2019-2020学年苏教版必修42弧度制学案

1、3掌握弧长公式和1. 1.2 弧度制1了解弧度制的意义.2能正确的将弧度与角度互化.扇形面积公式.2a(a为扇形圆心角的弧度数).迫M自画»1.角度制1规定周角的土;为1度的角，记作1°.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.3602. 弧度制（1）长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作 1rad .用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.（2）弧度数 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数仝角的弧度数是0. 角a的弧度数的绝对值*（其中I是以角a作为圆心角时所对圆弧的弧长，r为圆半径）.3. 角度与弧度之间的互化及关系（1）度化弧度：360°

2、= 2nrad, 180° = nrad, 1 °=面 rad0.017 45 rad.180° .（2）弧度化度：2 nrad= 360°, nrad= 180°, 1 rad = 57.30 .n4. 扇形的弧长及面积公式（1）弧长公式：l = a，（r为圆半径，a为圆心角的弧度数），两个变形：a=*，r =吉1 1 2面积公式：S扇形=2I - r（r为扇形半径，I为扇形的弧长），两个变形：S扇形=21 a - r2,1.判断（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）1弧度指的是1度的角.（）弧长为n半径为2的扇形的圆心角是直角.（）解析：

3、（1）错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角.n（2）正确.若弧长为 n,半径为2,则| a|= 2，故其圆心角是直角.答案：(1)X (2) V2¥弧度化为角度是()答案：(1)in (2)54探究点1* I(1)将下列各角度化成弧度： 1 080 °,750 ° ;角度与弧度的互化(2)将下列各弧度化成角度:_512.n【解】 1 080° 勻 080x rad = 6 nrad. -75°°一50 x 孟ad 255 词7n rad 子 180 = 140°即ad =存他=互角度制与弧度制的互化原则(1)角度

4、与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据,其中应记住关系式:冗=A. 278°B. 280C. 288°D. 318答案：C3半径为n2，圆心角为3的扇形的面积是()4 nA. 43-B. n2 nC.亍nD. 3答案：C4. (1)18 °3=rad ; n=180°它能够帮助我们更快、更准确地进行运算.(2)如果角度以度、分、秒的形式给出时，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是2X180n360 °n1将下列角度与弧度进行互化.20°= 一15°=11 一三n=5解析：nn 20&

5、#176;= 180= 9.= -15X 孟=一15nV2'1111180° 匚 n= gnX = 396 .55 n答案：n - 1n 396 °探究点2 终边相同的角和区域角的弧度制表示EE (1)设角a= 570°, a= 750 °,将a, a用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)用弧度制表示第二象限角的集合，并判断一屮是不是第二象限角.【解】(1)因为570° = 4 n+ 5n，6 6o 25 nn750°- = 4 卄；.66所以a1在第二象限，a在第一象限.n(2) 在 0 , 2n范围内，第二象限

6、角aG ，n.所以终边落在第二象限的所有角可表示为na 2k n+ 2< a<2k n+ n, k Z ,厂 10 n2 nn.而一 3 = 4 n- 3 G 4 n- 2, 4 n+ n ,所以一13是第二象限角.熟练掌握角度与弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角时,通常转化为解不等式去求对应的k值.注意用弧度制表示角时，不能与角度制混用，如3= 2k n 60°k Z）这种写法是不正 确的.2.（1）在区间（°，2冗内，与普终边相同的角是（）2n5 6 n5把1 480°写成a+ 2

7、knk Z）的形式，其中2 n0< aV 2n;在0 , 4 n中找出与角 终边相同的角.解：选D.因为34n= 8 n+ 6n，55则一345与 终边相同，选d .n因为一1 480°=1 480 x 面 rad厂 7416又一n= 10 n+ § n,16 16其中 a=6n,所以一1 480 ° =9 n 10 n2 n2 n终边与5角相同的角为 9= "5 + 2knk Z）,当 k = 0 时,e= 2n；当k =1时，e=咯所以在0 , 4 n中与角终边相同的角为 罕 于探究点3 弧长与扇形面积公式的应用例U）已知一扇形的圆心角是a,半

