2019-2020学年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)

1、- 1 -2019-2020 学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷一、选择题一、选择题： （共（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于()a13b33c12d322倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是()a10 xy b10 xy c10 xy d10 xy 3过点( 1,2)且与直线2340 xy垂直的直线方程为()a3210 xy b3270 xyc2350 xyd2380 xy4设m是不为零的实数，则“0m ”是“方程221xymm表示的曲线为双曲线”

2、的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件5已知椭圆22143xy的两个焦点为1f，2f，m是椭圆上一点，且12| 1mfmf则12mf f是()a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d等边三角形6已知点1f、2f是椭圆2222xy的两个焦点，点p是该椭圆上的一个动点，那么12|pfpf 的最小值是()a0b1c2d2 27已知直线0 xym与圆22:1o xy相交于a，b两点，且aob为正三角形，则实数m的值为()a32b62c32或32d62或628在abc中，1abac，d是ac的中点，则bd cd 的取值范围是()a3 1(, )4 4b1(, )4c3(

3、,)4d1 3( , )4 4二、填空题二、填空题： （共（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分）9双曲线2212yx 的渐近线方程为10已知圆c的圆心在直线0 xy上，过点(2,2)且与直线0 xy相切，则圆c的方程- 2 -是11已知l为双曲线2222:1xycab的一条渐近线，其倾斜角为4，且c的右焦点为(2,0)，则c的右顶点为，c的方程为12已知圆的方程为222880 xyxy，过点(1,0)p作该园的一条切线，切点为a，那么线段pa的长度为13 若221:5oxy与222:()20()oxmymr相交于a、b两点， 且两圆在点a处的切线互相垂直，则线段a

4、b的长度是14已知双曲线2222:1(0,0)xycabab的左、右焦点分别为1f，2f，过1f的直线与c的两条渐近线分别交于a，b两点若1f aab ，120fb f b ，则c的离心率为三、解答题三、解答题： （共（共 6 小题，小题，17、19 题每题题每题 14 分，其余每题分，其余每题 13 分，共分，共 80 分）分）15 （13 分）已知函数2( )2 3sin cos2cosf xxxx（1）求函数( )f x图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数( )f x在区间,6 3 上的最大值与最小值，以及此时x的取值16 （13 分）在abc中，222acbac（1）求cosb的值

5、；（2）若1cos7a ，8a ，求b以及abcs的值17已知2222:1(0)xycabab的短轴长2 3，离心率为12，圆222:o xyb（1）求椭圆c和圆o的方程；（2）过椭圆左焦点的直线l与椭圆c交于a，b两点，16|5ab ，若直线l于圆o交于m，n两点，求直线l的方程及oab与omn的面积之比- 3 -18 （13 分）已知函数( )()xf xaxa e（其中2.71828)e ，2( )2g xxbx，已知( )f x和( )g x在0 x 处有相同的切线（1）求函数( )f x和( )g x的解析式；（2）求函数( )f x在区间 3，3上的最大值和最小值；（3）判断函数(

6、 )2 ( )( )2f xf xg x的零点个数，并说明理由19已知椭圆2222:1(0)xycabab的焦点到短轴的端点的距离为5，离心率为2 55（1）求椭圆c的方程；（2）过点(1,0)的直线l交椭圆c于a，b两点，过点b作平行于x轴的直线bn，交直线5x 于点n，求证：直线an恒过定点20 （13 分）已知na是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n，该数列前n项的最大值记为na，第n项之后各项1na，2na，的最小值记为nb，记nnndab（1）若数列na的通项公式为5,141,5nnnan ，求数列nd的通项公式；（2）证明： “数列na单调递增”是“*nn ，0nd ”的充

7、要条件；（3）若nnda对任意*nn恒成立，证明：数列na的通项公式为0na - 4 -2019-2020 学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题一、选择题： （共（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于()a13b33c12d32【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，2ab，椭圆的离心率32cea，故选：d2倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是()a10 xy b10 xy c10 xy d10 xy

8、【解答】解：直线倾斜角是135，直线的斜率等于1，在y轴上的截距是1，由直线方程的斜截式得：11yx ，即1yx ，故选：d3过点( 1,2)且与直线2340 xy垂直的直线方程为()a3210 xy b3270 xyc2350 xyd2380 xy【解答】解：所求直线方程与直线2340 xy垂直，设方程为320 xyc直线过点( 1,2)，3 ( 1)220c 1c 所求直线方程为3210 xy 故选：a4设m是不为零的实数，则“0m ”是“方程221xymm表示的曲线为双曲线”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【解答】解：方程221xymm表示的曲线

