空间几何体的表面积与体积教案

1、空间几何体的表面积与体积一、柱体、锥体、台体的表面积a. 多面体的表面积1. 多面体的表面积求法：求平面展开图的面积注：把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图. 2. 直棱柱的侧面积与全面积（ 1）侧面积求法：侧面展开（如图）；公式： scl （其中c为底面周长，l 为侧棱长）；（ 2）表面积：侧面积两底面积. （ 3）推论：正棱柱的侧面积：scl （其中c为底面周长，l 为侧棱长） . 长方体的表面积：2()sabbcca. （其中, ,a b c分别为长方体的长宽高）正方体的表面积：26sa （a为正方体的棱长）. 3. 斜棱柱侧面积与全面积（ 1）侧面积：求法：

2、作出直截面（如图）；注：这种处理方法蕴含着割补思想. 公式： scl （其中c为直截面周长，l 为侧棱长）；（ 2）表面积：侧面积两底面积. 4. 正棱锥的侧面积与全面积（ 1）侧面积求法：侧面展开（如图）；公式：12sch（其中c为底面周长，h 为斜高）；（ 2）表面积：侧面积底面积.5. 正棱台的侧面积与全面积（ 1）侧面积求法：侧面展开（如图）；公式：1()2scc h（其中c、 c 为底面周长，h 为斜高）；（ 2）表面积：侧面积两底面积.6. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：b. 旋转体的表面积正棱台侧面积公式：1()2scc h正棱柱侧面积公式：scl正棱锥侧面积公

3、式：12schcchl0c2rlr1. 圆柱的侧面积与全面积（ 1）侧面积：求法：侧面展开（如图）；公式：2srl （r为两底半径，l 为母线长）；（ 2）表面积：2()sr rl .2. 圆锥的侧面积与表面积（ 1）侧面积求法：侧面展开（如图）；公式： srl ；（ 2）表面积：()sr rl （r为两底半径，l 为母线长） . 事实上：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为2 r，半径为圆锥母线l，故面积为122rlrl. 3. 圆台的侧面积与表面积（ 1）侧面积求法：侧面展开（如图）；公式：()srr l ；事实上：圆台侧面展开图为扇环，扇环的弧长分别为2 r、2r，半径分别为x、xl，故圆台

4、侧面积为112()2()22srxlrxrr xrl，()xlrr xrlrrr，()srr l. （ 2）表面积：22()rrrr l. （r、r分别为上、下底面半径，l 为母线长）4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：二、柱体、锥体、台体的体积a. 棱柱、棱锥、棱台的体积1. 棱柱体积公式：vsh（ h 为高， s为底面面积） ；2. 棱锥体积公式：13vsh（ h为高， s为底面面积） ；3. 棱台体积公式：11221()3vssss h棱台（h为高，1s 、2s 分别为两底面面积）. 事实上，设小棱锥高为x，则大棱锥高为xh. 于是212211111()()3333vsxhs

5、xs hss x. 11211221()ssxxssxs hxhhsss，221212211112211111()()()()33333vs hssssxs hsss hss ssh. 4. 棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系：2 rllrh2sx1s圆台侧面积公式：11221()3vssss h棱台12sss10s2ss2 r2 rxrrxlrr圆台侧面积公式：()srr l圆柱侧面积公式：2srlcl圆锥侧面积公式：12srlcl0rb. 圆柱、圆锥、圆台的体积1. 圆柱的体积：2vr h （ h 为高，r为底面半径）.2. 圆锥的体积：213vr h （ h为高，r为底面半径）.3.

