【精品】物理实验(1)讲义

1、一、物理实辭的地位、作用和任务物理学从本质上说是一门实验科学，物理规律的研究都以严格的实验事实为基础，并且不 断受实验的检验。在物理学的发展中物理实验_道起着重要作用，在探索和开拓新的科技领 域中，物理实验仍然是有力的工具。在大学里物理实验课是对学牛进行科学实验基础训练的- 门重要课程，它不仅可以加深对理论的理解，更重要的是使学生获得基本的实验知识，在实验 方法和实验技能诸方面得到较为系统严格的训练。可以说，物理实验课是大学里学习或从事科 学实验的起步。同时在培养科学工作者的良好素质及引导世界观力面，物理实验也起看潜移默 化的作用。学好物理实验对于理工院校的学生是十分重要的。大学物理实鋼与大瀚

2、理理绷一创勾成了高等理工科学牛必修的基础物理学知识统一 的整体。理论课主要注重对物理概念、物理规律的讨论和学习，训练学生的理论思维力法；实 验课则主要以实际动手实验为教学手段，对学半进行全面而系统的实验方法和实验技能训练。 它们具有同等重要的地位，具有深刻的内在联系。对-个高等学校的学生来讲，不论专业如何，大学物理实验都是一门重要的基础课程。了 解和掌握实验研究的方法和技巧，不仅对物理学的学习是重要的，而目対后续课程的学习，尤 其是对将来所从事的实际工作所需要具备的独立工作能力和创新能力等素质来讲，也是十分必 要的，这是大学物理理论课不能做到，也不能取代的。因此大学物理实验是理工科学生的_ 门

3、独立的重要的必修基础课程。物理实验课的目的1. 通过对物理实验现象的观测和分析，学习运用理论指导实验、分析和解决实验屮问题的 方法。从理论和实际的结合上加深对理论的理解。2. 培养学牛从学科学实验的初步能力。这些能力是指，通过阅读教材或资料能概括出实验 原理和力法的要点；正确使用基本实验仪器，掌握基本物理量的测量方法和实验操作技能，正 确记录和处理数据，分析实验结果和撰写实验报告，自行设计和完成某些不太复杂的实验任务3. 培养学生实事求是的科学态度、严谨踏实的工作作风，勇于探索、坚忍不拔的钻研精神 以及遵守纪律、团结协作、爱护公物的优良品徳。二、物理实验课的主要教学环节为达w物理实验课的目的，

4、学牛应重视物理实验教学的三个重要环节。1. 实验预习由于每次实验的时间有限，课内时i'可主要用来熟悉仪器、观察实验现象和测量数据，所以, 实验前应认真进行预习。预习时要认真阅读实验教材和相关资料，明确实验的目的、要求，理 解实验原理，明确需测量的物理量及测量方法，了解实验仪器的构造原理、使用方法、实验步 骤及注意事项，写出预习报告。预习报告内容包括：实验名称：实验目的：说明本次实验的目的。实验原理：在理解的基础上，简明扼要地阐述实验原理，测量中依据的主要公式，式中各 量的物理含义及单位，公式成立应满足的实验条件等，画出原理示意图（用直尺、铅笔等绘图 工具作图，不能随手乱画），对电学和光

5、学实验应画出电路图和光路图。仪器用具：实验仪器的名称、型号、规格（进行实验吋记录仪器编号，以便复查）。实验步骤：实验操作的步骤（可衣实验操作后，根据实际的实验操作过程写明关键步骤和 安全注意要点，不能照书抄，应写得简明扼要）。记录表格：根据实验任务画好i咏数据的表格（画在原始i耳本上）。设计性实验还要求学生课前自拟实验方案，自己设计线路图或光路图，自拟数据表格等。课前预习的好坏是实验屮能否収得主动的关键。2. 实验操作按规定时间进入实验室，进入实验室后应遵守实验守则。对于基础实验苗先听取教师的讲解，然后熟悉仪器，了解仪器的工作原理、用法以及规 格性能。正确合理地布置仪器，根据仪器说明调整好仪器

6、，使仪器处于良好的工作状态。实验 时要仔细认真，注意细心观察实验现象，对实验屮出现的间题，要冷静地分析，找出问题的原 因。仪器发牛故障时，也要在老师的指导下学习排除故障的方法。总乙 要将重点放在实验能 力的培养上，而不是测量几个数据就以为完成任务。测量时首先进行初测，熟悉测量过程、范围和粗略的变化规律，然后进行正式测量。按有 效数字要求记录数据，对测量数据要实事求是，要用钢笔或圆珠笔记录数据，不可伪造或任意 改动，女u确系记录错误，也不要涂改，应在错误数据上划上一道，在旁边写上正确值（错误多 的，需重新记录），使正误数据都能清晰可辨，以供在分析测量结果和误差时参考。不要用铅笔 记录原始数据，也