9、为双曲线0m“0m ”是“方程221xymm表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件故选：a- 5 -5已知椭圆22143xy的两个焦点为1f，2f，m是椭圆上一点，且12| 1mfmf则12mf f是()a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d等边三角形【解答】解：由题意，12| 2ff ，12| 4mfmf，12| 1mfmf，15|2mf，23|2mf ，2222121|mfffmf，故选：b6已知点1f、2f是椭圆2222xy的两个焦点，点p是该椭圆上的一个动点，那么12|pfpf 的最小值是()a0b1c2d2 2【解答】解：o为12f f的中点，122pfpfpo ，可得12| 2|pf

10、pfop 当点p到原点的距离最小时，|op 达到最小值，12|pfpf 同时达到最小值椭圆2222xy化成标准形式，得2212xy22a且21b ，可得2a ，1b 因此点p到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即|op 最小值为1b 12| 2|pfpfop 的最小值为 2故选：c- 6 -7已知直线0 xym与圆22:1o xy相交于a，b两点，且aob为正三角形，则实数m的值为()a32b62c32或32d62或62【解答】解：直线0 xym与圆22:1o xy相交于a，b两点，且aob为正三角形，则：aob的边长为 1，则：圆心(0,0)到直线0 xym的距离322md ，解得：6

11、2m 故选：d8在abc中，1abac，d是ac的中点，则bd cd 的取值范围是()a3 1(, )4 4b1(, )4c3(,)4d1 3( , )4 4【解答】解：()bddaab ，设(0, )cab，所以21111()()cos()2242bd cddaab dacaca ab 113 1(cos)(, )424 4 故选：a二、填空题二、填空题： （共（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分）9双曲线2212yx 的渐近线方程为2yx 【解答】解：双曲线2212yx 的1a ，2b ，可得渐近线方程为byxa ，即有2yx 故答案为：2yx 10已知圆c的

12、圆心在直线0 xy上，过点(2,2)且与直线0 xy相切，则圆c的方程- 7 -是22(1)(1)2xy【解答】解：根据题意，圆c的圆心在直线0 xy上，设圆c的圆心为( , )a a，半径为r；又由圆c过点(2,2)且与直线0 xy相切，则有22222(2)(2)()1 1araa，解可得1a ，即圆心的坐标为(1,1)，则222(2)(2)2raa，则圆c的方程为22(1)(1)2xy；故答案为：22(1)(1)2xy11已知l为双曲线2222:1xycab的一条渐近线，其倾斜角为4，且c的右焦点为(2,0)，则c的右顶点为( 2，0)，c的方程为【解答】解：由题意可得2c ，即224ab

13、，一条渐近线的斜率为tan14bka，解得2ab，则双曲线的右顶点为( 2，0)，c的方程为22122xy故答案为：( 2，0)，22122xy12已知圆的方程为222880 xyxy，过点(1,0)p作该园的一条切线，切点为a，那么线段pa的长度为11【解答】解：圆22_2880 xyxy，即22(1)(4)9xy，表示以( 1,4)c 为圆心、半径3r 的圆，再由切线长定理可得切线长2220911papcr，故答案为：1113 若221:5oxy与222:()20()oxmymr相交于a、b两点， 且两圆在点a处的切线互相垂直，则线段ab的长度是4- 8 -【解答】解：由题知1(0,0)o

14、，2( ,0)o m，半径分别为5，2 5，根据两圆相交，可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，即53 5m又12o ao a，所以有222( 5)(2 5)25m ，5m 再根据12121211222ao oabsao aooo，求得5 2 5245ab ，故答案为：414已知双曲线2222:1(0,0)xycabab的左、右焦点分别为1f，2f，过1f的直线与c的两条渐近线分别交于a，b两点若1f aab ，120fb f b ，则c的离心率为2【解答】解：如图，1f aab ，且120fb f b ，1oaf b，则1:()af b yxcb，联立()ayxcbbyxa，解得222

15、(a cbba，22)abcba，则4222222222222()()a ca b cobcbaba，整理得：223ba，2223caa，即224ac，224ca，2cea故答案为：2三、解答题三、解答题： （共（共 6 小题，小题，17、19 题每题题每题 14 分，其余每题分，其余每题 13 分，共分，共 80 分）分）15 （13 分）已知函数2( )2 3sin cos2cosf xxxx（1）求函数( )f x图象的相邻两条对称轴的距离；- 9 -（2）求函数( )f x在区间,6 3 上的最大值与最小值，以及此时x的取值【解答】解：2( )2 3sin cos2cos3sin2co