6、圆台的体积：221()3vrrrr h （r、r分别为上、下底半径，h 为高） .事实上，设小圆锥高为x，则大圆锥高为xh（如图） . 于是2221111()()()3333vrxhr hrrrr xr h. ()xrxrrr xrhxhrhrr，222111()()333vrr rhr hrrrrh. 4. 圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系：三、球的体积与表面积1. 球的体积343vr .2. 球的表面积24sr . 四、题型示例a. 直用公式求面积、求体积例 1 （1）一个正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为10，求其侧面积、表面积和体积；侧面积： 120；表面积： 120+120+83；

7、体积40 3. （ 2）一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60，求圆台的侧面积、表面积和体积；侧面积：600；表面积：1100；体积：7000 33.（ 3）已知球的表面积是64，求它的体积.结果：2563.（ 4）在长方体1111abcdabc d 中，用截面截下一个棱锥11cadd ，求棱锥11cadd 的体积与剩余部分的体积之比.结果1: 5.练习：圆台体积公式：221()3vrrrrh圆柱体积公式：2vr h圆锥体积公式：213vr hrr0rrrxlh1. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30 ，求正四棱锥的侧面积和表面积.结果：232

8、cm，248cm.2. 已知平行四边形abcd 中，8ab，6ad，60dab，以ab为轴旋转一周，得旋转体.求旋转体的表面积. 结果：843.3. 正方体1111abcda bc d 的棱长为1，则沿面对角线ac 、1ab 、1cb 截得的三棱锥1bacb 的体积为c a.12b.13c.16d. 1 4. 已知正四棱台两底面均为正方形，边长分别为4cm、8cm，求它的侧面积和体积.结果：侧面积：348 15cm；体积：3224 14cm3.5. 正四棱锥 sabcd 各侧面均为正三角形，侧棱长为5，求它的侧面积、表面积和体积. 结果：侧面积：25 3；表面积：25(13)；体积：125 2

9、6. 6. 若正方体的棱长为2 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.23b. 根据三视图求面积、体积例 3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为a. 22 3b. 42 3c.2 323d.2 343结果： c. 练习：1. 一个底面为正三角形，侧棱于底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为 . 结果：36 3. 2. 下图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为a. 1b.12c.13d.16答案： c. 俯视图2 2 正（主）视图2 侧（左）视图2 2 2 正视图侧视图俯视图3 34 正视图侧视图

10、俯视图3. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为3 的等腰三角形，俯视图是半径为1 的半圆，该几何体的体积是a.23b.2 23c.d.4 33答案： a.4. 已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积.提示：该组合体结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱 . 结果：1763. 5. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是d a. 9b. 10c. 11d. 12c. 几何体表面上最短距离问题例三棱锥 pabc 的侧棱长均为1，且侧棱间的夹角都是40 ，动点m在pb上移动，动点n 在 pc 上移动，求ammnna的最小

11、值 .结果：3. d. 与球有关的组合问题例 1（ 1）若棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .结果 :27.（2）若一个球内切于棱长为3 的正方体，则该球的体积为 .结果:92.例 2 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水， 使球浸没在水中并使水面正好与球相切，然后将球取出， 求这时容器中水的深度.结果：315r.变式训练：1. 长方体1111abcda bc d 中，3ab，4ad，15aa，则其外接球的体积为. 2. 求棱长为1 的正四面体的外接球、内切球的表面积. 注：棱长为的正四面体中常用数据：（1）高：63a，中心

12、到顶点距离：64a，中心到面距离：612a，中心到顶点距离：中心到面的距离=3：1. （2）全面积：23a，体积：3212a. （3）对棱距离：22a. （4）棱面角：3aiccos3a或6aicsin3，面面角：1aiccos3或2 2aicsin3. 正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图10 1 4 2 2 10 1 4 2 e. 几个重要结论的补充及应用结论 1 锥体平行截面性质锥体平行截面与锥体底面相似，且与底面积比等于两锥侧面积面积比，等于两锥全面积面积比，等于两锥对应线段（对应高、对应斜高、对应对角线、对应底边长）比的平方.结论 2 若圆锥母线长为l ，底面半径为r，侧面展开图扇形

13、圆心角为，则2 rl.结论3 若圆台母线长为l ，上、下底面半径分别为r、r，侧面展开图扇环圆心角为，则2rrl.证明：设小圆锥母线长为x，则有22rxrx.xrxrrlxxlrlrrrr，22()2rr rrrrxrll. 应用1. 一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为b a. 120b. 180c. 240d. 3002. 一个圆锥的高是10cm ，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积. 解：设圆锥底面半径为r，圆锥母线长为l， 则扇形弧长为222lr， 2lr. 在rtsoa中，22210lr，有此得10 33r，20 33l.圆锥侧面积为2003srl. 3

