2016年数学立体几何高考试题及答案

1、2016年数学立体几何高考试题及答案1.如图所示，pa矩形abcd所在平面，m、n分别是ab、pc的中点.(1)求证：mn平面pad.(2)求证：mncd.(3)若pda45°，求证：mn平面pcd.2如图，四棱锥pabcd中，ap平面pcd，adbc，ab=bc=ad，e，f分别为线段ad，pc的中点（）求证：ap平面bef；（）求证：be平面pac解答证明：（）连接ce，则adbc，bc=ad，e为线段ad的中点，四边形abce是平行四边形，bcde是平行四边形，设acbe=o，连接of，则o是ac的中点，f为线段pc的中点，paof，pa平面bef，of平面bef，ap平面be

2、f；（）bcde是平行四边形，becd，ap平面pcd，cd平面pcd，apcd，beap，ab=bc，四边形abce是平行四边形，四边形abce是菱形，beac，apac=a，be平面pac3如图，在三棱锥pabc中，d，e，f分别为棱pc，ac，ab的中点，已知paac，pa=6，bc=8，df=5求证：（1）直线pa平面def；（2）平面bde平面abc解答：证明：（1）d、e为pc、ac的中点，depa，又pa平面def，de平面def，pa平面def；（2）d、e为pc、ac的中点，de=pa=3；又e、f为ac、ab的中点，ef=bc=4；de2+ef2=df2，def=90

3、76;，deef；depa，paac，deac；acef=e，de平面abc；de平面bde，平面bde平面abc4如图，pa垂直于矩形abcd所在的平面，ad=pa=2，cd=2，e、f分别是ab、pd的中点（1）求证：af平面pce；（2）求证：平面pce平面pcd；（3）求四面体pefc的体积解答：解：（1）证明：设g为pc的中点，连接fg，eg，f为pd的中点，e为ab的中点，fgcd，aecdfgae，afgege平面pec，af平面pce；（2）证明：pa=ad=2，afpd又pa平面abcd，cd平面abcd，pacd，adcd，paad=a，cd平面pad，af平面pad，af

4、cdpdcd=d，af平面pcd，ge平面pcd，ge平面pec，平面pce平面pcd；（3）由（2）知，ge平面pcd，所以eg为四面体pefc的高，又gfcd，所以gfpd，eg=af=，gf=cd=，spcf=pdgf=2得四面体pefc的体积v=spcfeg=5如图，在四棱锥pabcd中，abcd，abad，cd=2ab，平面pad底面abcd，paade和f分别是cd和pc的中点，求证：（）pa底面abcd；（）be平面pad；（）平面bef平面pcd解答：解：（）paad，平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，由平面和平面垂直的性质定理可得pa平面abcd（）abc

5、d，abad，cd=2ab，e和f分别是cd和pc的中点，故四边形abed为平行四边形，故有bead又ad平面pad，be不在平面pad内，故有be平面pad（）平行四边形abed中，由abad可得，abed为矩形，故有becd 由pa平面abcd，可得paab，再由abad可得ab平面pad，cd平面pad，故有cdpd再由e、f分别为cd和pc的中点，可得efpd，cdef 而ef和be是平面bef内的两条相交直线，故有cd平面bef由于cd平面pcd，平面bef平面pcd6如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱a1a底面abc，且各棱长均相等d，e，f分别为棱ab，bc，a1c1的中点（

6、）证明：ef平面a1cd；（）证明：平面a1cd平面a1abb1；（）求直线bc与平面a1cd所成角的正弦值解答：证明：（i）三棱柱abca1b1c1中，aca1c1，ac=a1c1，连接ed，可得deac，de=ac，又f为棱a1c1的中点a1f=de，a1fde，所以a1def是平行四边形，所以efda1，da1平面a1cd，ef平面a1cd，ef平面a1cd（ii）d是ab的中点，cdab，又aa1平面abc，cd平面abc，aa1cd，又aa1ab=a，cd面a1abb1，又cd面a1cd，平面a1cd平面a1abb1；（iii）过b作bga1d交a1d于g，平面a1cd平面a1abb

7、1，且平面a1cd平面a1abb1=a1d，bga1d，bg面a1cd，则bcg为所求的角，设棱长为a，可得a1d=，由a1adbgd，得bg=，在直角bgc中，sinbcg=，直线bc与平面a1cd所成角的正弦值7如图，在直三棱柱abca1b1c1中，a1b1=a1c1，d，e分别是棱bc，cc1上的点（点d 不同于点c），且adde，f为b1c1的中点求证：（1）平面ade平面bcc1b1；（2）直线a1f平面ade解答：解：（1）三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，cc1平面abc，ad平面abc，adcc1又adde，de、cc1是平面bcc1b1内的相交直线ad平面bcc1b1，ad

