2022年2022年初中数学最值问题典型例题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载中考数学最值问题总结考查学问点 ： 1.“两点之间线段最短” ,“垂线段最短” ,“点关于线对称” ,“线段的平移” ；（ 2.代数运算最值问题3.二次函数中最值问题）问题原型： 饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角.三角形.菱形.矩形.正方形.梯形.圆.坐标轴.抛物线等；解题总思路 ：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：b条件：如下左图,a . b 为直线 l 同旁的两个定点a问题：在直线l 上确定一点p ,使 papb 的值最小l方法：作点a 关于直线 l 的对称点a ,连结 a b

2、 交 l 于p点 p ,就 papba b 的值最小a例 1.如图,四边形abcd 为正方形,abe 为等边三角形, m 为对角线bd （不含 b 点）上任意一点,将bm 绕点 b 逆时针旋转60°得到 bn ,连接 en . am .cm （ 1 ）求证： amb enb ；（ 2 ）当 m 点在何处时,am+cm的值最小；当 m 点在何处时,am+bm+cm的值最小,并说明理由；（ 3 ）当 am+bm+cm的最小值为时,求正方形的边长；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2 .如图 13,抛物线y=ax

3、 2 bx ca 0的其中 b 点的坐标为（ 3、0 ）（1）求抛物线的解析式顶点为（ 1、4 ）,交 x 轴于 a.b,交 y 轴于 d,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）如图 14,过点 a 的直线与抛物线交于点e,交 y 轴于点 f,其中 e 点的横坐标为2, 如直线 pq 为抛物线的对称轴,点g 为 pq 上一动点,就x 轴上为否存在一点h,使 d.g. f.h 四点围成的四边形周长最小.如存在,求出这个最小值及g.h 的坐标；如不存在,请 说明理由 .（3）如图 15,抛物线上为否存在一点t ,过点 t 作 x 的垂线,垂足为m ,过点 m 作直线 m n bd,交

4、线段 ad于点 n,连接 md,使 dnm bmd,如存在,求出点t 的坐标；如不存在,说明理由 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载例 3 .如图 1,四边形aefg 与 abcd都为正方形,它们的边长分别为a、bb 2a 且、 点 f 在ad 上（以下问题的结果可用a、b 表示）（ 1）求 s dbf ;(2) 把正方形 aefg 绕点 a 逆时针方向旋转450 得图 2、求图 2 中的 s dbf ;(3) 把正方形aefg 绕点 a 旋转任意角度 、在旋转过程中、s dbf 为否存在最大值、最小值 .假如存在 、试求出最大值.最小值；假如不存在,请说明理由；

5、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4. 如图,在平面直角坐标系中,直线y= 1 x+1 与抛物线2y=ax 2 +bx3 交于 a, b 两点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 a 在 x 轴上,点 b 的纵坐标为3；点 p 为直线 ab 下方的抛物线上一动点（不与a,b 重合）,过点 p 作 x 轴的垂线交直线ab 与点 c,作 pd ab 于点 d（ 1）求 a, b 及 sinacp 的值（ 2）设点 p 的横坐标为m用含 m 的代数式表示线段pd 的长,并求出线段pd 长的最大值；连接 pb,

6、线段 pc 把 pdb 分成两个三角形,为否存在适合的m 值,使这两个三角形的面积之比为9： 10？如存在,直接写出m 值；如不存在,说明理由.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3例 5.如图,c的内接 aob中,ab=ao=,4 tan aob=4、 抛物线yax2bx 经过点 a4、0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与点（ -2、6 ） .（ 1）求抛物线的函数解析式；（ 2）直线 m与 c 相切于点 a,交 y 于点 d.动点 p 在线段 ob上,从点 o动身向点 b 运动； 同时动点 q在线段 da

7、上, 从点 d 动身向点 a 运动； 点 p 的速度为每秒 1 个单位长,点 q的速度为每秒 2 个单位长,当 pqad 时,求运动时间 t 的值；（ 3）点 r 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上,当rob 面积最大时,求点r 的坐标 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载例 1 .证明：（ 1 ） abe 为等边三角形, ba=be , abe=60° mbn=6°0, mbn- abn= abe- abn 即 mba= nbe 又 mb=nb, amb enb （ sas ）（ 5 分）解：（ 2 ）当 m点落在 bd的中点时, a. m .

8、c 三点共线,am+cm的值最小（7 分）如图,连接ce,当 m点位于 bd 与 ce 的交点处时,am+bm+cm的值最小（9 分）理由如下：连接mn ,由（ 1 ）知, amb enb , am=en, mbn=6°0, mb=nb, bmn为等边三角形 bm=mn am+bm+cm=en+mn+cm（ 10 分）依据 “两点之间线段最短”,得 en+mn+cm=ec最短当 m 点位于 bd 与 ce 的交点处时,am+bm+cm的值最小,即等于ec 的长（ 11分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2

9、. 解：（ 1）设所求抛物线的解析式为：ya x1 24 ,依题意,将点b（ 3,0）代精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载入,得：a31240解得： a 1所求抛物线的解析式为：yx124精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）如图 6,在 y 轴的负半轴上取一点i,使得点f 与点 i 关于 x 轴对称,在 x 轴上取一点h ,连接 hf .hi .hg .gd .ge,就 hf hi设过 a .e 两点的一次函数解析式为：y kx b（ k 0）,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 e 在抛物线上且点e 的

