合肥工业大学电磁场与电磁波孙玉发版答案（精编版）

1、第四章习题解答【4.1】如题 4.1 图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0u，求槽内的电位函数。解 根据题意，电位( , )x y满足的边界条件为(0,)( , )0ya y；( ,0)0 x；0( , )x bu根据条件和，电位( , )x y的通解应取为1( , )sinh()sin()nnnyn xx yaaa由条件，有两边同乘以sin()n xa，并从 0 到a对x积分，得到002sin()dsinh()anun xaxan b aa故得到槽内的电位分布01,3,5,41( , )sinh()sin()sinh()n

2、un yn xx ynn b aaal4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由dy到by)(x。上板和薄片保持电位0u， 下板保持零电位， 求板间电位的解。 设在薄片平面上， 从0y到dy， 电位线性变化，0(0,)yu y d。解应用叠加原理，设板间的电位为其中，1( ,)x y为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0u）的电位，即10( ,)x yu y b；2( , )x y是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位， 其边界条件为：22( ,0)( , )0 xx b2( , )0 ()x yx002100(0)(0,)(0,)(0,)()uuyydbyy

3、yuuyydybdb；根 据 条 件 和 ， 可 设2( , )x y的 通 解 为21( , )sin()enxbnnn yx yab；由条件有00100(0)sin()()nnuuyydnybauubyydybdb两边同乘以sin()n yb，并从 0 到b对y积分，得到故得到( ,)x y0022121sin()sin()enxbnubun dn yybdnbb4.4 如题 4.4 图所示的导体槽，底面保持电位0u，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。解 根据题意，电位( , )x y满足的边界条件为(0,)( , )0ya y( , )0 ()x yy0( ,0)xu，电位( , )x

4、 y的通解应取为根 据 条 件 和题 4.1y oxy boxy dxy 题 4.2 图题 4.4 图1( , )sin()nnny an xx ya ea；由条件，有01sin()nnn xuaa两边同乘以sin()n xa，并从 0 到a对x积分，得到002sin()danun xaxaa02(1cos)unn04,1,3,5,02, 4, 6,unnnll，；故得到01,3,5,41( , )sin()n y anun xx yenal【 4.5】一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为()sin()sin()xzy ybac的电荷。求体积内的电位。解在体积内

5、，电位满足泊松方程22222201()sin()sin()xzy ybxyzac（1）长方体表面s上，电位满足边界条件0s。由此设电位的通解为11101( , , )sin()sin()sin()mnpmnpm xn yp zx y zaabc，代入泊松方程（1） ，可得由此可得0mnpa(1m或1)p；2221 11()()() sin()npnn yaabcb()y yb（2）由式（ 2） ，得2221 102()()() ()sin()dbnnn yay ybyabcbb34() (cos1)bnb n2381,3,5,()02,4,6,bnnnll； 故2532221,3,5,081(

6、 ,)sin()sin()sin()11()()( ) nbxnyzx y znabcnabcl【 4.6】如题 4.6 图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷lq，其位置为),0(d。求板间的电位函数。解由于在(0,)d处有一与z轴平行的线电荷lq，以0 x为界将场空间分割为0 x和0 x两个区域，则这两个区域中的电位1( , )x y和2( , )x y都 满 足 拉 普 拉 斯 方 程 。 而 在0 x的 分 界 面 上 ， 可 利 用函 数 将 线 电 荷lq表 示 成 电 荷 面 密 度0( )()lyqyy。电位的边界条件为11( ,0)( , )0 xx a

7、=，22( ,0)( , )0 xx a=1( ,)0 x y()x，2( ,)0 x y()x12(0,)(0,)yy，2100()()lxqydxx由条件和，可设电位函数的通解为由条件，有1sin()nnn yaa1sin()nnn yba（1）1sin()nnnn yaaa1sin()nnnn ybaa0()lqyd（2）由式（ 1） ，可得nnab（3） ；将式（ 2）两边同乘以sin()m ya，并从0到a对y积分，有题 4.6 图nnab002()sin()dalqn yydyna02sin()lqn dna（4）由式（ 3）和（ 4）解得故1101( , )sin()sin()l

8、nn x aqn dn yx yenaa(0)x4.7如题 4.7 图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷lq。求槽内的电位函数。解由 于 在),(00yx处 有 一 与z轴 平 行 的 线 电 荷lq， 以0 xx为 界 将 场 空 间 分 割 为00 xx和0 xxa两个区域，则这两个区域中的电位1( , )x y和2( , )x y都满足拉普拉斯方程。而在0 xx的分界面上， 可利用函数将线电荷lq表示成电荷面密度0( )()lyqyy，电位的边界条件为1(0,) 0y =，2( , )0a y，11( ,0)( , )0 xx b=，22( ,0)( , )0 xx b

9、=1020(,)(, )xyxy02100()()lxxqyyxx由条件和，可设电位函数的通解为由条件，有0011sin()sinh()sin()sinh()nnnnn xnyn ynabaxbbbb（1）01sin()cosh()nnn xnnyabbb01sin()cosh()nnnn ynbaxbbb)(00yyql（2）由式（ 1） ，可得00sinh()sinh()0nnn xnabaxbb（3）将式（ 2）两边同乘以sin()myb，并从0到b对y积分，有)(cosh)cosh(00 xabnbbxnann0002()sin()dblqnyyyynb002sin()lqnynb（4

10、）由式（ 3）和（ 4）解得故101021( , )sinh()sinh()lnqnx yaxnn a bb0sin()sinh()sin()nynxnybbb，)0(0 xx021021( , )sinh()sinh()lnqn xx ynn a bb0sin()sinh()sin()nynnyaxbbb，)(0axx若以0yy为界将场空间分割为00yy和0yyb两个区域，则可类似地得到*4.8如题 4.8 图所示，在均匀电场00 xeee中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a。求导体圆柱外的电位和电场e以及导体表面的感应电荷密度。解在外电场0e作用下，导体表面产生感应电荷，