8、径是r.（1）若a= 60°, r = 10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积；若扇形的周长是一定值 C（C>0），则当a为多少弧度时，该扇形的面积最大?【解】（1）设弧长为I,弓形的面积为S 弓.n因为a= 60°=3，r = 10 cm,3所以10 ,、I = ar "3 n Cm),所以S 弓=S扇SA=罟 nX 10-102 =50 扌一三3 (cm2).c I由已知2r + I = c,所以r =厂(l<c),1 1 c I 1所以 s= qri = 2= Jci I2)-41 - 2 + C6,所以当1 =c. ,Smax = 16，cI 2

9、此时 a= _= 2,r c 'c 22c2所以当扇形圆心角为 2弧度时，扇形的面积有最大值花.方i去归（1）求扇形的弧长和面积1 1 记公式：弧度制下扇形的面积公式是S= -Ir = -«r2（其中I是扇形的弧长，a是扇形圆心角的弧度数,0 v av 2 n.） 找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量 ，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解.扇形周长及面积的最值问题当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于r的二次函0v I v 2 nr.数，但要注意r的取值范围特别注

10、意一个扇形的弧长必须满足当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值，其求法是把周长C转化为关于r的函数， 用基本不等式可求得扇形周长的最小值特别注意一个扇形的弧长必须满足o v | v 2 n.18 cm,求该弧所对的圆3. (1)在半径为12 cm的圆上，有一条弧的长是心角的弧度数和该扇形的面积.(2)已知一扇形的周长为 40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：(1)设该弧所对的圆心角为a则l 18311a= = 12 = (rad)，该扇形面积为 S= 2=2X 18x 12= 108(cm2).(2)设扇形的圆心角为0,半径为r,弧长为I,面积为S,

11、则 | + 2r = 40,所以 | = 40- 2r,1 1所以 S= 2lr = 2x (40 2r)r = - (r 10)2 + 100.所以当半径r = 10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm2,这时e=r=40 - 2X 1010=2 rad.«素养提升>规律呈现度”与“弧度”的区别与联系区别(1) 定义不同(2) 单位不同.弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单 位，单位不能省略弧度制疋十进制，而角度制疋八十进制联系(1) 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的 值，仅和半径与所含的弧这两者的

12、比值有关(2) “弧度”与“角度”之间可以相互转化范疋门 已知扇形的周长为 10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数.【解】设扇形圆心角的弧度数为00< 0<2n )弧长为I,半径为r,依题意有i尹=4,代入得r2- 5r + 4= 0, 解得 ri= 1, r2 = 4.当 r = 1 cm 时，I = 8 cm,此时 0= 8 rad>2 n rad（舍去）;当 r = 4 cm 时，I = 2 cm,2 1 此时 0= 4= 2（rad）.有关扇形的弧长I ,圆心角a,面积S的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的1 1关键在于灵活运用I = I ar ,S

13、= 2lr =ar2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决.1. 1 920°转化为弧度数为（）1632A .亍B. 7C.163237t解析：选D .因为1°=京，所以 1 920 °= 92018032 n2. 在半径为8 cm的圆中，53的圆心角所对的弧长为（）3B. 20 ncm400D.ncma 40A. 3 ncm200C.ncm解析：选A .根据弧长公式，得l=晋>< 8=（cm）.3. 一钟表的分针长为 5 cm,经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是 cm.解析：经过40分钟，分针转过的角是a=- 4X n=- 3 n则l =

14、|a|r = 5 X 3 n=晋冗如）.答案:2037t巩固提升学生用书P79(单独成册)A基础达标详寸应的角度为()A. 75°C. 135 °B. 125 °D. 155 °解析：选C .由于1,180 rad=-n所以3n=汀号勻35°,故选C.2用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为()5 nA. 3 3=- "6 + 2k n k Z5 nB. 3 3=+ k 360° , k Z62 n_厂-»C. 3 3= 3 + 2kn k ZD. 3 3= 5n+ 2kn k Z解析：选D .