7、不要随意用一张废纸记录，希望同学从一开始就树立良好的科学作风。实验 结束时，将实验测量数据、计算结果交教师审阅签字，整理还原仪器后才謎吉束实验，离开实 验室。对于设计性实验 先将已设计好的实验方案与靭帀进行讨论，经同意后进行实验。3. 实验总结实验后对观测到的数据进行分析和计算是实验的重要环节，要对实验数据及时进行处理。 如果原始记录删改较多，应加以整理，对重要的数据要重新列表，最后按要求完成实验报告， 实验报告在原预习报告的基础上完成。撰写出一份简洁、明了、工整、有见解的实验报告是每 一个大学生必须具备的报告工作成果的基本能力。实验报告内容包括（1）实验名称。实验目的"（3）骤，(

8、5)应有完整的实验数据及单位（实验数据切忌涂改）。数据处理过程包括计算、作图、误差分 析等。计算要有计算式（或计算举例），代入的数据都要有根据，便于別人看懂，也便于自己检 查。作图要按作图规则，图线要规矩、美观。数据处理后，给击实验结果。小结或讨论，包括实验屮现象的分析；对实验关键问题的研究、体会；实验的收获和建议；简答思考题 等。三、实验室守则为保证实验正常进行，培养良好学风，特制定下列守则。（1）每次实验前，学纶必须进行预习，进入实验室须带上预习报告及记录实验数据的表 格，经教师检查同意方可进行实验。（2）学生应按时到达实验室，談耐轲 不雋亶自器。（3）进行实验前，先听教师讲解，再清点仪器

9、和附件，合理地布置仪器，并作必要的调试 和校正，发现问题，及时向教w提出。（4）实验中，严格按仪器操作规程，谨慎细心地进行操作。对电学实验连好电路，待教师 检查许可后，方可接通电源开关。对光学实验屮的透镜、棱镜、反射镜等元件，严禁用手或普（5）保持实验室安静、整洁，专心、认真观测和io,实事求是，切忌草率从事。（6）实验完闵二wr2討安原样归位，临吋借用的仪器、工具交还魏帀，将实解和凳了 收拾整洁。帥畸查测数据和仪器还原情况并签字后，方可离开实验室。若损坏仪器，要 填写“仪器损坏登记表”，由实验室负责人按学校规定处理。不确定度和数据处理本篇介绍测量的不确定度、实验数据处理和实验结果的表示等问题

10、。所介绍的都是初步知 识，这些知识不仅在每-个物理实验中都要用到，而比是今后从事科学实验和科研必须了解和 掌握的。由于这部分内容牵涉面较t,深入的讨论是普通计量学以及数理统计学的任务，本书 只引用它的某些结论和计算公式。第一节测量与误差一、测量的基本概念1. »：是借助仪器，通过一定的方法，将待测量与一个选作标准单位的同类量进行比较 的过程。其比值即是该被测量的测量值。记录下来的测量结果应该包含测量值的大小和单位， 二者缺不可。按照测量的方式，测量可分为直接测量和间接测量；按照测量的条件，测量可 分为等精度测量和不等精度测量。=j:直接测量是把待测物理量直接与作为标准的物理量相比较，

11、待测物理量的大小可以从选定好的测量仪器或仪表上直接读出来的测量。例如用直尺测长度，用秒表测时间, 用天平称质量，用电表测电压、电流，用温度计测温度等。3.间接测量：间接测量是指待测量需要根据其他直接测量的物理量的值，通过一定的函数 关系（般为物理概念、定理、定律）才能计算出来的测量过程。例如，测量一圆柱体的体积, 可以直接测出圆柱体的底面直径刀和高度力，再由公式v二丄加）2力计算出術比在这一测量4中，对q和/2是直接测量，对v则是间接测量。直接测量是间接测量的基础。然而，对一个给定的待测物理量，它属于直测量，还是属于 间测量，与待测量本身没有直接联系，而是取决于实验方法的采用和实验仪器、仪表的

12、选用。 比如，用伏安法测电阻吋，电阻是问测量；而使用欧姆表和电桥作测量仪器时，电阻为直测量。4. 鏑度测量不等ft度测量:对某物理量进行多次则量时，如果测量条件借寺不变（同 一-的测量者、仪器、方法及相同的夕卜部环境），这样进行的重复测量称为等精度测量。所得到的 每个测量值都有相同的精度，或者说具有相同的可信赖程度。如果测量条件屮，一个或u个发生了变化，这时所进行的测量称为不等精度测量。在以下的讨论屮所涉及的测量数据，若无特殊说明，均为等精度的情况。5. 真值：物理皐麻具有的客观的真实数值，称为真值（或客观值）x0 o真值尽管存在， 但通常不可能确切知道。无系统误差的条件下，算术平均值、标准值

13、、公认值、理论值可以认 为是约定的真值，称为约定真值或近真值。6. »：通过测量所获得的被测物理量的值。记为x。般地，兀总是不等于真值的， 只能接近真值。二、测量的误差及分类测暈值x与真值忑的差值ax = x -（1.1）称为则简称惡测量量的真值是一理想概念。在有的情况下可以用准确度较高的仪器测得的值或国际 推荐值作为真值，进行误差计算。在实际测量屮常用被测量的实际值或已修正过的算术平 均值来代替真值，同时用不确定度表示出测量值可信赖的程度。研究测暈误差是物理实验的重要内容，在物理实验中，由于测量对熟 测暈仪器、实验方 法、测呈环境、观测者等因素的作用，测量结果与真值z间总存在一定的