16、s21f xxxxxx2sin(2)16x（1）函数( )f x图象的相邻两条对称轴的距离为22t；（2）,6 3x ，266x ，56，当262x，即6x时，( )f x取得最大值为 3；当266x ，即6x 时，( )f x取得最大值为116 （13 分）在abc中，222acbac（1）求cosb的值；（2）若1cos7a ，8a ，求b以及abcs的值【解答】解： （1）由余弦定理及已知得：2221cos22acbbac，（2）因为a，b为三角形内角，所以2214 3sin11( )77acos a，2213sin11( )22bcos b，由正弦定理得：38sin27sin4 37a

17、bba，又2221cos72bcaabc22150cc，解得5c (3c 舍） 110 3sin27abcsbca17已知2222:1(0)xycabab的短轴长2 3，离心率为12，圆222:o xyb（1）求椭圆c和圆o的方程；（2）过椭圆左焦点的直线l与椭圆c交于a，b两点，16|5ab ，若直线l于圆o交于m，n两点，求直线l的方程及oab与omn的面积之比【解答】解： （1）由题得3b ，12cea，所以2214ca，所以22334ba，则24a ，- 10 -所以椭圆c的方程为：22143xy，圆o的方程为：223xy；（2）根据题意可知，左焦点( 1,0)f ，且直线l的斜率存在

18、且不为 0，不妨设(1)yk x，联立22(1)143yk xxy，整理得2222(34)84120kxk xk，所以22834abkxxk ，2241234abkx xk，所以22222116|1|1()412345abababkabkxxkxxx xk，解得3k ，则:3(1)l yx ；所以原点到l的距离33213d ，所以aob面积为13164 32255；22 33mnd，所以mon面积为133 33224，所以oab与omn的面积之比为16:1518 （13 分）已知函数( )()xf xaxa e（其中2.71828)e ，2( )2g xxbx，已知( )f x和( )g x在

19、0 x 处有相同的切线（1）求函数( )f x和( )g x的解析式；（2）求函数( )f x在区间 3，3上的最大值和最小值；（3）判断函数( )2 ( )( )2f xf xg x的零点个数，并说明理由【解答】解： （1）( )()xf xaxa e（其中2.71828)e ，2( )2g xxbx，(0)fa，(0)2g( )(2)xfxa xe，( )2g xxb，(0)2fa，(0)gb( )f x和( )g x在0 x 处有相同的切线2ab，2a 解得2a ，4b ( )2(1)xf xxe，2( )42g xxx，（2）( )2(1)xf xxe， 3x ，3- 11 -( )2

20、(2)xfxxe，可得( )f x在 3，2)上单调递减，在( 2，3上单调递增2x 时，函数( )f x取得极小值即最小值，22( 2)fe 又34( 3)fe，f（3）38e3x时，函数( )f x取得最大值，f（3）38e综上可得：函数( )f x在区间 3，3上的最大值和最小值分别为：38e，22e（3）函数2( )2 ( )( )24(1)4xf xf xg xxexx( )4(2)242(2)(21)xxf xxexxe令( )0f x，解得2x ，2xln 可得：2x 时，函数( )f x取得极大值，24( 2)40fe；2xln 函数( )f x取得极小值，2(2)22 220

21、flnlnln又x 时，( )f x 可得：函数( )2 ( )( )2f xf xg x只有一个零点19已知椭圆2222:1(0)xycabab的焦点到短轴的端点的距离为5，离心率为2 55（1）求椭圆c的方程；（2）过点(1,0)的直线l交椭圆c于a，b两点，过点b作平行于x轴的直线bn，交直线5x 于点n，求证：直线an恒过定点【解答】 解：（1） 由椭圆2222:1(0)xycabab的焦点到短轴的端点的距离为5， 则5a ，又离心率为2 55，即2 55cea，解得2c ，2221bac，椭圆c的方程为2215xy；（2） 证明： 当直线l的斜率不存在， 即方程设为1x ， 代入椭圆方程可得12155y ，- 12 -即有2(1,)5a，2(1,)5b，2(5,)5n，直线an的方程为5(3)5yx ，直线an恒过定点(3,0)q；当直线l的斜率存在，设过点(1,0)的直线l的方程为(1)yk x，由22(1)55yk xxy，消去y整理得2222(15)10550kxk xk由42221004(15)(55)80200kkkk恒成立，设1(a x，1)y，2(b x，2)y，2(5,)ny，则21221015kxxk，212255