14、. 露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片（如图），用它们恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1扇形的圆心角等于120，则此扇形的半径为ca.13b.6c. 3d.6 4. 圆台的上、下底面半径分别为10cm 和 20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180 ，那么圆台的表面积是多少？结果：21100 cm. 5. 圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240，则圆锥体积为ca.2 281b.881c.4 581d.10816. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为120、半径为 l 的扇形， 则这个圆锥的表面积与侧面积的比是a. 3: 2b. 2:1c. 4:3d. 5:3结果： c. f. 空间几

15、何体体积求法例析a. 公式法例 1 四棱锥 pabcd 的顶点p在底面中的射影恰好是a，其三视图如图，则四棱锥pabcd的体积为.解：根据三视图可已将四棱锥pabcd的底面是边长为a的正方形，高为a，利用锥体体积公式231133pabcdvaaa. 点评： 1. 计算几何体体积需要区别锥体、柱体、台体、球体. 它们的体积各自有不同的特征，注意准确运用体积公式. a俯视图主视图侧视图aabcdap2. 如果是只求体积，根据“长对正，宽相等，高平齐”分别求出几何体的底面积和高，直接计算体积即可，若几何体比较复杂或涉及面积等计算时，则需复原几何体（本几何体复原后的图形如图）. 例 2 一个几何体的俯

16、视图是一个圆，正视图和侧视图是全等的矩形，它们水平放置时（一边在水平位置上） ， 它们的斜二测直观图是边长为6 和 4 的平行四边形， 则该几何体的体积为.解：斜二测画法原则是“横长不变纵减半”. 据此，正视图的长可能是6 或 4，高是 8 或 12，而且是矩形 .可见该几何体是圆柱体，底面直径可能是6 或 4，高是 8 或 12. 根据圆柱体体积公式，23872v或221248v. 该几何体体积为72或48. 例 3 用一块长 3m，宽 2m 的矩形木板， 在墙面互相垂直的墙角处，围出一个直三棱柱形谷仓，在下面的四种设计中，容积最大的是a 解：略 . b. 分割法例 4 已知一个多面体的表面

17、积为36，它的内切球的半径为2，求该多面体的体积.解：设多面体有n个面，每个面的面积分别为12,ns ss，则1236nsss. 多面体内切球的球心到多面体个个面的距离都等于球的半径r，运用分割法，以内切球球心为顶点，多面体的每个面为底面，将多面体分割成n个棱锥，于是多面体的体积等于这个棱锥的体积和，即1111211111()3622433333nvsrs rs rr sss. 例 5 如图 3，在多面体abcdef 中，已知面abcd 是边长为3 的正方形，/ /efab，32ef，ef与 ac 面的距离为2，则该多面体的体积为.解：取ab、cd边的中点m、n，将多面体分割成斜三棱柱和四棱锥

18、，利用三棱柱体积公式及四棱锥体积公式，不难求得多面体积：13131532222322v. 点评：本题中的几何体是不规则的，设法将几何体分割 （或补）成规则的常见的几何体， 是解题的关键， 由于/ /efab，并没有说明ade的确切位置，因此可以将其位置特殊化，从而得到直三棱柱adbmnf和四棱锥fmncb，这是本题解法一个巧妙之处. c. 补形法例 6已知三棱柱的一个侧面面积为s，相对的棱距离该侧面的距离是 h，求证：该三棱柱的体积是12vsh.证明：设三棱柱111abca bc的侧面11abb a的面积为s，侧棱1cc到该侧面的距离为h. 以三棱柱的侧面11abb a为底面，将三棱柱补形得到

19、四棱柱，如图. 则四棱柱的高恰等于h.四棱柱的体积为vsh，它的一半，即为三棱柱的体积12vsh. 三棱柱的体积为12vsh. 点评：本体的结论可以作为结论用. 例 7已知pa、pb、 pc 两两互相垂直，且pab、pac、pbc的面积分别为21.5 cm，b a c a 452 2 2 2 3 3 3 3 304530abcd1d1c1b1abcdfemnabcdafe22cm ，62cm ，则过p、a、b、 c 四点的外接球的体积为2cm .解：pa、pb、pc两两互相垂直， 则以它们为基础， 补形成为一个长方体， 长方体的对角线是外接球的直径. 设三条棱长分别为, ,x y z，则3xy

