《线性代数》的可视化教学研究

1、    线性代数的“可视化”教学研究    陈芬饶玖【摘要】线性代数是高等院校理工科以及经济管理等文科大学生的必修基础课，针对独立院校学生的特点和培养的目标和， 通过教学案例， 利用matlab软件的绘图功能实现线性代数的概念、定理、应用的“可视化”，完成将数学知识由抽象到直观的转化这一过程。调动学生对线性代数课程的学习兴趣，以促进应用型人才的培养。【关键词】线性代数 可视化 matlab【基金项目】武汉学院教研项目（jy201514）。o151.2-4；g642 a 2095-3089（2016）03-0064-02线性代数课程是独立院校理工科以及经济

2、管理类等文科大学生的必修基础课， 具有抽象、严密、逻辑性强的特点。当前的线性代数课程教学内容存在概念多而抽象、直观信息少、理论多应用少等问题， 而独立院校学生形象思维发达， 抽象能力弱， 逻辑推理能力不强， 导致学生内心对这门课程比较排斥， 学习兴趣不高。事实上，独立院校主要培养应用型人才， 线性代数学科内容在数学建模中有大量应用。因此， 研究线性代数课程的“可视化”教学具有十分重要的意义。所谓“可视化”就是化抽象为直观， 打破传统教学四步曲概念， 定理， 证明， 习题的框框， 通过跨学科的案例教学， 将线性代数的知识立体生动的展现在学生面前。这样不仅可以充分调动学生的兴趣， 而且可以开放学生

3、的灵活性、想象力和创造性， 挖掘学生的潜力， 提高学生的数学素养， 达到培养应用型人才的目标1. 线性代数课程教学的“可视化”研究主要包含三个方面， 即概念可视化， 定理可视化， 应用可视化。本文主要就三个方面阐述如何选取教学案例，如何利用matlab软件实现线性代数概念、定理以及应用“可视化”。1.概念可视化matlab是一种高效率的用于科学工程计算的高级语言， 最开始是作为矩阵实验室（matrix laboratory）提供使用linpack和eispack矩阵软件包接口的， 后来逐渐发展成为用于科学计算、图示交互系统的程序设计语言。matlab不仅在数值计算上具有很强的优势， 而且在数据

4、可视化方面的功能也很强大， 它可以给出数据的二维、三维甚至四维的图形表现。通过对图像立面、色彩、渲染、光线及视角等的控制，可以把数据的特征表现得淋漓尽致。线性代数的特点之一是定义多，概念多。传统教学方法就是直接给出定义，没有相关背景说明。这种与外部世界隔离的封闭式教学，不利于学生了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉，不利于学生运用数学工具解决实际问题。下面展示matlab软件在线性代数中部分概念的“可视化”实现方面的教学案例。在传统的教学模式里，对角矩阵， 上（下）三角形矩阵等特殊矩阵总是在给出矩阵定义后直接列举出。虽然这些定义不难接受，但介绍过程实在乏味。学生往往有这样的疑问“为什么要定义这

5、么多的特殊矩阵？”“这些矩阵有什么作用？”。其实在这部分知识的教学中，可以将矩阵和数字图像处理联系起来， 为这些特殊矩阵添加一个具体背景2，这样不仅可以消除学生的疑问，还可以拓宽学生的知识面。在图像处理中数字图像可以用m行n列矩阵表示，元素aij表示图像在该点的灰度值。所以单位矩阵用图像表示出来就是图1（a）的效果。很多学生常将上三角形矩阵和下三角形矩阵定义混淆， 但如果借助数字图像知识解释三角矩阵就直观很多， 也不易混淆。图像信息集中在主对角线上方的就是上三角形矩阵（如图1（b）， 图像信息集中在主对角线下方的就是下三角形矩阵（如图1（c）。“上”“下”强调的是矩阵信息所在的位置。数字图像除

