2019-2020学年苏教版必修43两角和与差的正切学案

1、3. 1.3 两角和与差的正切1了解两角和与差的正切公式的推导.2理解两角和与差的正切公式的意义及结构特征.3. 掌握运用公式进行三角函数式的化简、求值和证明.1.两角差的正切公式_tan a tan 3T(-3： tan( 3 = 1 + tan (an 3 .(X、3 R 且 a 3、a2.两角和的正切公式_tan(+ tan 3T(+3： tan(+3 = - tan 伽 3 .(X、3 R 且 a 3、a+3.两角和的正切公式的常见变形tan a+ tan 3= tan(a+ 3)(1 tan aan3)；tan a+ tan 31 tan 伽 3= tan ( a+3；(3)tan

2、a tan 3= 1tan a+ tan 3tan ( a+ 3)'1判断(正确的打“/,错误的打“X”)(1)存在 a, 3 R ,使 tan(a+ 3)= tan a+ tan 3成立.(,，十 ftan(+ tan 3 划+亠对任意(3 R , tan(+ 3 = 1 tan (an 3都成立.解析：正确.当a= 0, 3=,tan( a+ 3 =tan 0 += tan 0 + tan扌，但一般情况下不成立.错误.两角和的正切公式的适用范围是a+n3工kn+ 2(k Z).答案：(1)2(2) Xn2.已知 tan a= 2，贝U tan a+ 4 =(C. 4tan 17&#

3、176;+ tan 43°3答案：A1 tan 17° tan 43B. .'3C.答案：A1 24.已知 tan a= 2， tan( 3- a = 5,那么 tan(2cc)的值为解析：因为 3_ 2 a= () a,tan ( 3 a) tan a所以 tan( 3 2 a)=1 + tan ( 3 a) tan a2 15 2 =丄 =i? 1 + X1十521答案：寺探究Ml®©©®+ 1仝1+ 31 3.3 1.3+ 1.3+ 13 1探究点1 公式的正用和逆用仅I 计算下列各式的值：(1)tan 15 °

4、; + tan 751 tan 15°1十 tan 15° '【解】(1)tan 15 °+an 75=ta n( 45°-30°) + tan (45°+30°)1 tan 30°1 + tan 30°1 + tan 30°1 tan 30° 1込 1+二13 l+ 3(J1) 2+( :3+1)2=2 3 + 2+ 3=4.(2)原式=tan 45 °an 15 °1 + tan 45°tan 15°=tan (4575°=

5、tan 30°公式t(的逆用及变形应用的解题策略(i)1”的代换:n在T(a±®中，如果分子中出现1 ”常利用1= tan 4来代换,以达到化简求值的目的，1 tan a如 :1 + tan a-n=tan 4 a ；3ta n a+ .3n=V 3tan a+ .1 ta n a4整体意识：若化简的式子中出现了“ tan a±tan g'及“ tan a tan g'两个整体，常考虑tan( a±3的变形公式.1求下列各式的值:tan 41 °+ tan 19°；(1) 1 tan 41 ° ta

6、n 19° 'nntan a+ 3 tan a+ 6(2) nn1 + tan a+ 3 tan a+ 6解：(1)原式=tan(41°+9°= tan 60°=3.原式=tannna+ 3 a+ 6tanf=中.63探究点2 公式的变形使用nnan - 0 tan -+ 0. 66nn(2) tan 6 & + tan §+ B【解】 原式=tan(70 10°)(1 + tan 70° tan 10°) '3tan 70° tan 10°='3(1 + tan

7、70° tan 10 ) ,'3tan 70° tan 10°= 3.nn原式=tan 6 0 + 6 + &nn1 tan 6 0 -tan 6+0nnan6 0tan6 + 0nnn=tan§ 1 tan 舌0 tan 舌+ 0 nn.n,'3tan 6 0 tan 石+ °= 3 . 3tan 6 0 n nn.tan 6 + 0+ .'3 tan 6 0 tan §+ 0= 3.tan a+ tan 3tan a tan 3公式tan(a+ 3 =, tan(a 3 =可去分母变形为 tan a

8、+ tan 3=1 tan dan 31 + tan dan 3tan (a+ 3 (1 tan dan 3), ta n a tan 3= tan (a 3) (1 + tan ata n 3),本题就是应用此变形公式求解的.2.(1)tan 19° + tan 26°+ tan 19° tan 26°=(2) ABC不是直角三角形，求证:tan A + tan B+ tan C = tan A - tan B - tan C.解：(1)因为 tan 45°=an(19°426°)tan 19°+an 26

9、76;= =1,1 tan 19°tan 26°所以 tan 19°+an 26°=1 tan 19°tan 26°则 tan 19°+an 26°+an 19°tan 26°=1 tan 19°tan 26°+a n 19°tan 26°=1.故填1.(2)证明：由题意得A+ B + C = n所以 tan A= tan( B C)=tan (B+ C)tan B+ tan C1 tan Btan C所以一tan A(1 tan Btan C) = ta