20、，4xz，12yz，解得12xyz，1x，3y，4z.从而2222(2 )134r，2426r，262r. 33442613263323vrr. 点评：对于三条棱两两互相垂直或者3 个侧面两两互相垂直的三棱柱以及正四面体或对棱分别相等的三棱锥，都可以补形成为长方体或者正方体，它们有共同的外接球，外接球的直径正好是长方体或正方体的体对角线，这样就很容易将球体和三棱锥联系起来.d. 特殊化法例 8如图，直三棱柱111abcabc 体积为 v ，点p、 q 分别在侧棱1aa 、1dd 上，1apd q ，则四棱锥bapqd 的体积为 .解：将条件1apdq特殊化，使得p和1a重合，q和d重合，四棱锥

21、bapqd就变成三棱锥1bada，它和直三棱柱等底等高，四棱锥bapqd的体积等于1133abdshv.e. 等体积转化（变换角度）例 9如图， 在长方体1111abcda bc d 中，如果分别过bc 、11ad 的 2 个平行平面将长方体分成体积相等的3 部分，那么11c nnd . 解：将长方体站立放置，从而更容易观察到相关的几何体分别是直三棱柱、直四棱柱、直三棱柱 . 长方体被分成体积相等的三部分，即111111d hdagad ncha mbgncc mb bvvv. 由于它们的等高且等体积，底面积也相等，就是说111agaambgmbbsss，即1112agaagbaa，2aggb

22、，112c nnd. 例 10如图，已知e、f分别是棱长为a的正方体1111abcdabc d 的棱1aa 、1cc 的中点，求三棱锥11cb ef 的体积 . 解：111111311312cbefe b fcbc fvvsaba. 点评：在三棱锥求体积问题中，变换角度就是换顶点、换底面，它是计算三棱锥体积问题长见的转化策略之一，它的基本依据是变换前后等体积 . 转换的标准是相应的底面和高是否容易求解. 显然本题直接按照题中所给的角度或者转换成三棱锥都不便于求底面和高. 练习：1. 正六棱锥 pabcdef 中， g 为pb的中点，则三棱锥dgac 与三棱锥 pgac 体积之比为c a. 1:

23、1b. 1: 2c. 2:1d. 3: 22. 如图，在多面体abcdef 中，已知abcd 是边长为1 的正方形，且ade、bcf均为正三角形，/ /efab，2ef，则该多面体的体积为a a.23b.33c.43d.32ef1bd1d1ca1abchm1bd1d1ca1abcngqp1bd1da1ab3. 某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，则这个几何体的体积是ba.34000cm3b.38000cm3c.32000 cmd.34000 cm4. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为a a. 4812 2 b. 4824 2 c. 3612 2d. 3624 25

24、. 若正方体外接球的体积是323，则正方体的棱长为a. 2 2b.2 33c.4 23d.4 33选d 7. 如图， 已知多面体abcdefg ，ab，ac ，ad两两垂直，平面/ /abc平面 defg ， 平面/bef平面 adgc ，2abaddg，1acef，则该多面体的体积为a. 2b. 4c. 6d. 89. 一个长方体的某3 个面的面积分别是2 ，3 ，6. 则这个长方体的体积是 .10. 设等边三角形abc的边长为a，p是abc内的任意一点，且p到三边ab， bc ， ca的距离分别为1d ，2d ，3d ，则有123ddd 为定值32；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体 abcd 的棱长为a，p是正四面体abcd 内的任意一点， 且p到四个面的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，则有1234dddd 为定值是 . 结果：63.11. 某球的外切圆台上下底面半径分别为r，r，则该球的体积是 .12. 在三棱锥abcd 中，6abcd，5acbdadbc，则该三棱锥的外接球的表面积为 . 解：依题意得