全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法（精编版）

1、全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法abc中,ad 是 bc边中线方式 1：直接倍长， ( 图 1) ： 延长 ad到 e，使 de=ad，连接 be方式 2：间接倍长1) （图 2）作 cf ad于 f，作 be ad的延长线于e,连接 be2) （图 3）延长 md到 n，使 dn=m，d 连接 cdaaafbcdbdceembdc n【经典例题】a例 1 已知，如图abc中， ab=5， ac=3，则中线 ad的取值范围是 .（提示：画出图形，倍长中线ad，利用三角形两边之和大于第三边）bdc例 2：已知在 abc中， ab=ac， d 在 ab上， e 在 ac的延长线上，de 交

2、bc于 f，且 df=ef.求证： bd=ce（.提示：方法1：过 d作 dg ae 交 bc于 g，证明 dgf cefadbfce方法 2：过 e 作 egab交 bc的延长线于g，证明 efg dfbadbcfe方法 3：过 d 作 dgbc于 g，过 e 作 eh bc的延长线于h，证明 bdg ech）adbcfe例 3、如图， abc中， e、 f 分别在 ab、ac上， de df，d 是中点，试比较be+cf与 ef 的大小 .aefbdc变式：如图，ad为abc 的中线， de平分bda 交 ab于 e，df平分adc 交 ac于 f.求证： becfef（提示：方法1：在

3、da上截取 dg=bd，连结 eg、fg， 证明 bde gde dcf dgf所以 be=eg、cf=fg利用三角形两边之和大于第三边_ae_fb_d_c方法 2：倍长 ed至 h，连结 ch、fh，证明 fh=ef、 ch=be，利用三角形两边之和大于第三边）_a_ef_bd_c例 4：已知在 abc中， ad是 bc边上的中线，e 是 ad上一点，且be=ac，延长 be 交 ac于 f，求证： af=ef（提示：方法1：倍长 ad至 g，连接 bg，证明 bdg cda三角形 beg是等腰三角形。afebdafedcac方法 2：倍长 ed.试一试，怎么证明？）b例 5、如图， abc

4、中， bd=dc=a，c e 是 dc的中点，求证： ad平分 bae. （提示：倍长ae至 m,连接 dm）bdec变式一：已知cd=ab， bda= bad， ae是 abd的中线，求证： c= bae提示：倍长ae至 f，连结 df, 证明 abe fde（ sas） , 进而证明 adf adc（ sas）abedc变式二：已知cd=ab， bda= bad， ae是 abd的中线，求证： 2ae ac。a（提示：借鉴变式一的方法）例 6：已知：如图，在abc中， abbedcac ，d、e 在 bc上，且 de=ec，过 d作 df / ba 交 ae于点 f，df=ac.求证： a

5、e平分bac提示：方法 1：倍长 ae至 g，连结 dg_a f_b_d_e_c方法 2：倍长 fe至 h，连结 cha_f_b_d_e_c_【练习】1、在四边形abcd中， ab dc，e 为 bc边的中点， bae= eaf，af 与 dc的延长线相交于点f。试探究线段ab与 af、 cf之间的数量关系，并证明你的结论a提示：延长ae、df交于 g,证明 ab=gc、af=gf，所以 ab=af+fcb2、已知：如图，?abc中， ?c=90?， cm?ab于 m， at平分 ?bac交 cmadecfm于 d，交 bc于 t，过 d 作 de提示：过t 作 tn ab 于 n， 证明 btn ecddbetc3、 在 abc中， ad平分 bac，cm ad于 m，若 ab ad，求证： 2amac ab。abdcm4、 abc中， ad是边 bc上的中线， daac于点 a， bac=