10、n B+ tan C,所以一tan A+ tan Atan Btan C= tan B+ tan C,所以 tan A+ tan B + tan C= tan Atan Btan C.探究点3 两角和与差的正切公式的综合应用卜/(1)已知A，B是三角形ABC的两个内角，且tan A，tan B是方程3x2 + 8x 1=0的两个实根，则 tan C =.(2)在厶 ABC 中，tan B+ tan C + . 3tan Btan C= .3，寸3tan A + . 3tan B +1 = tan Atan B, 试判断 ABC的形状.【解】(1)因为tan A, tan B是方程3x2 + 8

11、x 1= 0的两个实根，所以tan A + tan B=8 13, tan Atan B= 3，tan A + tan B 所以 tan(A + B)=1 tan Atan B=2.又 A+ B + C= n所以 tan C= tan (A+ B) = tan(A + B)= 2.故填2.(2)由 tan B + tan C+ . 3tan Btan C = . 3,得 tan B+ tan C = , 3(1 tan Btan C).因为A, B, C ABC的内角，所以 1 tan Bta n C 工0,tan B+ tan C 厂 所以=3,1 tan Btan C即 tan(B + C

12、) = '.3.因为 Ov B + C v n所以b+c=n由.3tan A + 3tan B+ 1= tan Atan B,得,'3(tan A+ tan B) = (1 tan Atan B).因为A, B, C为厶ABC的内角，所以 1 tan Atan B 工0,tan A+ tan B所以1 tan Atan B即 tan(A + B)=子.5 n 因为 OvA + Bv n 所以 a + B.62 nn又 A+ B + C= n 所以 A =亍，B = C = 6,所以 ABC为等腰三角形.两角和与差的正切公式应用的常见问题类型及处理策略(1)方程中的应用：两角和与

13、差的正切公式中由于同时出现了两正切的和、差以及乘积往往会与一元二次方程联系在一起，利用根与系数的关系解决有关问题.(2)判断三角形形状：利用公式及其变形形式，结合题中所给的条件找到角之间的关系.3.已知tan a, tan B是关于x的方程x2 4px 3= O(p R)的两个实数根，且 a+ 時 kn+ 2(k Z),求 cos2(a+ B + psin( a+ ®cos( a+ B的值.解：因为tan a, tan B是方程x2 4px 3 = 0的两实根，所以根据根与系数关系，得tan a+ tan = 4p,tan atan B= 3,tan a+ tan B 所以 tan(

14、 a+ B =1 tan dan B4p=4 = p,即 sin( a+ B= pcos( a+ B .原式=(1 + p2)cos2( a+ B1 + p21 + tan? ( a+ 3)1 + p21 + p2=1.规律呈现1. 公式T(a±3的结构特征1 与 tan aan公式T(a±3的右侧为分式形式，其中分子为tan a与tan 3的和或差，分母为3的差或和.2. 两角和与差的正切公式的变形变形公式：tan a+ tan 3= tan(a+ 3(1 tan otan 3;tan a tan 3= tan( a 3)(1 + tan Oan 3)；tan a+ ta

15、n 3tan 仙 3=1 ta n(a+3) I 已知 tan2 a+ 6tan a+ 7 = 0, tan2 + 6tan 3+ 7 = 0,a,3 (0, n )且 a 3,求 a+ 3 的值.tan a+ tan 3= 6,【解】 由tan dan 3= 7,易知 tan a<0, tan 3<0.nn因为 a、3(0, n)所以 2< a< n 2< 3< n 所以 n< a+ 3<2 n又因为 tan( a+ 3)= 1, 所以a+ 3= 4兀由根与系数(1)本题常见以下错解：由题意知tan a、tan 3是方程x2+ 6x+ 7= 0

16、的两根,的关系得:tan a+ tan 3= 6,tan atan 3= 7,所以因为0< a< n 0<仟n所以0< a+仟2 ntan a+ tan 3 6tan( a+ 31.1 tan otan 3 1 7所以5a+ 3= 4 n错因：由函数值求角时，应先确定角的范围，上述错解忽视了 tan a<0, tan仟0,角B都是钝角这一隐含条件.(3) 防范：在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大. 解答此类问题时一定 要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.TC戸r冗

17、1.已知 cos 2 + a = 2cos( a,贝y tan 41C. 3n解析：选 C .因为 cos 2 + a = 2cos( a,所以一sin a= 2cos a? tan a= 2,1 tan a 1所以 tan 4 a= 3.41 + tan a 332.已知sin a=-3, a是第四象限角，则tan a-4的值为3解析：由已知sin a= 3, a是第四象限角，5得 cos a= " 1 Sin2 a= 5，所以 tan a=cos a34.na tan4tan7t 贝U tan a 7 =4n1 + tan aan,4tan a 1 =7.1 + tan a答案：