14、差值。根据引起误差 的主要因素的不同，一般可将误差分为系统误差和随机误差（又称偶然误差）。1. 系统误差在一定的实验条件下，多次测量同一量时，误差的正负号保持恒定，或其量值与正负 号按一泄的规律变化，或是有规律的重复，这种误差称为系统误差，它不能通过增加测量 次数消除。系统误差主要是由理论上的欠缺、公式的近似、仪器不完善、仪器零点不准以 及环境的影响等因素引起的。例如用秒表测运动物体通过某段路程所需的时间，若秒表走时较快，那么即使测虽多次， 测得的时间t总会偏大，而且总是偏大一个固定的量，这就是仪器不准确造成的。又如用落球 法测重力加速度时，由于空气阻力的影响，得到的结杲总是偏小，这就是测呈方

15、法不完善造成 的。对实验屮的系统误差应如何处理呢？可以通过校准仪器、改进实验装置和实验方法，或对 测量结杲进行理论上的修正加以消除或尽可能减小。发现和减小实验i喲系统误差是一个困难 任务，需要对整个实验依据的原理、方法、测量步骤、所用仪器等可能引起误差的因索一一进 行分析。我们将在学习过程小逐步学会发现系统误差，减小及校正其影响的方法。2. 随机魅在相同条件下，对同一量进行多次测量，即使系统误差减小到最小程度z后，测暈值 仍然会随桩也偏大或偏小，分散在一定的范围内，这类误差称为随机误差或偶然误差。这种误差是实验i咯种因素的微小变动性引起的。例如实验装置和测量机构在各次调整操 作上的变动性，测量

16、仪器指示数值的变动性，以及观测者本人在判断和估计读数上的变动性等 等。这些因素的共同影响就使测暈值闱绕着测暈的平均值发生有涨落的变化，这变化暈就是各 次测量的随机误差。随机误差的出现 就某一测量值来说是没有规律的，其人小和方向都是不 能预知的，但对一个量进行足够多次的测量，则会发现随机误坯是按一定的统计规律分布的， 这是一种典型的分布规律正态分布规律。>03*兀进行了次歸度测量，测得个值兀“2,占（称斓跡列）。当无系统误差分量时，可以用测量值的平均值作为真值的最佳估计值。根据最小二乘法原理,一洌等精度测量的最佳估计值是能使各次测量值与该值之差的平力和为最小的那个值，设真值 的最佳估计值为

17、兀，则差值平方和为(1.2)/二工(兀7()21=1若要使其最小，则它对如的导数应为o, b|j(1.3)由上式可得(14)时，算术平均值将趙近真值。为系统误差己被)肖除时，测量值的平均值对以作为待测量的近真仙 为测最次数 too当测量次数相当多时，算术平均值是真值的最佳值。因此 可以用平均值表示测量结果。以元代替真值，町用各次的测量值与算术平均值的差值(1.5)来估算各次测量值与平均值的误差。当n趋于oo时，物理量x将成为连续型随机变量，&x即为随机误差，概率论证明，随 机误差的分布服从正态分布(或称高斯分布)规律，标准化的高斯分布的曲线如图1.1 所示。图中心 代表某一物理量的随机

18、误差。p (心)为测量值的概率密度。正态分布是连 续性随机变量中最重要、最常用的分布，其函数关系为：p(x-x) =小(可2/2/(1.6)(7*2 兀其中o是测量列的标准偏差(1.7)是表征测量分散性的_个重要参量，其意义表示某次测量值的随机误差在区|hj-<7v, +q的概率为6&3 %。算术平均值的标准偏差为(1.8)随机误差的正态分布具有卜列亡要特性：（1）単勒性：与平均值相差越大，出现的概率越小。（2）对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等.（3）有界性：绝对值很大的误差出现的概率极小，即误差的绝对值不会超过一定限度。抵偿性：随机误差的代数和随测量次数的增加而趋向于

19、零。曲线峰值处的横坐标o相应于测量次数n* 时测暈的平均值，其误差ax=0o横坐标上 任一点到该值的距离即为测量值的随机误差分暈，q为曲线上拐点处的横坐标与o值注，它 是表征测量值分散性的重要参数，称为匸态分布的标准偏差。此曲线是概率密度分布曲线，曲 线和山轴间的面积为1,即满足归一化条件；图中阴影部分的面积就是随机误差在q范南内 的概率，即测量值落在（无一g ,元+$）区间屮的概率p （又称置信概率）。由定积分计算 得其值为f=68.3%。如将区间扩大到2倍,则兀落在（无-20；,无+2区间中的概率为954%,图1.1正态分布曲线从分布曲线可以看出：（1）在多次测量时，正负随机误差常可以大致

20、相消，因而用多次测 量的算术平均值表示测量结果可以减小随机误差的影响；）测量值的分散程度直接体现随机 误差的大小，测量值越分散测量的随机误差就越大。因此必须対测量的随机误差做出佔计才 能表示出测量的精密度。测量序列的标准偏差为n-这个公式称为贝塞尔公式，可以用这i标准偏差表示测量的随机误差，它可以表示这一 列测量值的精密度。标准差小就表示测量值很密集，即测量的精密度高，标准偏差大就表示 测量值很分散，即测量的精密度低。标准偏差物理意义明确，又有概率统计理论为基础，被公认为是测量评定的标准。在很多情况下，只需要粗略估计误差的大小时，可采用算术平均差。算术平均差为算术平均差是一种较粗糙的估算方法，

