北京市2020年高考理科数学模拟试题及答案(二)

1、1 北京市 2020 年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分 150 分，考试时间120 分钟）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1. 已知集合m x|x22x30， nx|y lg （x2） ，则 m n（）a. 1，+）b. （ 1，+）c. （ 2，3 d. （1， 3）2. 若复数（ 2i ） （ a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a（）a. 3 b. c. d. 3 3若，则“”是“”的（）a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充要条件d.既不充分又不必要条件4已知( )( )4,f xg x函

2、数( )g x是定义在r上的奇函数 , 若(2017)2017,f则(-2017)f（） 。a-2017b-2021c-2025d20255. 已知过球面上三点a、b、c的截面到球心距离等于球半径的一半，且ac bc 6，ab 4，则球面面积为（）a. 42 b. 48 c. 54 d. 60 6已知函数,142,12xaxfxaxx是r上的增函数，则实数a的取值范围是( ) a 1,8b 1,c 4,8d 4,87. 已知为第二象限角 ,3sincos3, 则cos2 ( ) a53b59c59d538. 如图，给 7 条线段的 5 个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4 种不

3、同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）2 a. 24 b. 48 c. 96 d. 120 9. 定义运算：32414321aaaaaaaa，将函数xxxfcos1sin3)(（0）的图像向左平移32个单位所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）a.45 b.41 c.47 d.4310. 设 x，y 满足约束条件2211yxyxyx，若目标函数yaxz3仅在点（ 1,0 ）处取得最小值，则a的取值范围（）a.（-6 ， -3） b.（-6,3 ） c.（0,3 ） d.（-6,0 11. 已知过点a （ a，0）作曲线c ：yx?ex的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（）a

4、. （， 4）（ 0，+）b. （0，+）c. （， 1）（ 1，+）d. （， 1）12. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为f，点 b的坐标为 (0 ，b) ，若直线 bf与双曲线c的两条渐近线分别交于p，q两点，且，则双曲线c的离心率为（）a. b. c. d. 2二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。）13. 已知abc的顶点为a(1,2) ，b(3,1)，c(3，4) ，则ab边的中线所在直线的斜率为14. 如果方程16222ayax表示焦点在x 轴上的椭圆 , 则实数 a 的取值范围 _. 15某几何体的三视图如下图所示，则其表面积为 . 3 16. 在9(

5、3)ax（ar）的展开式中，x的偶数次的项系数之和比x的奇数次的项系数之和大1，则a的值为三、解答题（共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题（共60 分）17. （本题满分12 分）已知等差数列na的前n项和为ns，等比数列nb的前n项和为nt，11a，11b，222ab. （1）若335ab，求nb的通项公式；（2）若321t，求3s.18.( 本小题满分12 分) 为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动. 该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1

6、 小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为40 元( 不足小时的部分按1 小时计算 ). 有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1 小时离开的概率分别为；1 小时以上且不超过2 小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3 小时 . （ 1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（ 2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望19. ( 本小题满分12 分) 四边形是菱形 ,是矩形 ,是的中点4 （ 1）证明 :（ 2）求二面角的余弦值 .20. ( 本小题满分12 分) 已知椭圆，为椭圆的左、右焦点，点在直线上且不在轴上，直线与椭圆的交点分别为和，为坐标原

7、点 . 设直线的斜率为，证明：问直线 上是否存在点，使得直线的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由. 21. 已知函数，. （）求证：曲线与在处的切线重合；（）若对任意恒成立 . （1）求实数的取值范围；（2）求证：（其中）. （二）选考题（共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为cos2sinxatyt（t为参数，0a） ，以坐标原点o5 为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos4 24. （ 1）

8、设p是曲线c上的一个动眯，当2 3a时，求点p到直线l的距离的最小值；（ 2）若曲线c上所有的点都在直线l的右下方，求实数a的取值范围 . 23 选修 45：不等式选讲 （10 分）设. （ 1）解不等式；（2）若存在实数满足，试求实数的取值范围 .参考答案6 一、选择题1.a 2.d 3.a 4.c 5.c 6.d 7.a 8.c 9.a 10.b 11.a 12.b 二、填空题13.52 14. a3或-6a-215. 3 16. -4三、解答题17.(1) 设的公差为，的公差为，有已知的解得，所以；(2) 由 (1) 及已知的得解得或. 18.(1) 若两人所付费用相同，则相同的费用可能

9、为0 元， 40 元， 80 元，两人都付0 元的概率为，两人都付40 元的概率为，两人都付80 元的概率为，则两人所付费用相同的概率为. (2) 由题意得，所有可能的取值为0,40,80,120,160. ，的分布列为：0 40 80 120 160 7 . 19. （i ） 证法一 : 设,的中点为，因为是的中点，是平行四边形证法二：因为是的中点，；（ii ）设的中点为，是矩形，四边形是菱形， 以为原点，所在直线为x 轴，所在直线为y轴，所在直线为z 轴 建立空间直角坐标系，8 平面的法向量为，平面的法向量为令，设二面角的大小为则20. 因为椭圆方程为，所以f1（ 1，0） 、f2（1，0

10、）设p（x0，2x0） ，则，所以（2）记a、b、c、d坐标分别为（x1，y1） 、 （x1，y1） 、 （x1，y1） 、 （x1，y1） 设直线pf1：xm1y1，pf2：xm2y+1 联立可得，代入，可得9 同理，联立pf2和椭圆方程，可得由及m13m2 2（由（ 1）得）可解得，或，所以直线方程为或，所以点p的坐标为（ 0，2）或21. 证明:( )在处的切线方程为在处的切线方程为所以切线重合. （） （1）令则， 当时，当且仅当时，取等号，在递减，不成立 . 当时，(i)当时，时，递减，在递减，不恒成立 . (ii）当时，在递增，在递增，恒成立 . 综上，. （2）证明：由（ 1）知当时，恒成立 . 得令得 个不等式相加得10 下面只要证明即再由不等式令得取得 个不等式累加得成立 . 故原不等式成立. 22. （1）由cos()4 24，得到(cossin )8cosxq，siny直线l普通方程为：80 xy设(23 cos ,2sin )ptt，则点p到直线l的距离：|4sin()8|2 3cos2sin8|322tttd22 |sin()2 |3t当sin()13t时，min2 2d点p到直线l的距离的最小值为2 2（2）设曲线c上任意点( cos ,2sin )p att，由于曲线c上所有的点都在直