8、平面ade平面ade平面bcc1b1；（2）a1b1c1中，a1b1=a1c1，f为b1c1的中点a1fb1c1，cc1平面a1b1c1，a1f平面a1b1c1，a1fcc1又b1c1、cc1是平面bcc1b1内的相交直线a1f平面bcc1b1又ad平面bcc1b1，a1fada1f平面ade，ad平面ade，直线a1f平面ade8如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，adc=45°，ad=ac=1，o为ac中点，po平面abcd，po=2，m为pd中点（）证明：pb平面acm；（）证明：ad平面pac；（）求直线am与平面abcd所成角的正切值解答：解：（i）证明：

9、连接bd，mo在平行四边形abcd中，因为o为ac的中点，所以o为bd的中点，又m为pd的中点，所以pbmo因为pb平面acm，mo平面acm所以pb平面acm（ii）证明：因为adc=45°，且ad=ac=1，所以dac=90°，即adac又po平面abcd，ad平面abcd，所以poad，acpo=o，ad平面pac（iii）解：取do中点n，连接mn，an因为m为pd的中点，所以mnpo，且mn=po=1，由po平面abcd，得mn平面abcd所以man是直线am与平面abcd所成的角在rtdao中，所以，在rtanm中，=即直线am与平面abcd所成的正切值为9三棱

10、锥pabc中，pc平面abc，pc=ac=2，ab=bc，d是pb上一点，且cd平面pab（1）求证：ab平面pcb；（2）求二面角cpab的大小的余弦值解答：（1）证明：pc平面abc，ab平面abc，pcabcd平面pab，ab平面pab，cdab又pccd=c，ab平面pcb（2）解：取ap的中点o，连接co、dopc=ac=2，c0pa，co=，cd平面pab，由三垂线定理的逆定理，得dopacod为二面角cpab的平面角由（1）ab平面pcb，abbc，又ab=bc，ac=2，求得bc=pb=，cd=coscod=1如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，点p是棱ad上一点，

11、且ap，过b1，d1，p的平面交底面abcd于pq，q在直线cd上，则pq_.2 如图，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，adc90°，且aa1addc2，m平面abcd，当d1m平面a1c1d时，dm_.3如图，在底面是矩形的四棱锥pabcd中，pa平面abcd，paab2，bc4，e是pd的中点(1)求证：平面pdc平面pad；(2)求点b到平面pcd的距离；4如图，po平面abcd，点o在ab上，eapo，四边形abcd为直角梯形，bcab，bccdbopo，eaaocd. (1)求证：bc平面abpe；(2)直线pe上是否存在点m，使dm平面pbc，若存在，求出点m；若不

12、存在，说明理由5如图所示，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为dd1、db的中点(1)求证：ef平面abc1d1；(2)求证：efb1c；(3)求三棱锥b1efc的体积6如图，四棱锥pabcd中，pd平面abcd，pddcbc1，ab2，abdc，bcd90°(1)求证：pcbc(2)求点a到平面pbc的距离1.ab1d1平面abcd，平面b1d1p平面abcdpq，b1d1pq，又b1d1bd，bdpq，设pqabm，abcd，apmdpq，2，即pq2pm，又apmadp，pmbd，又bda，pqa.2.答案2dadcdd1且da、dc、dd1两两垂直，故当

13、点m使四边形adcm为正方形时，d1m平面a1c1d，dm2. (2)过a作afpd，垂足为f.在rtpad中，pa2，adbc4，pd2，af·pdpa·ad，af，即点b到平面pcd的距离为.4.解析(1)po平面abcd，bc平面abcd，bcpo，又bcab，abpoo，ab平面abp，po平面abp，bc平面abp，又eapo，ao平面abp，ea平面abp，bc平面abpe.(2)点e即为所求的点，即点m与点e重合取po的中点n，连结en并延长交pb于f，ea1，po2，no1，又ea与po都与平面abcd垂直，efab，f为pb的中点，nfob1，ef2，又c

14、d2，efabcd，四边形dcfe为平行四边形，decf，cf平面pbc，de平面pbc，de平面pbc.当m与e重合时即可5.(1)证明：连结bd1，在dd1b中，e、f分别为d1d，db的中点，则efd1b，又ef平面abc1d1，d1b平面abc1d1，ef平面abc1d1.(2)证明：b1cab，b1cbc1，abbc1b，b1c平面abc1d1，又bd1平面abc1d1，b1cbd1，又efbd1，efb1c.(3)解：cfbd，cfbb1，cf平面bdd1b1，即cf平面efb1，且cfbfefbd1，b1f，b1e3，ef2b1f2b1e2，即efb190°，vb1efcvcb1ef·sb1ef·cf×·ef·b1f·cf××××1.6.解析(1)pd平面abcd，bc平面abcd，pdbc