2016年第22届“华杯赛”决赛初一组试题答案

1、第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题答案（初中一年级组） 第第二二十十二二届华罗庚金杯少年数学邀请赛届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题参考答案决赛试题参考答案 （初（初中中一一年级组）年级组） 一、填空一、填空题题（每小题 10 分, 共 80 分） 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 6 7 0 4059217 4 29 44 403 二、二、 解答下列各题解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 是否存在长方体, 其十二条棱的长度之和、体积、表面积的数值均相等？如果存在, 请给出一个例子; 如果不存在, 请说明理由. 答案: 否 解答

2、: 假设存在长 a、宽 b、高 c 的长方体满足: )()(cbacabcababc. 于是 )()(cabcabcbaabc. 这样 )(abccabbcaaccbbaabccabbca, 即 accbbaabccabbca. 又a, b, c, 于是2222222220a bb cc aa bcab cabc. 矛盾！ 10. 如图, 已知正方形 abdf 的边长为 6 厘米, ebc 的面积为 6 平方厘米, 点 c 在线段 fd 的延长线上, 点e 为线段 bd 和线段 ac 的交点. 求线段 dc 的长度. 答案: 3 厘米 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题答案（初中一年级

3、组） 解答: 连接线段 fe. 设线段 dc 的长度为 x, 线段de 的长度为 y. 由ebc 的面积为 6 平方厘米和正方形 abdf 的边长为 6 厘米, 得 612xyx. 又edf 的面积为 3y, ecd 的面积为2xy, 而acf 的面积为 3(6+x). 另外 acf 的面积=edf 的面积+ecd 的面积+efa 的面积 即 3(6+x)= 3y+2xy+18. 解由联立的方程组得3x , 2y . 所以dc的长度为3厘米. 11. 如右图, 先将一个菱形纸片沿对角线 ac 折叠, 使顶点 b 和 d 重合. 再沿过 a, b (d) 和 c 其中一点的直线剪开折叠后的纸片,

4、 然后将纸片展开. 这些纸片中菱形最多有几个? 请说明理由. 答案：0 解答: 菱形纸片沿对角线折叠后是等腰三角形, 如图, abc中, ab=bc. 若过顶点a或c剪开, 沿 ae 剪开, 展开后会得到两个三角形和一个四边形. 如果展开后的四边形是菱形, 需要满足 ae=ce. 显然cabcae, 而cabc, 故ccae, 所以ecae , 因此这个四边形纸片不是菱形. （或: 若四边形纸片为菱形, 则点 e 在 ac 的垂直平分线上. 由已知点 b在 ac 的垂直平分线上, 故 beac, 即 bcac, 这是不可能的！所以这个四边形纸片不是菱形.） 若过顶点 b 剪开, 如图, 沿 b

5、f 剪开, 展开后会得到两个四边形. 在cbf 中, bfac, 而ac, 故bfaa, 所以bfab , 因此这个四边形纸片不是菱形. 同理, 另一个第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题答案（初中一年级组） 纸片也不是菱形. 综上, 这些纸片中没有菱形. 12. 证明: 任意个整数中, 至少有两个整数的平方差是的倍数. 证明: 整数被除的余数可以分为余 0, 余 1, 余 2, 余 3 四类. 根据抽屉原理, 这个整数中一定有两个属于同一类, 不妨设这两个数是7amr,lnb, 其中0,r 1, 2, 3, rl. 当rl 时, )(rnmnmba是的倍数; 当rl时, )(nmrnm

6、ba也是的倍数. 三、三、解答下列各题解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 直线a平行于直线b, a上有个点a,a,a, b上有个点b,b,b, 用线段连接ia和jb( i=, j=,), 所得到的图形中一条边在 a 上或者在 b 上的三角形有多少个？ 答案: 5995 解答: 其中一条边在a上或者b上的三角形分两种情况. 情况 1: 三角形的三个顶点都在 a 或者 b 上, 这样的图形与三个点有关, 两个点在a上, 一个点在b上, 或者两个点在b上, 一个点在a上. 这样的三角形有104555049510) 111(112111) 110(1021.

7、情况 2: 三角形中有两个顶点在 a, b 上, 另一顶点是这些线段jiba( i=, , j=,)的交点, 这样的三角形与四个点有关, 其中两个点在a上, 两个在b上. 每组这样的四个点决定 2 个三角形满足一条边在 a 或者 b 上. 这样的 4 个一组共有24755545) 111(1121) 110(1021组, 因此所得图形中有495022475个三角形满足两个顶点在a或者b上. 综合上面两种情况共用599510454950. 14. 已知关于 x, y 的方程kyx有且只有六组正整数解, 且yx , 求k的最大值. 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题答案（初中一年级组） 答

8、案: 1777 解答: 由于)(yxyxyx-, 则当 x, y 的整数解同为偶数或奇数时, yx -是 4 的倍数. 这里要用到一个公式, 记自然数m的质因数分解为skskkmmmm2121, 其中smmm,是m的质因数, 次数分别为skkk, 则m的因子分解数目为) 1() 1)(1(21skkk. 记方程mk =2-017, myx=22-, 由于方程的正整数解有 6 组, 则m至少有12 个因数. 当m是奇数时, myx=22-总有正整数解. 当m是奇数且是平方数时, myx=22-的正整数解的个数是21（m的因数数目1） . 否则myx=22-的正整数解的个数是21（m的因数数目）.

9、 当m是偶数时, 根据前面的分析, m是4的倍数, 记nm4. 如果n是平方数, myx=22-的正整数解的个数是21（n的因数数目1）; 否则myx22-的正整数解的个数是21（n的因数数目）. 当m是奇数时, 如果m只有一个质因数, 则次数为 11, m的最小值为20172048231111, 不可能. 如果m有两个质因数则次数为 1 和 5, m的最 小 值 为12155243535; 或 者2和3,m的 最 小 值 为67525275323. 如果有 3 个质因数, 次数为 1, 1 和 2, m的最小值为3153597532. 此外没有其它的情况. 当m是偶数时, 如果n只有一个质因数, 则次数为 11, m的最小值为2017204822211112, 不可能. 如果n有两个质因数则次数为1和5, m的 最 小 值 为384312832252; 或 者