21、但比较简单，计算方便，便于初学者对实验进行简 明的分析。三. 测量的正确度、精密度和精确度正确度(也称准确度)、精密度和精确度是评价测量结果好坏的三个术语。正确度：反映测量结果系统误差大小，指测量值与真值之i'可符合的程度。正确度高，说明 测量值接近真值的程度好，系统误差小。精密度：反映测量结果随机误差大小。指重复测量所得结果相互接近的稈度。精密度高， 重复性好，各个测量讎的分布密集，随机瞇小。精确度：反映随机误差与系统误差的综合效果。对物理量的测量结果要求既精密又正确， 精确度高表示测量数据比濟中且靠近真值，即测量的随机误差与系统误差都比较小。用打靶的三种典型记录可以形象的说明三者的

22、区别.如图1.2所示。(a)精密度(b)正确度(c)精确度图(a)中靶子上的点比较集中，但都偏离靶心，表示精密度较高而正确度较差.图(b)中 弹点较分散，但平均值较接近靶心，表示精密度较差而正确度较高。图co)中弹点集中在靶心 附近，表明精密度和正确度均较好，表示精确度高。四. 测量仪器的精度测量结果的精密度和正确度是与测量仪器的精确度等级密切相关的，我们通常用精度的级 别来描述仪器的这种性质。仪器的精度通常指它能分辨的物理量的最小值。仪器的精度越高，它的分度越细，允 许的偏差就越小。由于多种因素，如材质不均匀、力n工装配的精细稈度以及环境(温度、湿度、 震动、杂散光、电磁场等）的影响，仪器的

23、精度受到一-定限制。按照标准，在正常使用条件下 （如温度、湿度范围、放置方式、额定功率等都符合要求），用某种级别的仪器进行测量时，对 最大允许偏差有具体规定，这种最大允许偏差（简称允差）也叫极限误差或公差，用仪表示, 可以在产品说明书和仪器手册上找到。仪器的级别和最大允差有关,如指针式电表级别分为5.0、2.0、1.5、1.0、0.5、0.2、0.1等七个级别。每一量程的最大误差仪=量程x级别。它表示在该量程下正确使用仪器进行测量，结果可能出现的最大误差，因此，在大多 数情况下，可用仪近似代表仪器的系统误差。第二节测量的不确定度国际计量局等七个国际理只于1993年制定了具有国际指导性的“测量不

24、确定度表示指南 iso 1993 （e）”（guide to the expression of uncertainty in measurement） 0 我国 i i 量科学研究院于1999年经国家质量技术监督局批准，发布了jjf1059 1999测量不确定度评定与表示的中国 国家计量技术规范，明确提出了测量结果的最终形式要用不确定度来进行评定与表示，由此不 确定度在我国开始进入推广使用阶段，我国各个高校也不断开展这力面的讨论，改革教学内容 与方法 以求与国际接轨。现在，国际上已开始广泛使用不确定度评定测量结果。一、桶就的昵1.不确定度（uncertainty）：常记为。从词义上理解，意味

25、着对测量结果的有效性的可疑程度或不肯定程度；从传统上理m它是被测量真值所处范围的估计值。但是真值作为_ 个理想化的概念，实际上往往是未知量。因此，不确定度定义为表征合理地赋予被测量之值 的分散性、与测量结果相联系的参数”。此参数是测量结果含有的一个参数，是表明测量结果的 分散程度，可以用定量的数字描述，是-个定量的概念。在测量结果的完整表述中，应包括测 量不确定度。不确定度如误差有系统误差、随机误差等样也由多个分量组成并瓦这些分 量可用统计方法、概率分布、经验判断等来评定，为-个正值。或者说不确定度是一种表征被 测量值所处范围的评定，真值以一定置信概率落在测量平均值附近的f5围内。即x = x

26、±ux （置信概率为p）,区间元一元+ /称置信区间。表达式的含义是 被测量的真值以一定的置信概率p落在区间元-ux，元+ / 内。匕的大小反映了测暈结果的可信赖的程度。/小，表明测暈更接近真值，可信程度高, 测量结果在所确定的范围内出现的可能性大。不确定度/从估计方法上可分为a类不确定度和b类不确定度°a类一指多次重复测量用统计方法计算出的不确定度分量”人，也称统计不确定度。b类一指用其它方法估计出的不确定度分量，也称非统计不确定度。这两类分量w “方和根”合成总不确定度：二 ju； + u；（2.1）2.不确定度与误差的关系不确定度是在误差理论的基础上发展起来的，不确定

27、度和误差是两个不同的概念，但又有 一定的际误差是一个理想化的概念，根据误差定义，由于真值是未知的，则误差也是未知的，是不 可能准确求得的。因此般无法用误差准确表示测量结果。不确定度则是表示由于误差的存 在而对被测量值不能确定的程度，反映了可能存在的误差分布范围，表征被测量的真值所处的 量值范围的评定，所以不确定度能够更准确的用于测量结果的表示。误差和不确定度都是由测量过程的不完善弓i起的，不确定度概念和体系是在现代误差理论 的基础上建立和发展起来的，在估算不确定度吋，用到了描述误差分布的一些特征参量，因此 两者不是割裂的。不确定度的引入并不意味看误差需放弃使用。实际上，误差仍可用于定性的描述理