15、150 ° =150 X-n= n，故与150 °角终边相同的角的集合为180 65 n3 3= 6 + 2kn k Z .3. 一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为 ( )nA. 2C. 2a的圆解析：选C.设圆内接正方形的边长为 a,则该圆的直径为 2a,所以弧长等于弧所对的圆心角a=故选C.14Tn4. 钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(143 n77C 低 nD 18n解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了 3周，转过的弧度714为_ 3X 2 n=兀5扇形的半径变为原来的 2倍，而弧长也增

16、加到原来的2倍，则()A.扇形的圆心角大小不变B扇形的圆心角增大到原来的2倍C.扇形的圆心角增大到原来的4倍D扇形的圆心角减小到原来的一半解析：选A .设扇形原来的半径为r,弧长为I,圆心角为a,则变化后半径为 2r,弧I 2I I长为2I,圆心角为3,所以a= ，3=齐= a，即扇形的圆心角大小不变.6.在 ABC中，若A : B : C= 3 : 5 : 7,则角A, B, C的弧度数分别为解析：A + B+ C = n 又 A： B : C= 3 : 5 : 7,所以A =3 n n3+5+7=5n C = 7n3= 15.答案：n n 7 n5, 3, 155 n3 + 5 + 77.

17、火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min所走的圆弧长是3 m，则这座大钟分针的长度为m.2 n解析：因为分针20 min转过的角为一 ,所以由l=|a|r,3nI 3 得r = = = 0.5(m),即这座大钟分针的长度为0.5 m.|a 33答案：0.5& 一条铁路在转弯处成圆弧形圆弧的半径为2 km , 一列火车用30 km/h的速度通过,10 s内转过的弧度为.101解析：10 s内列车转过的圆形弧长为X 30= (km).3 60012' '112 1转过的角a= = 24（弧度）答案：249一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形

18、的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？解：设弧长为I，所对圆心角为 a，则I + 2r = n,即 I = ( n- 2)r.因为 | a=r = n 2,所以a的弧度数是n 2, 1 1 2 从而 S 扇形=qlr = 2( 2)r .% %10.设集合 A= x kL4w xw kn+ 4，k Z ,B= x|/w 36，试求集合 A n B.解：由集合A=x " xW "+ n，kC Z，可知A = .u3n4n n4，47jt4，集合分别作出如图.U.由 B = xlx2 w36,可得B= x|-6wx< 6,在数轴上将两个6 .可得集合-6,7n7 u111&

19、#39;-5£ ?7T Sti【L44hr打n 击3tt5if7ir9tt14444447nu 7，B 能力提升1. 设角a的终边为射线 OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线 OP2与OP1关于直线y= x对称，则以0P2为终边的角的集合是()A . 日 A k 2n a, k ZB . 日 3= (2 k+ 1) Hn a, k ZnC. 3 3= k 2去2+ a, k Z3D . 3 = k 2-2 n+ a, k Z解析：选C.依题意，射线OP 1所对应的角丫满足a+ y= ki 2 n+ n, ki Z, 射线nOP2所对应的角3满足 汁3= k2 2 n 2， k2 Z,一得 3 a= (k2 ki) 2n3 n 即 3= k 22 + a k 乙P按逆时针Ak2. 如图，动点 P, Q从点A(4, 0)出发，沿圆周运动，点 方向每秒钟转n弧度，点q按顺时针方向每秒钟转n弧度，则3 6(1)P, Q第一次相遇时所用的时间为 .(2)P, Q点各自走过的弧长为解析：设P, Q第一次相遇时所用的时间是 t秒,则 t 3+1 6 = 2 n解得t= 4.所以第一次相遇时所用