大学线性代数试题及答案

1、2006学年第2学期线性代数（ a卷 ）一、 填空题 (本题共有30分, 每小题3分)1. 已知，则 .2. 设为4阶方阵，且,则_.3. 已知,，则向量组的秩为 .4. 设是阶方阵，且满足, 则_.5. 已知方程组无解，则实数_.6. 设，当 时，线性无关.7. 设向量，且正交，则 .8. 若4阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，则行列式_ .9. 二次型的负惯性指标为 .10. 在matlab软件中，inv() 表示求_.二、单项选择题（本题共21分，每小题3分）1. 设维向量和的模分别是4和8，与的距离是，则与的夹角为( ) （a） （b） （c） （d） 2. 设为5阶方阵，且，是的两个不同

2、的解向量，则的通解为（ ） （a） （b） （c） （d）3. 下列命题中与命题“阶方阵可逆”不等价的是（ ）（a） （b）的列向量组线性无关(c）方程组有非零解 （d）的行向量组线性无关4. 已知，为3阶非零矩阵，且满足0,则（ ）（a）时的秩必为1 （b）时的秩必为2（c）时的秩必为1 （d）时的秩必为25. 当下列哪一个命题成立时，阶方阵与相似 （ ） （a） （b）（c）与有相同的特征值 （d）与有相同的特征值，且个特征值各不相同6. 设是齐次线性方程组的基础解系，则下列向量组不能作为的基础解系的是（ ） （a） （b）（c） （d）7. 设与均是阶正定矩阵，分别为，的伴随矩阵，则下列

3、矩阵必为正定矩阵的是（ ） （a） （b） （c）（为任意常数） （d）三、计算阶行列式的值. (本题8分)四、设线性方程组，当等于何值时，方程组(1) 有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并用基础解系表示方程组的通解. （本题12分）五、设有向量,，问可否表示成，的线性组合?若可以,请给出一种表达式. （本题9分）六、证明若阶方阵满足,则的特征值只能是1或3.(本题8分)七、已知二次型通过正交变换化成标准型，求参数及所用的正交变换矩阵.(本题12分)2006学年第2学期线性代数（ a卷 ）答案一. 1. 2. 81 3. 2 4. -( a + 3 e) 5. 3或-16. x 7. -

4、1 8. 24 9. 0 10. 10二.1. a 2. d 3. c 4. c 5. d 6. b 7. b三. = （4分）=（n+1）(6分) =（n+1）= n+1(8分)四（12分） = （+3） .（2分）（1）.当0且-3时，方程组有唯一解.(4分)（2）.当=-3时 =(7分) r(a)=2r()=3 方程组无解.(8分) （3）.当=0时 a=（9分） r(a)=1<3 故方程组有无穷多解(10分) +=0 = =.(11分) 通解=+ ，其中，为任意实数（12分）五（9分） 设= (2分) （4分） r(a)=r()=3 方程组有解（5分） （7分） （8分） （9分）六（8分） 证明： 设为a的特征值， (2分) 则 为的特征值 （4分） 即 =0 (6分) 而 =1或3 （8分）七（12分） （1分） a的特征值为1,2,5 （2分） 即=2（6-）=10 a=1 (舍去-1) （