28、论和概 念的场合；不确定度则用于给出具体数值或进行定量运算分析的场合。二测量结果的表示完整的测量结果要包含待测量的近真值，又要包含测量结果的不确定度，还要反映出物理 量的单位。其标准表达形式:x = x± ux （单位）（2.2）式屮x为待测量，x是测量的近真值，ux是不确定度。这种表达形式反映了三个基本要 素：测量值、不确定度和单位。直接测量时若不需要对被测量进行系统误差的修正，般就取多次测量的算术平均值牙作 为近真值；若在实验中有时只需测一次或只能测一次，该次测量值就为被测量的近真值。间接测量中，x即为被测量的计算值。在测量结果的标准表达式中，给出了一个范围（一（7j（x 4-

29、ux）,它表示待测量的真 值以一定的概率出现在（元-ux）（元+ u j范围内。在上述的标准式屮，近真值、不确定度、单位三个要素缺不可，否则就不能全面表达测量结果。为了更直观的评定测量结果的准确度，也常采用相对不确定度的概念：相对不确定度几二 x100%（2.3）三、直接测量的结果及不确定度的评定1. 测量值兀不考虑系统误差时，测量值-般取等精度多次测量的平均值，即x = 若实验屮只能测 一次或只需测一次，测量值x就収单次测量值。如需考虑系统误差，还必须按下式将测量值进 行修正：（修正后）测量值兀=平均值元（或单次测量值）-系统误差例如，用螺旋测微器来测量长度时，还要从测量结果屮减去螺旋测微器

30、的零位误差。2. 不确定度的评定2.1多次直接测量的不确定度评定a类分量的评定：根据误差的统汁理论，由于多次测量的平均值比_次测量值更准确，随着测量次数的增 多，平均值收敛于期望值。因此 通常以算术平均值元作为被测量的近真值（即测量结果）， 以平均值的标准偏差q作为测量结果的a类不确定度，即n(n -1)y/7l(24)当测暈次数趋于无限时，s的统计意义为：待测物理量落在元-匕，元+匕区间的 概率为68.3%0在实际测量屮，-般心继行有限次数的测量，这时测量误差不完全月枫正态分布规律， 而是月纵称为t分布（又称为学生分布）的规律。在这种情况下，对测量误差的计算就要在贝 塞尔公式中乘-个因子。作

31、有限次数的等精度测量时，a类不确定度的表达式为：(2.5)式屮因子坞史是与测暈次数77、置信概率p有关的量，（7*.为标准偏差。当置信概率p=0.95时，墀戈的部分数据如下表:测量次数772345678910t pgj 麻&982.481.591.241.050.930.840.770.72当 5 < /? < 10 时,因子近似为1,这时有:uan i=1n i=(2.7)(2.6)即可也e标准偏差q作为测眸果的a类不确定度匕o在有的情况下，只需要粗略估计时，可采用算术平均差，即b类分量的评定：不确定度b类分量的确定比较复杂，它应考虑到影响测量正确度的 各种可能因素，这要

32、通过对测量过程的仔细分析，根据经验和有关信息来估计。有关信息包括 过去积累的测量数据，对测量对象与仪器性能的了網仪表的技术指标，仪器调整不垂直、不 水平或不对准等因素引入的附加误差，检定证书提供的数据以及技术手册查至啲参考数据的不 确定度等。般肾况下，物理实验中的b类标准不确定度主要考虑仪器的系统误差，对般有刻度的暈具和仪表，通常以最大允差4仪表示测量结果的不确定度的e类分量。对其它因素和置信因 子的影响，物理实验屮暂不考虑。因此有：(2.8)几种常用仪器的仪如下表:仪器名称仪仪器名称仪米尺0. 5/077陽天平0. 05 g游标k尺（20分度）0. 05/717/k%r（k为准确度或级别,r

33、柝徴游标卡尺（50分丿史0. o2/zw7电位差计k%v（k为准确度或级别,v为示傀千分尺0.005劝电阳箱k%r（k为准确度或级別,r为示備或30”（城小分度值）k% - m（k为准确度或级别,乂为量程）读数显微镜0. 005inn各类数羽义表仪器最小读数总不确定度的合成：由以上讨论，不确定度u.、= 壬"6 + 瓦当测量次数符合5 v 72 5 10时，上式可简化为(2.10)匕=&+勰粗略估计时，可采用算术平均差，即(2.11)这估计方法，与国际上工4k技术和漓务活动屮所推荐的置信概率z195,以及考虑实验 的实际应用性而采用高置信度的做法相一致，也是与我国有关技术规范

34、基本一致的比较简单、 合理的估算方法，且在实验屮用带有统计运算功能的计算器可方便地求得q o2.2单次直接测量的不确定度评定对于单次测量结果的不确定度，只能根据实验条件、测量方法、仪器误差等实际晴况，进 行合理估计。此时，ua = 0, ux - g ,简化的作法是采用仪器误差或取仪器最小刻度的 一半作为单次测量不确定度的b类分量对于数字式仪表耳爆小读数值作为t/。综上所述，对多次歸!i量的不确定度的评定，在大多数情况下，"a由标准偏差q或 算术平均差j表示，uti =a仪。(2.12)确so矍嫡果荡为x = x±ux (单位)ut/v =x1oo%(2.13)x四、间接测