11、圆柱外的电位是外电场0e的电位0与感应电荷的电位in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为000( , )cosre xce rc（常数c的值由参考点确定），而感应电荷的电位( , )inr应与0( , )r一样按cos变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，所以( , )r满足的边界条件为( , )ac0( , )cos()re rcr由此可设101( , )coscosre ra rc由条件，有101coscose aa accb 题 4.7 图于是得到021eaa，故圆柱外的电位为210( , )()cosrra rec若选择导体圆柱表面

12、为电位参考点，即( , )0a，则0c。导体圆柱外的电场则为导体圆柱表面的电荷面密度为000( , )2cosrarer*4.11如题 4.11 图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为，在距离轴线)(00arr处，有一与圆柱平行的线电荷lq，计算空间各部分的电位。解在线电荷lq作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位( , )r均为线电荷lq的电位( , )lr与极化电荷的电位( , )pr的叠加，即( , )( , )( , )lprrr。线电荷lq的电位为220000( ,)lnln2cos22lllqqrrrrrr（1）而极化电荷的电位( , )pr满足拉普拉斯方程，且是的偶

13、函数。介质圆柱内外的电位1( , )r和2( , )r满足的边界条件为分别为1(0, )为有限值；2( , )( , ) ()lrrrar时，12120,rr由条件和可知，1( , )r和2( , )r的通解为11( , )( , )cosnlnnrra rn(0)ra（2）21( , )( , )cosnlnnrrb rn()ar（3）将式（ 1）（ 3）带入条件，可得到11coscosnnnnnna anb an（4）110010ln()cos()2nnlnnranqra nabnanr（5）当0rr时，将rln展开为级数，有0101lnln() cosnnrrrnn r（6）带入式（ 5

14、） ，得11100110 00()()cos()cos2nnnlnnnnqaa nabnannrr（7）由式（ 4）和（ 7） ，有nnnnabaa由此解得0000()12()lnnqanr，20000()2()nlnnqabnr； 故得到圆柱内、外的电位分别为221000( , )ln2cos2lqrrrrr01000()1() cos2()nlnqrnn r（8）222000( , )ln2cos2lqrrrrr201000()1() cos2()nlnqann r r（9）讨论：利用式（6） ，可将式（ 8）和（ 9）中得第二项分别写成为其中222200()2 ()cosrrarr ar

15、。因此可将1( , )r和2( , )r分别写成为题 4.11 图题 4.14 图由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（,0r0）的线电荷002lq的电位相同，而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（,0r0）的线电荷lq；位于)0 ,(02ra的线电荷00lq；位于0r的线电荷00lq。*4.13在均匀外电场00zeee中放入半径为a的导体球，设（ 1）导体充电至0u； （2）导体上充有电荷q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。解（1）这里导体充电至0u应理解为未加外电场0e时导体球相对于无限远处的电位为0u，此时导体球面上的电荷密度00ua，总电荷004qau。将导

16、体球放入均匀外电场0e中后，在0e的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。设0( ,)( , )( , )inrrr，其中000( , )cosre ze r，是均匀外电场0e的电位，( ,)inr是导体球上的电荷产生的电位。电位( ,)r满足的边界条件为r时，0( , )cosre r；ar时，0( , )ac，0dssqr?其中0c为常数，若适当选择( , )r的参考点，可使00uc。由条件，可设210111( ,)coscosre ra rb rc代入条件，可得到031eaa，01aub，001ucc若使00uc，可得到321000(

17、,)coscosre ra e rau r（2）导体上充电荷q时，令004qau，有004qua利用（ 1）的结果，得到32000( , )coscos4qre ra e rr4.14如题 4.14 图所示，无限大的介质中外加均匀电场00zeee，在介质中有一个半径为a的球形空腔。求空腔内、外的电场e和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为） 。解在电场0e的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场e为外加电场0e与极化电荷的电场pe的叠加。设空腔内、外的电位分别为1( , )r和2( , )r，则边界条件为r时，20( , )cosre r；0r时，1( ,)r为有限值

18、；ar时，12( , )( , )aa，120rr由条件和，可设101( , )coscosre ra r，2202( , )coscosre ra r带入条件，有221aaaa，30001022eaea a由此解得01002ae，302002aa e所以1003( , )cos2re r空腔内、外的电场为11003( , )2ree，22( ,)re30000()() 2cossin2reareee空腔表面的极化电荷面密度为4.17 一个半径为r的介质球带有均匀极化强度p。题4.17 图（1）证明：球内的电场是均匀的，等于0p；（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子p产生的电场相同，3

19、43r。解 （1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。建立如题 4.17 图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为介 质 球 内 、 外 的 电 位1和2满 足 的 边 界 条 件 为 1(0,)为 有 限 值 ； 2( , )0 ()rr；12( ,)( , )rr；120()cosrrprr因此，可设球内、外电位的通解为11( , )cosra r，122( ,)cosbrr由条件，有112barr，10132()

20、bapr解得103pa，3103prb于是得到球内的电位100( , )cos33pprrz， 故球内的电场为110033zppee（2）介质球外的电位为332220014( ,)coscos343prr prrr20cos4pr，其中343r为介质球的体积。故介质球外的电场为22221( , )rrrrreee30(2cossin)4rpree可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子p产生的电场相同。4.20 一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为q，如题 4.20 图所示。证明：空间任意点电位为解以细导线圆环所在的球面ar把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用函数将细导线圆环上的线电荷q表示成球面ar上 的 电荷面密度22(coscos)(cos )222qqaa再根据边界条件确定系数。外的电位分别为1(