2022年2022年对勾函数讲解与例题解析

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特别的函数；如图一.对勾函数fx=ax+的图象与性质对勾函数为数学中一种常见而又特别的函数；它在高中教材上不显现,但考试总喜爱考的函数,所以也要留意它和明白它；一 对勾函数的图像对勾函数为一种类似于反比例函数的一般函数,形如fx=ax+（接下来写作fx=ax+b/x）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a0, b0时, fx=ax+b/x为正比例函数fx=ax与反比例函数fx= b/x对于懂得它的性质,绘制它的图象,特别重要；叠“加 ”而成的函数；这个观点,精品学习资料精选学习资料 - - -

2、 欢迎下载当 a , b 同号时,fx=ax+b/x的图象为由直线y ax 与双曲线y= b/x构成,外形酷似双勾；故称“对勾函数 ”,也称 “勾勾函数”. “海鸥函数”；如下图所示：a>0 b>0a<0 b<0对勾函数的图像（ab 同号）当 a ,b 异号时, fx=ax+b/x的图象发生了质的变化；但为,我们依旧可以看作为两个函数“叠加”而成；（请自己在图上完成：他为如何叠加而成的；）对勾函数的图像（ab 异号）一般地,我们认为对勾函数为反比例函数的一个延长,即对勾函数也为双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所转变罢了；精品学习资料精选学习资料 - - -

3、欢迎下载优秀教案欢迎下载接下来,为了争论便利,我们规定a>0 , b>0 ；之后当a<0,b<0 时,依据对称就很简单得出结论了；二 对勾函数的顶点对勾函数性质的争论离不开均值不等式；利用均值不等式可以得到：当 x>0 时,；当 x<0 时,；即对勾函数的定点坐标：三 对勾函数的定义域.值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域.值域等性质；四 对勾函数的单调性y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载五 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：六对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内为奇函数,二.均值不等式 基本不等式）oxy

4、=ax精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对勾 函数性质的争论离不开均值不等式；说到均值不等式,其实也为依据二次函数得来的；我们都知道,（ a-b2 0,绽开就为a2-2ab+b2 0,有 a2+b2 2ab ,两边同时加上2ab ,整理得到（a+b2 4ab ,同时开根号 ,就得到了 均值定理 的公式： a+b 2sqrtab ）；把 ax+b/x套用这个公式,得到ax+b/x 2sqrtaxb/x=2sqrtab）,这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到 最小值 ,解出 x=sqrtb/a ）,对应的 fx=2sqrtab）；我们再来看看均值不等式, 它也可以写成这样： （ a

5、+b/2 sqrtab ）,前式大家都知道,为求平均数 的公式；那么后面的式子呢？也为平均数的公式,但不同的为,前面的称为算术平均数 ,而后面的就称为几何平均数 ,总结一下就为算术平均数肯定不会小于几何平均数；这些学问点也为特别重要的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.关于求函数 y1. 均值不等式x1x0 x最小值的解法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0 ,yx12 ,当且仅当 xx 1 ,即 xx1的时候不等式取到“=”；当 x1的时候,ymin2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y x1 x

6、x2yx10优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 y 的最小值存在,就y240 必需存在,即y2 或 y2 （舍）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载找到使 y2 时,存在相应的x 即可；通过观看当x1的时候,ymin2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 单调性定义精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 0x1x2f xf xxx11xx11xxx1 x2 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载121212x1x2x1x 212x1 x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当对于任意的x1 、x 2 ,只有x1

7、 、 x20、1 时, fx1f x20 ,此时 fx单调递增；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当对于任意的x1 、x 2 ,只有x1 、 x21、时, fx1f x20 ,此 时 fx单调递减；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x1取到最小值,yminf 124. 复合函数的单调性2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11yxxxx1tx在 0、x2单调递增,yt 22 在、0 单调递减；在0、单调递增精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又x0、1t、0x1、t0、原函数在0、1上单调递减；在1、

8、上单调递增精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即当 x1 取到最小值,yminf 12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四.例题解析：例 1.已知函数fxx7x,1 . x1 、 2、 求fx的值域.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. x2、4、求fx的最小值. 3. x7、3、 求fx的值域 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解 :函数f xx7 在0 、 x7、7、0递减精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在7 、7递增精品学习资料精选学

9、习资料 - - - 欢迎下载 1 .在x1 、 2为减函数f2f x f 1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即1f2 x 8值域为1、 82精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2 . 分析知x72、 4、 f x 的最小值为f 7 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x 在 x2、 4最小值为27精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.在x7、3为增函数f7f x f3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即- 8f x 16x3x 257、3值域为8、- 163精品学习资料精选学习资料

10、- - - 欢迎下载练习： 2.已知函数fx、求 fx 的最小值 、并求此时的 x 值.2x4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载五.重点（窍门）其实对勾函数的一般形式为：fx=ax+b/xa>0定义域为（ -, 0 ）（ 0、+ ）值域为（ -, -2 ab 2 ab、+ ）当 x>0 ,有 x= 根号 a,有最小值为 2 根号 a当 x<0 ,有 x=- 根号 a ,有最大值为：2根号 a对勾函数的解析式为y=x+a/x （其中 a>0 ）,它的单调性争论如下：设 x1<x2 ,就 fx1 ）-fx2 ） =x1+a/x1-x2+a/

11、x2） =x1-x2 ） +ax2-x1 ）/x1x2 ） =x1-x2 ）（ x1x2-a/x1x2）下面分情形争论当 x1<x2<- 根号 a 时, x1-x2<0、x1x2-a>0、x1x2>0,所以 fx1 ）-fx2 ）<0 ,即 fx1 ）<fx2 ）,所以函数在（ -,-根号 a）上为增函数当 -根号 a<x1<x2<0时, x1-x2<0、x1x2-a<0、x1x2>0,所以fx1 ） -fx2 ） >0 ,即 fx1 ） >fx2 ）,所以函数在（-根号 a、0 ）上为减函数当 0<x1<x2< 根号 a 时, x1-x2<0、x1x2-a<0、x1x2>0,所以 fx1 ） -fx2 ）>0