35、量的结果及不确定度的评定在很多实验中，我们进行的测量都是i'可接测量。问接测量的结果是由直接测量结果根据- 定的数学式计算出来的。这样 来 直接测量结果的不确定度就必然影响到i'可接测量结果，这 种影响的大小可以由相应的数学式计算出來。设间接测量量为0,它有k个直接测量量，分别为x、y、z，其函数关系为：)(2.14)各直接测量的测量结果分别为:x = x±u x y = y±uy z = z±u.1. 测量值若将各个直接测量量的近真值元、齐壬代入函数表达式屮，即可得到间接测量量的近真 值：0 = /（兀冃兀）（2.16）2. 不确定度的评定由于不

36、确定度均为微小量，相似于数学中的微小增量，对函数式）求全 微分，即得d （p = dx dy dz （2.17）屮 dx dy ? dz式屮0,小,心,dz,均为微小量，代表各变暈的微小变化，#0的变化由各自变暈的变化 决定，埜匹匹，为函数对自变量的偏导数，记为1。由于不确定度都是微小的量，相 dx dy dzdak当于数学屮的"增量”，因此间接测量的不确定度的计算公式与数学屮的全微分公式基本相同。不同之处是：要用不确定度/、u,、uz替代微分力、dy. dz ,要考虑到不确定度合成的统计性质，般用“方和根”的方式合成。由此可得，间接测量的合成不确定度険u+炸）梓（签）讥8）k为直接

37、测量量的个数，a代表x,y,z,各个自变量（直接测量量）。当i'可接测量的函数表达式为积和瀚（或含和差的积商形式）的形式时，为了使运算简便起 见，可以先将函数式两边同时取自然对数，然后再求全微分。即包=+空也 dz +（2.19）（p oxdydz同样改写微分符号为不确定度符号 再求其“方和根”，即得间接测量的相对不确定度dydz(£)2/ +(£)2/ +(11)2/ + 0x九(2.20)己知相对不确定度”0和0,可以求出不确定度这样计算间接测量的统计不确定度时，特別对函数表达式很复杂的情况，尤其显示出它的 优越性°今后在计算问接测量的不确定度吋，对函

38、数表达式仅为“和差”形式，可以利用(2.18) 式，求出间接测量的不确定度匕;若函数表达式为积和漓(或积i商和差混合)等较为复杂的 形式，可采用(2.20)式，先求出相对不确定度匕,.，再用(2.21)式求出不确定度(2.22)在很多情况下，往往只需要粗略估计不确定度的大小，这时，可采用绝对值合成的方法, 即+dlnfuy+dlnfu.+0dx xdz'相对不确定度口财(2.23)埜u+莖u+埜udx xdz z不确定度匕对函数表达式仅为“和差”形式，可采用(2.22)式；对函数表达式为积和筒(或积商和 差混合)等较为复杂的形式，可采用(2.23)式。这种合成方法所得的结果般偏大，但由

39、于比较简单，可作为一种简化的处理方法。 歸间痢!1量的结为(2.24)(p =土 u申(单位)(2.25)不确定度只是在数量级上对测量结果的可靠稈度做出ft合当的评价，在物理实验中，通 讎勺定取t立&字，最多翻mm字。测量不确定度涉及至懈广的知识领域和误差理论问题，大大超出了本课程的教学范围；同 吋，有关它的概念、理论和应用规范还在不断地发展和完善。初匕只是结合我校物理实验教 学情况，对物理实验屮常用的概念和方法进行了介绍，更多的有关不确定度的知识，将在后续 各门实验课程中讨论和学习。五、不确定度评定应用举例例2用毫米度的米尺，测量物体长度“cm)十次，其测量值如卜表次数h123456

40、78910测量值4（cm）53.2753.2553.2353.2953.2453.2853.2653.2053.2453.21试通过汁算求出测量不确泄度，并写出测量结果。觸：（1）计算/的近真值八右(53.27 + 53.25 + 53.23 + + 53.21) = 53.24(cm)（2）计算a类不确泄度：由贝塞尔公式，得_ /（53.27 53.24尸 +（53.25 53.24）2 +（53.21-53.24正_ v=0.029（cm）（中间运算过程可多保留一位有效数字）（3）计算b类不确定度“ =仪=0.05（cm）（取最力该i度的一半为仪器误差）合成不确定度u, = 3 + 勰=v

41、0.0292 +0.052 = 0.06 伽）（保留-位有效数字）测量结果的标准式为/ = 53.24 ±0.06（cm）（近真值的末尾数与不确泄度的所在位数对齐）卿=s进彳十算：=(|53.27 一 53.24| +153.25 53.24| + +153.21- 53.24|) =0.023(cm)合成不确定度ut = j/ + 勰=vo.o232 +o.o52 = 0.06(咖测量结果的标准式为/ = 53.24 ±0.06(cm)例2.2.测量得金属环的内径° =2.880±0.004 (cm),夕卜径0 =3.600±0.004 (c

