平面向量公式及易错点（精编版）

1、平面向量公式设 a=（x，y）， b=(x， y)。1、的加法向量的加法满足和三角形法则。ab+bc=ac 。a+b=(x+x ，y+y) 。a+0=0+a=a。向量加法的：交换律： a+b=b+a；：(a+b)+c=a+(b+c) 。2、向量的减法如果 a、b 是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为0 ab-ac=cb. 即“ 共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y). 4、数乘向量和向量 a 的乘积是一个向量，记作a，且 a= ?a。当 0 时， a 与 a 同方向；当 0 时， a 与 a 反方向；当 =0 时，

2、 a=0 ，方向任意。当 a=0 时，对于任意实数 ，都有 a=0 。注：按定义知，如果 a=0 ，那么 =0 或 a=0。实数 叫做向量 a 的系数，乘数向量a 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩。当 1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（ 0）或反方向（ 0）上伸长为原来的 倍；当 1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（ 0）或反方向（ 0）上缩短为原来的 倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律： ( a)?b= (a?b)=(a? b)。向量对于数的（第一分配律）：( + )a= a+ a. 数对于向量的分配律（第二分配律）： (a+b)= a+ b. 数乘向量的消去

3、律：如果实数 0 且 a=b，那么 a=b。如果 a0 且 a=a，那么 =。3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作 oa=a,ob=b, 则角 aob 称作向量a 和向量 b 的夹角，记作a,b并规定0 a,b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若 a、b 不共线，则a?b=|a|?|b|?cos a，b；若 a、b 共线，则a?b=+-a b。向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x+y?y。向量的数量积的运算律a?b=b?a （交换律）；( a)?b= (a?b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)?c=a?c+b?c （分配律）；向量的数量积的性质a?

4、a=|a| 的平方。ab = a?b=0。|a?b| |a|?|b|。向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c a?(b?c)；例如： (a?b)2 a2?b2。2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a 0)，推不出b=c。3、|a?b| |a|?|b| 4、由|a|=|b| ，推不出a=b 或 a=-b。4、向量的向量积定义：两个向量a 和 b 的向量积（外积、叉积） 是一个向量，记作a b。若 a、b 不共线，则a b的模是： a b=|a|?|b|?sin a，b； a b 的方向是：垂直于a 和 b，且 a、b 和 a b 按这

5、个次序构成右手系。若a、b 共线，则a b=0。向量的向量积性质：a b是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。a a=0。ab=a b=0。向量的向量积运算律a b=-b a；（a） b=（a b）=a （ b）；（a+b） c=a c+b c. 注：向量没有除法，“ 向量 ab/ 向量 cd ”是没有意义的。向量的三角形1、 a -b a+b a+b； 当且仅当a、b 反向时，左边取等号； 当且仅当a、b 同向时，右边取等号。2、 a -b a-b a+b。 当且仅当a、b 同向时，左边取等号； 当且仅当a、b 反向时，右边取等号。（向量 p1p=? 向量 pp2）设 p1、p2 是直线上

6、的两点，p 是 l 上不同于 p1、 p2 的任意一点。则存在一个实数 ，使向量 p1p= ? 向量 pp2， 叫做点 p分有向线段p1p2 所成的比。若 p1（x1,y1) ，p2(x2,y2) ，p(x,y) ，则有op=(op1+ op2)(1+ )；（定比分点向量公式）x=(x1+ x2)/(1+ ), y=(y1+ y2)/(1+)。（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段p1p2 的定比分点公式三点共线定理若 oc= oa + ob , 且 + =1 ,则 a、b、c 三点共线判断式在 abc 中，若 ga +gb +gc=o, 则 g 为 abc 的重心编辑本段 向量共线

7、的重要条件若 b0 ，则 a/b 的重要条件是存在唯一实数 ，使 a=b。a/b 的重要条件是xy-xy=0 。零向量 0 平行于任何向量。编辑本段 向量垂直的充要条件ab 的充要条件是a?b=0。ab 的充要条件是xx+yy=0 。零向量 0 垂直于任何向量. 平面向量易错点湖南 周友良周芬在平面向量的复习中，首先要掌握其基本概念与运算如果不能正确理解向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识，就会造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下，望同学们引起注意一、对两向量夹角的定义理解不清而致错例在边长为1 的正三角形abc中，求ab bcbc cac

8、a abuuu r uu u ruu u r u u u ruu u r uu u rggg的值错解：cos60cos60cos60ab bcbc caca abab bcbc caca abooou uu r uuu ruuu r u u u ruu u r uuu ruuu r uuu ruuu r uu u ru u u r uuu rggg11132222分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合向量abu uu r与bcuuu r，bcuuu r与cau u u r，cauu u r与abu uu r的夹角通过平移后发现都不是60，而是120这是由于对两向量夹角的定义理解不透造成的正

9、解：cos120cos120cos120ab bcbc caca abab bcbc caca abooouuu r u uu ru u u r u u u ruu u r uu u ruu u r uu u ru uu r u u u ru u u r uuu rggg11132222注意：向量a与b的夹角为锐角的充要条件是ga b 且a与b不共线这里，a与b不共线不能忽略二、对向量的数量积理解不透彻而致错例 2向量a、b都是非零向量，且向量3a+ b与7ab垂直，4ab与7ab垂直，求a与b的夹角错解：由题意，得(3 ) (7)0ga + bab，() (7)0gabab，将、展开并相减，

10、得246 ga b =b，b，故12a =b，将代入，得22ab，则ab，设a与b夹角为，则2112cos2ggba ba bb0180oo，60o分析：上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由得到，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上由于向量的数量积不满足消去律，所以即使b，也不能随便约去正解：设向量a、b的夹角为，由上面解法有22 ga b = b，代入式、式均可得22ab，则ab，1cos2gga ba b又0oo，60o三、混淆点的坐标与向量的坐标而致错例 3判断abc的形状：(12)a ，( 3 5)b，( 5 2)c，错解：1 ( 3)( 2)5130，1 ( 5)( 2) 290，( 3) ( 5)5 2250，abc为钝角三角形分析：把点的坐标误认为向量的坐标，得出错误的结论事实上，由点的坐标可以确定有关向量的坐标，再通过计算向量的数量积，精确判断出三角形的形状正解：(64)cau uu r，(2 3)cb