18、73 tan 15°3¥1 + "3ta n 15°的值为tan 60 °an 15 °解析：原式=1+ tan 60°tan 15°=ta n(60°5° = tan 45° 勻.答案：14. tan 27°+ tan 33°+J3tan 27° tan 33°=解析：tan 27°+a n 33°=tan(27°+33°)(1 tan 27 tan 33°)=tan 60°(1 ta

19、n 27°tan 33°='3 ,'3ta n 27 °ta n 33°,所以 tan 27°+an 33°+'3tan 27°tan 33=,'3 ,'3ta n 27 °ta n 33°+： 3tan 27 °ta n 33°='3.答案：.；3学生用书P122（单独成册）A基础达标41.若 tan a= 3, tan 3= 3，则 tan(a ®等于()C.解析:tan a tan 3选 C. tan( a 3)=:1 +

20、 tan dan 313.2.计算1 tan 151 + tan 15等于（3C. 1解析:1 tan 15° tan 45 °Jan 151 + tan 151 + tan 45°tan 15tan 3O°=33.3.Sin a+ COS a 右Sin a COS a1n1，则 tan a+ 4 =(解析:因为Sin a+ COS a 1Sin a COS a 2tan a+ 11所以=1tan a 12 所以 tan a= 3.所以tanntan a+ tan 4na+ =4n1 tan odan 43+ 11 ( 3)12.1 24. 已知 tan

21、 a= 2，tan( a- 3=-2,那么 tan( 02训勺值为()tan a+ tan ( a 0) 解析：选 B . tan( 0 2 a) = 一 tan(2 a一 0 = 一 tan a+ (a一 0= 一1 tan otan ( a 01 2丄12.1 + 1x -l+ 252 55.若 a+ =护，则(1 tan %)(1 tan 0)等于()A.3B. 2C. 1 + .2D. 2(tan A+ tan B)，口tan a+ tan 0解析：选 B.由题可得 tan( a+ 0) = 1,所以 tan a+ tan 0= 1 + tan otan1 tan aan 00,即 2

22、 = 1 tan a tan 0+ tan atan 0= (1 tan a)(1 tan 0).6 .若 tan A tan B = tan A+ tan B + 1,贝U cos(A + B) =解析：由 tan A tan B = tan A + tan B + 1,tan A+ tan B得=1, 即 tan(A+ B)= 1,1 tan Atan B所以 A + B = kn+ 3 n k Z , 所以 cos(A+ B)= ±22.答案：±227. tan 10° tan 20°+ tan 20° tan 60°+ tan

23、 60° tan 10 =.解析：原式=tan 10° tan 20°+an 60°(tan 20°+an 10°)= tan 10° tan 20°+ *3-3(1 tan310°tan 20°) = 1.答案：1&化简tan ( a+ ® tan a tan B的结果为tan aan ( a+ 3)解析：原式=tan ( a+ 3 ( tan a+ tan 3tan aan ( a+ 3tan ( a+ 3) ( 1 tan aan 3 tan ( a+ 3=tan 3ta

24、n aan ( a+ 3)答案：tan 3nn9.已知 tan 12+ a = .2, tan 3-3 = 2 2.求：n(1)tan a+ 3- 4 ; (2)tan( a+ 3).n解：(1)tan a+ 3-4nn=ta n a+ 12 + 3 3nntan a+ 12 + tan 3 3 nn tan a+ 12 tan 3 3逼+ 2五1 ”2X 2.2nn(2)tan( a+ 3)= tana+3 4 + 4nntan a+3 7 + tan；44n n1 tan a+ 3 4 tang.2+ 11( -,2) X 12_；2 3.10.已知 A + B = 45°，求证

25、：(1 + tan A)(1 + tan B) = 2，并应用此结论求(1 + tan 1° )(1 + tan 2 ° ) (1 + tan 43° ) (1 + tan 44° )的值.解：因为 tan A + tan B= tan(A+ B)(1 tan Atan B)且 a+ B = 45°即 tan A+ tan B = 1 tan Atan B, 所以(1 + tan A)(1 + tan B)=tan A + tan B+ 1 + tan Ata n B=1 tan Ata n B+ 1 + tan Atan B= 2,即(1 +

26、 tan A)(1 + tan B) = 2.因为 1°+44°=45°, 2°+43°=45°,，22°+23°-45°,所以(1 + tan 1°)(1 + tan 44°) = 2,(1 + tan 2°)(1 + tan 43° = 2,，=222.(1 + tan 22°)(1 + tan 23°= 2,所以原式=1.如图，三个相同的正方形相接,B 能力提升解析：设正方形边长为1,1 1则 tan a= 3, tan 3= 9tan a+ tan所以 tan( a+ 3 =1 tan aan 33+2iA13又0< a+仟nn所以a+ 3= 4答案：n4n12.已知tan 4+ a = 2,贝V亍的值为42sin acos a+ cos