42、m),厚 度/?=2.575± 0.004 (cm)o试求环的体积讥解:环体积公式为v=/z(z)-d12)(1)环何啲近真助3.14164e护©研)x2.575x(3.6002 - 2.8802) = 9.436(cm3) 首先将环体积公式两边同吋取自然对数丿二再求全微分in v = ln() + ln/? + ln(d； -d,2)dvv0 +色+2d?dd22dddd； _ d；则相对不确定度輕2x3.600x0,004-2x2.880x0.0042.5753.6002-2.88023.6002-2.8802= 0.0081=0.81%(3)总不确定度为uv =v./

43、vr= 9.436x0.0081 = 0.08(cm3)(4) 环体积的测量结果为v = 9.44±0.08(cm3)=0.81%v的标准式中，v = 9.436(cm3)应与不确定度的位数对齐，因此将小数点后的第三位数6 按照数字修约原则进50百分位，故为9.44 (cm3)。例2. 3在室温23弋下测量声波在空气屮传播时的波长兄，实验装置的游标仪器课差 仪=0.002cm o计算声波波长及其不确定度。测量声波波长的数据表测量次数i入(cm)人-/i(xlo-4 cm)(-x)2(xl0_8cm2)10.68721010020.6854-86430.6840-2248440.688

44、01832450.6820-42176460.68801832470.6852-1010080.686863690.688018324100.687614196=0.686210工&-无=1661=110 2=3716i=l_1 io解： 波长平均值i = yz = 0.6862 cmiofr波长不确定度匕的b类不确定度 =仪=0.002加(1)利用标准偏差表示a类不确定度a的标准偏差工仏-无)23716x10"=0.0020 cm取j类分量匕= 0.0020cm,于是，波长的不确定度为5 = ju；+u； = a/0.00202 + 0.0022 = 0.003 cm 相対

45、不确定度为u 石=电=0.003 / 0.6862 = 0.44%a在室温下，声波在空气小传播时的波长a = (0.686 ± 0.003) cm, u石=0.44%(2)利用算术平均差如类不确定度算术平均差：103= /=,=0.0017 cm10取j类分量匕二5 = 0.0017期，于是，波长的不确泄度为5 = ju+u； = jo.oo 172+0.0022 = 0 003 cm相对不确定度为uar =号=0.003/0.6862 = 0.44%在室温下，声波在空气中传播时的波长2 = (0.686 ± 0.003) cm, u右=0.44%可见，把多次测量的算术平均

46、差§的值做为a类不确泄度是可以的，本课程中大多数实验 釆用算术平均差的分析和计算方法。例2.4由例2. 3所得结果，如果己测得声波频率为/ = (5.072 ±0.005)x1 hz, =0.1%试由v = a-f计算声波在空气i啲传播速度。解：由 果：a = (0.686 ±0.003) cm, uar = 0.44%声波在空气中的传播速度为v = 7.i = 0.686x102 x 5.072x104 = 347.94m/ s (0.003 2 | 严)2 v0.6862(5.072 丿根据不确定度合成公式可以得到y的相对不确定度=0.45%v的不确泄度uv

47、= v- uvr = 347.94 x 0.45% = 1.6 = 2m/s声波在空气屮的传播速度为v = (348±2) m/s, urv = 0.45%或者采用绝对值合成的方法求v的相对不确定度0.003 0.0050.6862 ?072=0.54%v的不确定度uv = v-uvr = 347.94x0.54% = 1.9-2m/s则声波在空气中的传播速度为v = (348±2) m/s, ”门,=0.54%可见，作为粗略的计算，间接测量的不确定度可采用绝对値合成的方法，本课程中大多数 实g慟此计算方法。第三节有效数字及其运算法则一、有赠字的舷任何一个物理量，其测量的结

48、果都有误差，那么一个物理量的数值就不应当无止境的写下 去，写多了没有实际意义，写少了又不能真实的表达物理量。因此，一个物理量的数值和数学 上的某一个数就有着不同的意义，这就引入了一个有效数字的概念。若用最小分度值为lmm 的米尺测量物体的长度，读数值为5.63cm。其中5和6这两个数字是从米尺的亥岐上准确读出 的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。末尾数字3是在米尺最小分度值的下一位上估计出來 的，是不准确的，叫做可疑数字。虽然是可疑，但不是无中生有，而是有意义的，显然有这一 位可疑数字，就使测量值更接近客观值，更能反映客观实际。因此测量值应当保留至i这一位 是合理的，即使估计数是0,也不能舍去

49、。测量结果应当而且也只能保留一位可疑数字，故测 量数据的有效数字定义为几位可靠数字加上一位可疑数字称为有效数字，有效数字数字的个数 叫做有效数字的位数，如卜述的5.63cm有三位有效数字。有效数字的位数与单位的变换无关。例如一物体的长度是2.050m,若以厘米为单位时是 205.0cm,以千米为单位时是0.002050 km,三种表示等效，都是四位有效数字。在数据记录屮, 用统一的科学表达方式应写为：2.050m = 2.050xl02cm = 2.050 xlo-3 km从有效数字的另一面也可以看出测呈用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测暈的，而l030m是用最小亥i