10、横坐标为2,将 x2 代入抛物线yx124 ,得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y 21243点 e 坐标为（ 2, 3）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又抛物线y x1 24 图像分别与x 轴. y 轴交于点a .b.d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 y 0 时, x1240 , x 1 或 x 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x 0 时, y 1 43、点 a （ 1, 0）,点 b （ 3, 0）,点 d （0, 3）又抛物线的对称轴为：直线x 1,点 d 与点 e 关于 pq

11、 对称, gd ge分别将点 a （ 1, 0）.点 e（ 2,3）代入 y kx b,得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载kb02kb3k1解得：b1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载过 a .e 两点的一次函数解析式为：y x 1当 x 0 时, y 1点 f 坐标为（ 0, 1） df =2又点 f 与点 i 关于 x 轴对称,点 i 坐标为（ 0, 1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 eide 2di 2224225精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又要使四边形dfhg 的周长最小,由于df 为一个定值,只要使 dg gh hi 最

12、小即可由图形的对称性和.,可知, dg gh hf eg gh hi只有当 ei 为一条直线时,eg gh hi 最小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设过 e（ 2, 3）.i（ 0, 1）两点的函数解析式为：yk1 xb1 k10 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分别将点e（ 2, 3）.点 i（0, 1）代入yk1xb1 ,得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2k1b13b11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载k12解得：b11过 a .e 两点的一次函数解析式为：y 2x

13、 11当 x 1 时, y 1；当 y 0 时, x；21点 g 坐标为（ 1, 1）,点 h 坐标为（, 0）2四边形 dfhg 的周长最小为：df dg gh hf df ei由和,可知：df ei 225四边形dfhg 的周长最小为225 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）如图 7,由题意可知,nmd mdb ,nmmd要使, dnm bmd ,只要使mdbd即可,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即： md 2nmbd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设点 m 的坐标为（ a, 0）,由 mn b

14、d ,可得 amn abd ,nmambdab再由（ 1）.（ 2）可知, am 1 a, bd 32 , ab 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mnambd ab1a 3232 1a44精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 md 2od 2om 2a 29 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载式可写成：a 2932 14a) 32精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得： a3 或 a3 （不合题意,舍去）2

15、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 m 的坐标为（3 , 0）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又点 t 在抛物线3yx15124 图像上,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x 时, y22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载315点 t 的坐标为（,） .22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载例 3 .解：（ 1）点 f 在 ad 上, af 2=a2 a2,即 af=2a ； dfb2a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s dbf1 dfab1 （ b2a） b1 b23 ab ；精品学习资

16、料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222（2）连接 df, af ,由题意易知af bd ,四边形 afdb为梯形； dbf 与 abd 等高同底,即bd 为两三角形的底；由 af bd ,得到平行线间的距离相等,即高相等,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s dbfs abd1 b2 ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）正方形 aefg 在绕 a 点旋转的过程中,f 点的轨迹为以点a 为圆心, af 为半径的圆；第一种情形：当b2a 时,存在最大值及最小值, bfd 的边 bd=2b ,当 f 点到 bd 的距离取得最大.最小值时,s bfd 取得最大.

17、最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图,当 df bd 时, sbfd 的最大值 =12b22bb2a2222ab,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s bfd 的最小值 =12b22bb2a2222ab；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其次种情形：当b=2a 时,存在最大值,不存在最小值,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s bfd的最大值 =b2ab2；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载例 4. 解：（ 1）由 1 x+1=0 ,得到 x= 2, a （ 2, 0）；21由x+1=3 ,得到 x=4 ,

18、 b （4, 3）；2 y=ax2 +bx3经过 a .b 两点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4a2b3=016a+4b3=3,解得1a=2；b=12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设直线 ab 与 y 轴交于点e,就 e（ 0,1）；依据勾股定理,得ae=5 ；pcy 轴, acp= aeo ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 sinacp=sinaeo=oa225；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ae55精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）由（ 1）可知抛物线的解析式为y= 1 x 21 x3 ；精品学习资料精选学

19、习资料 - - - 欢迎下载22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由点 p 的横坐标为m ,得 p12m,m1m3, c1m, m+1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pc=1 m+11 m21 m31 m2 +m+4 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 rt pcd 中,pdpc sinacp=1 m 2 +m+425 =5295m1+,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2555精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5 <

20、;50 ,当 m=1 时, pd 有最大值95 ；5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载存在满意条件的m 值,m= 5 或 32 ；29精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5.解：（ 1）将点 a（4,0）和点（ -2 ,6）的坐标代入2y=ax+bx 中,得方程组16a+4b=0,4a-2b=6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解之,得a= 12 . 抛物线的解析式为b=-2y= 1 x2 -2 x .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）连接 ac交 ob于 e.直线 m切c于 aacm, 弦ab=ao, abao . acob, mob.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 oad=aob, oa=4 tanaob=3 , od=o·a tan oad=×443 =3.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载作 ofad 于 f. 就 of=o·a sin oad=&#