B-S期权定价模型及其运用

1、-S期权定价模型及其运用D10580120 洪帆10经济一班以及它对于公司股票分摘要：本文对B-S期权定价模型的假设以及推导过程做了一个说明, 红的运用，还有对于该模型的检验、批评与发展。关键词：B-S期权定价模型、B-S期权定价模型的几个重要假设1、股票价格随机波动并服从对数正态分布；2、在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的;3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、 股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得（该假设可以被放弃）;5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；6、金融市场不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、可以运用全部的金融资产

2、所得进行卖空操作。二、B-S期权定价模型的推导假设股票的价格服从几何布朗运动，则dS=y Sdt+ oSdW其中，dS为瞬间股价之变动，卩是股票的瞬间期望报酬，o是股票的瞬间波动度，W为Wiener process。假设V是一种衍生性金融工具，其价值为股票价格及时间的函数，即V （S, t ）。根据伊藤原理，? 1?dV = =di + 二一4 一？ 一r? 2孑?？购买一单位的 V,并卖出（放空）0单位的S,以创造一个新的资产组合F。则F = V S,t - 0S? ? 1 ?dF = ?dt + ?dS+2?dt- edS选择e，使得新的投资组合 f成为无风险资产，即?1c o ?F =刪

3、+ 2?T2?dt在此比率下，新的投资组合F的随即不确定性降为零。 避险比率随着V对S的一次微分在不通时间的变C?=二?此0在金融学上成为完全避险比率， 完全避险亦是金融学上动态避险的一种， 化而改变。既然新的投资组合 F是无风险资产，在无套利空间前提下，投资组合F的瞬间期望报酬 应该等于无风险资产的瞬间期望报酬（假设为dF = rFdtr),即? 1?+?22+ rS - rV = 0? 2?这就是B-S模型的偏微分方程式。次偏微分方程式根据不同的边界条件，可以求解出以S为标的资产，各式各样衍生性金融工具的价值。这些边界条件通常是针对不同的 S与t的变数值下，各种衍生性金融工具的 相对应价值

4、。对于一个收益率是正态分布的股票，我们假设S为股票的当前价格，X表示期权执行价格，T表示（看涨或看跌）期权的到期期限，r为无风险利率，0为该股票连续复利的年收益利率的标准差，N（d）表示相应的标准正态分布（标准正太分布的 d概率），e表示自然对数的底，In为自然对数函数。假定股票在到期日之前不支付股息，则B-S公式的欧式看涨期权和看跌期权的价格C和P分别为C = SN ? - ?）P = X? -?2 - ? 1 ）? ?卄亠In ?+（r+ ?2）T其中，?= ?, ? = ?- ?三、B-S模型的发展、股票分红B-S模型，使其亦运用于支t（即除息日）支付已知红利D,S'代入B-S模

5、型中即可：S = S-B-S模型变型得新公式：B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了 付红利的股票期权。存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间 只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值Dte-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将° = (s - DterT) Ngj - LerTNd2)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率（设为§支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率 3为0.04,该股票现值为164,从而该年可望得红利164X 004= 6.56。值得注意的是，该红利并非分 4季支付每季164;事实上，

6、它是随美元的极小单位连续不断的再 投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格 的支付比例固定。四、对B-S模型的检验？批评与发展1、模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利 者效果尤佳；2、对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值 期权；3、对临近到期日的期权的估价存在较大误差；4、离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期 权。但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用

7、价值的定价模型。对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的一 些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下 几方面：首先，对股价分布的假设。布-肖模型的一个核心假设就是 股票价格波动 满足几何 维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。麦顿？约翰考克斯、斯蒂芬罗斯、马克 鲁宾斯坦等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重 大事件而引起的跳起情形 ，忽略后一种情况是不全面的 。他们用二项分布 取代对数正态分布 ，

8、 构建了相应的期权定价模型。其次，关于连续交易的假设。从理论上讲，投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸 状况，得到一个无风险的资产组合。但实践中这种调整必然受多方面因素的制约：1、投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金；2、股票的可分性受具体情况制约；3、频繁的调整必然会增加交易成本。因此，现实中常出现非连续交易的情况，此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而布-肖模型并未考虑到这一点。再次，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。布莱克本人后来的研究表明，随 着股票价格的上升，其方差一般会下降，而并非独立于股价水平。有的学者（包括布莱克本人）曾想扩展布 -肖模型以解决变动的

9、离散度的问题，但至今未取得满意的进展。此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。而假设期权的基础股票不派 发股息更限制了模型的广泛运用 。不少学者认为， 股息派发的时间与数额均会对期权价格产 生实质性的影响，不能不加以考察。他们中有的人对模型进行适当调整，使之能反映股息的 影响。具体来说，如果是欧洲买方期权，调整的方法是将股票价格减去股息（d）的现值替代原先的股价，而其他输入变量不变，代入布-肖模型即可。若是美国买方期权，情况稍微复杂。第一步先按上面的办法调整后得到不提早执行情况下的价格。第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格 ，将调整后的股价替代实际股价 ，距除息日的时间替

10、代有效期限 ? 股息调整后的执行价格（x-d）替代实际执行价格，连同无风险利率与股价离散度等变量代入模 型即可。第三步选取上述两种情况下期权的较大值作为期权的均衡价格。需指出的是，当支 付股息的情况比较复杂时，这种调整难度很大。实际金融市场中 ，股票投资者经常会得到一定数量的红利， 红利的支付有两种情形 ，每 年在规定时间内支付或者按照一定比例连续支付 ，这里为方便只讨论连续支付的情形 ，规定 时间内支付可将除权除息日所支付的红利均摊到每一天， 这样便可认为红利是连续支付的现 实交易中由于对投资组合的权重进行连续调整可引起交易成本不断增加，所以在修改模型时将交易成本考虑在内成为必然 。 Black-Scholes 期权定价模型是在连续条件下 ， 先在 dt 时间 内对期权进行套期保值,再令dtt0而得