50、度为厘米的尺子测量的。因此止确掌握有效数字的概念对物理实验来说是分必要的。二、直接测量的有努嗷字记录物理实验屮通常仪器上显示的数字均为有效数字（包括最后一位估计读数），都应读出，并 记录下来。根据有效数字的规定对有效数字进行i垠时，直接测暈结果的有效位数的多少，取决于被 测物木身的大小和所使用的仪器精度，对同一个被测物，尚精度的仪器，测暈的有效位数多， 低精度的仪器，测暈的有效位数少。例如，长度约为3.7cm的物体，若用最小分度值为1mm的 米尺测暈，其数据为3.70cm ,若用螺旋测微器测童（最小分度值为0.01mm ），其测量值为 3.7000cm，显然螺旋测微器的精度较米尺高很多,所以测

51、量结果的位数也多。对一个实际测量值, 正确应用有效数字的规圈开馥，就可以从测虽值的有效数字看出测量仪器的精度。三、有效数字的运算法则在进行有效数字计算时，参加运算的分暈可能很多。各分暈数值的大小及有效数字的位数 也不相同，而且在运算过程屮，有效数字的位数会越乘越多，除不尽时有效数字的位数也无止 境。即便是使用计算器，也会遇到屮间数的取位问题以及如何更简洁的问题。测暈结果的有效 数字，只能允许保留一位可疑数字，直接测暈是如此，间接测量的计算结果也是如此。简化有 效数字的运算，约定下列规则：1. 力口法或减法运算478.2 + 3.462 = 481.662 = 481.7 49.27-3.4 =

52、 45.87 = 45.9大量计算表明，若干个数进行加法或减法运算，其和或差的结果的可疑数字的位置与参与 运算各个量屮的可疑数字的位置最高者相同。由此得出结论，儿个数进行加法或减法运算时， 可先将多余数修约，将应保留的可疑数字的位数多保留一位进行运算，最后结杲按保留一位可 疑数字进行取舍。这样可以减小繁杂的数字计算。推论（1）若干个直接测量值进行加法或减法计算时，选用精度相同的仪器最为合理。2. 剩去和降疑算834.5 x 23.9 = 19944.55 = 1.99xl04 2569.4 * 19.5 = 131.7641 =132由此得出结论：用有效数字进行乘法或除法运算时，乘衫或商的结果

53、的有效数字的位数与 参与运算的各个量中有效数字的位数最少者相同。推论(2)测量的若干个量，若是进行乘法除法运算，应按照有效位数相同的原则来选择不 同精度的仪器。3. 乘方和开方运算(7.325)2 = 53.66732 = 5.73由此可见，乘方和开方运算的有效数字的位数与其底数的有效数字的位数相同。4. 自然数1,2,3,4,不是测量而得，不存在可疑数字。因此可以视为无穷多位有效数字 的位数，书写也不必写出后面的0,如d=2r, d的位数仅由直测量r的位数决定。5. 无理常数兀vi,/，的位数也可以看成很多位有效数字。例如l=2”r ,若测量 值/? = 2.35xl0_1 (m)时，龙应取

54、为3.142。则l = 2x3.142 x2.35x102 = 1.48xl()i(m)有效数字的末尾为估读数字，存在不确定性，当规定不确定度的有效数字只取一位时，测 量结果最后一位应与不确定度所在的那-位对齐。如v=(32.560±0.008)cn?中，测量值末位应 于不确定度0.008的“8”对齐。例3.1 2.34cm=0.0234m是正确的，但变为2.34cin=2340gm是错误的，应记为2.34 x 10-4(nno例3.2某人测得真空屮的光速为29970()km/s,不确定度计算结果为300km/s,若记为(299700 ±300)km/s 是不正确的，应写为

55、(2.997± 0.003)x 10小 km/so6. 有效数字的修约。根据有效数字的运算规则，为使计算简化，在不彫响最后结果应保留 有效数字的位数(或可疑数字的位置)的前提下，可以在运算前、后对数据进行修约，其修约 原则是“4舍6入，5前凑偶”。即尾数为5时，5前面为奇数则入，5前面为偶数就舍。第四节实验妳常用处理方法物理实验屮测量得至啲许多数据需要处理后才能表示测量的最终结果。用简明而严格的 方法把实验数据所代表的事物内在规律性提炼出来就是数据处理。数据处理是指从获得数据起 至u得11!结果为止的加工过程。数据处理包括记录、整理、计算、分析、拟合等多种处理方法， 本节主要介绍列表

56、法、作图法、图解法、逐差法、最小二乘法。一、列表法列表法是己录数据的基本方法。欲使实验结果一目了然，避免混乱，避免丢失数据，便于 查对，列表法是记录的最好方法。将数据屮的自变量、因变量的各个数值对应排列出来， 要简单明了地表示出有关物理量之间的关系 检查测量结果是否合理，及时发现问懸 有助于 找出有关量之间的联系和建立经验公式，这就是列表法的优点。设计记录表格要求：1. 列表要简单明了，利于记录、运算处理数据和检查处理结果，便于一目了然地看出有关 量之间的关系。2. 列表要标明符号所代表的物理量的意义。表中各栏中的物理量都要用符号标明，并写出 数据所代农物理量的单位及量值的数量级要交代清楚。单位写在符号标题栏，不要重复记在