 )如图放置在平面直角坐标系中，点 A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交X轴于F ,斜边AB交 X轴于G，O是AC中点，AC =8 .(1) 把图中的RtA AED绕A点顺时针旋转度得图，此时 AGH的面积是10， AHF的面积 是8 ,分别求F、H、B三点的

13、坐标；(2) 如图，设.AHF的平分线和 AGH的平分线交于点 M , EFH的平分线和 FoC的平分线交 于点N ,当 AED绕A点转动时，一N，：_M的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请 求出其值.20. 问题提出以n边形的他个顶点和它内部的 m个点，共 mn个点作为顶点，可把原 n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以 ABC的三个顶点和它内部的1个点P ,共4个点为顶点，可把 ABC分割成多少个互不 重叠的小三角形？如图，显然，此时可把 ABC分割成3个互不重叠的小三角形.探究二：

14、以 ABC的三个顶点和它内部的 2个点P , Q ,共5个点为顶点，可把 ABC分割成多少个 互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图 ABC的内部，再添加1个点Q ,那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在厶PAC内部，如图；另一种情况，点 Q在图分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在PA上，如图.显然，不管哪种情况，都可把 ABC分割成5个互不重叠的小三角形.探究三：以厶ABC的三个顶点和它内部的 3个点P , Q , R共6个点为顶点，可把 ABC分割成个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图.探究四：以 ABC的

15、三个顶点和它内部的 m个点，共（m+3 ）个顶点，可把 ABC分割成个互探究拓展：以四边形的 4个顶点和它内部的 不重叠的小三角形，问题解决 以n边形的挖个顶点和它内部的 重叠的小三角形.实际应用 以八边形的8个顶点和它内部的 重叠的小三角形？（要求列式计算）不重叠的小三角形.m个点，共（m+4 ）个顶点，可把四边形分割成 个互m个点，共（m+n ）个顶点，可把 ABC分割成个互不2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不24.认识三角形问题解决例I当厶ABC为锐角三角形时，.BOC =120 ；当厶ABC为钝角三角形时，.BOC =60 .例 2 B . B . C =/AE

16、D . ADE =180' -ZA ,又.B-. C . 1. AED . ADE .2 360 ,得12 180 A . 1 . 2=360 ,化简得.A . 1. 2 .1例 3 ( 1) . DAEC . B ；1(2) 过 A 作 AG 丄 BC 于 G ,则.EFD =/EAG C -. B ；(3) 略例 4( 1 ) Sa BCD =3(2) 可证明.CPQ =. CQP .1(3) CD/ AB ,可证明E 2 ABC =I为定值.EABCEABC 2数学冲浪1. 852. 753. 2604.坛95. A6. C7. C 8. C219. . C =90 -丁 AOB =45 ,为一定值.10. ( 1)证明略；(2)( 1)中的结论仍然成立11 . 50 或13012. 1261 . A = P . 217.16. C13. 40 如图，由对顶三角形性质得2 1 . A=2 2 . C ,解得 P "0 .1(1)可证明 AMCABC /ADC i=33 .1(2)可证明 EANC180 MB ED =123 .218. ( 1)略；(2) ZD =2E ,代入(1)得 /E =15 ；1 1(3)En 11