6、了能很好的解释矩阵的定义，还可以演示矩阵的运算。如矩阵加法用图像表现出来就是两幅图像叠加（如图2）， 矩阵数乘用图像表现出来的就是调节图像明暗（如图3），这样形象生动的实例教学， 不仅可以调动学生学习的积极性，还可以让学生对所学的知识印象深刻。2.定理可视化线性代数的另一个特点是定理多，证明多。有的证明非常复杂，对于独立学院的学生来讲，完全搞懂定理的证明不是一件容易的事情。独立学院培养的是应用型人才，能够运用数学的能力去解决实际问题。因此，独立院校学生不一定要弄懂定理严格的证明。大多数的线性代数教材在叙述向量组的线性相关性时， 一般都是从定理到定理、从证明到证明， 这样既让学生难以理解，也不利

7、于知识的吸收。其实，如果在授课过程中增一些生活中的简单案例，可以让学生更容易理解定理的内容。并且还可以拓宽学生的思路， 培养学生的创新能力，加强学生对数学知识应用的能力。下面，我们用向量组的线性相性的定理说演示定理的可视化。定理 设向量组a1，a2，at线性无关，它能由向量组1，2，r线性表示，则这个定理的表述中含有2个字母，证明较为复杂，很多学生对这个定理的结论记不住。如果教师在上课的时候给这个定理加一个好理解的背景，比如“抄作业”。假设某班作业有5个相互独立的原始版本， 组成一个向量组（a），（a）中的向量是线性无关的，其秩为5。抄作业的同学组成一个向量组（b），若只有一个同学抄作业， （

8、假设一对一抄， 且抄的作业与原始版本一模一样， 即线性相关）请问向量组a可以有向量组b线性表出吗？显然不行，因为（a）中还有4个版本的作业没有被抄到。只有当抄作业的学生人数超过5人时， 且秩为7（即保证抄了原始的5个版本）， 这时向量组（a）才能由向量组（b）线性表出。有了这样的背景， 相信即使这个定理换一种说法， 换其它字母表示，学生还是能正确判断出向量个数的多少的。3.应用可视化线性代数知识主要应用于数学建模中。在建模过程中，让学生充分理解课本知识，体会建模思想，学会将理论应用到实际中，从而达到培养学生的创造性思维、意识和能力的目的。在大数据时代和信息共享的今天，不管是国内外的教材，还是在

9、互联网上，都有很多涉及到到工程技术，经济管理，社会科学的线性代数的例子。我们用文献（3）中的例子来说明应用的可视化。例3发展与环境问题已经成为21世纪各国政府关注的重点，为了定量分析污染水平与工业发展水平的关系，有人提出了一下工业增长模型：设x0是某地区目前的污染水平，y0是目前的工业发展水平；若干年后的污染水平和工业发展水平分别为x1和y1，它们之间的关系为x1=3x0+y0，y1=2x0+2y0，即或a1=aa0，其中a1=x1y1，a0=x0y0，a=3 12 2.若当前的污染水平与工业发展水平为a0=（x0，y0）t=（1，1）t， 则若干年后的污染水平和工业发展水平为a1=x1y1=

10、3 12 211=44=411=4a0，上式表明， 矩阵a乘以向量a0所得的向量a1恰是a0的4倍。这里4和向量a1分别是矩阵a的特征值和特征向量。4.结束语线性代数是一门应用非常广泛的学科。随着计算机科学的发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决，而作为处理离散问题的线性代数， 成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。传统的手工计算，只能解决一些低阶、变量较少的问题，而在实际中出现的大量的线性问题，都是高阶的和有很多变量的问题。由此可见，线性代数求解与计算机密不可分，使用matlab语言辅助线性代数的教学，今年来已成为较为流行的教学模式4，5。现代化数学教学应充分利用matlab、maple等多媒体工具。理论与实际相结合，传输学生具体知识的同时，培养学生建立数学模型，利用计算机的能力。数学不是抽象的代名词，数学是可以被看见的。参考文献：1王正盛.中外线性代数教材的比较与探讨j.大学数学， 2009，25（1）：200-203.2冈萨