空间向量知识点归纳(期末复习)（精编版）

1、6知识要点 :空间向量期末复习1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（ 2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。oboaabab ; baoaobab ; opa(r)运算律：加法交换律：abba加法结合律：数乘分配律：3. 共线向量。(ab )ca(bc) (ab )ab（ 1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于 b ，记作a

2、/ b 。当我们说向量a 、 b 共线（或 a / b ）时，表示a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（ 2）共线向量定理： 空间任意两个向量a 、b（ b 0 ），a / b 存在实数，使 a b 。4. 共面向量（ 1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（ 2）共面向量定理：如果两个向量x, y 使 pxayb 。a, b 不共线， p 与向量a,b 共面的条件是存在实数5. 空间向量基本定理：如果三个向量a, b, c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x, y, z，使 pxaybz

3、c 。若三向量a,b,c不共面，我们把 a, b, c叫做空间的一个基底，a,b , c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设o, a, b,c 是不共面的四点，则对空间任一点p ，都存在唯一的三个有序实数x, y, z，使 opxoayobzoc 。6. 空间向量的数量积。（ 1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a, b ，在空间任取一点o ，作oaa, obb ，则aob叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a,b；且规定 0a,b，显然有a,bb, a；若a, b，则称 a 与 b 互相垂直，记作：ab 。2（ 2）向量的模： 设oaa ，则有向线段

4、oa 的长度叫做向量a 的长度或模， 记作：| a |。（ 3）向量的数量积：已知向量a, b ，则 | a | | b| cosa,b叫做a, b 的数量积，记作 a b ，即 ab| a| | b | cosa,b。（ 4）空间向量数量积的性质： a e| a | cosa,e。abab0 。 | a |2aa 。（ 5）空间向量数量积运算律： (a ) b(ab)a(b ) 。 a bba （交换律）。 a (bc)a bac （分配律）。7. 空间向量的坐标运算： (1).向量的直角坐标运算设 a (a1 ,a2 , a3 ) ， b (b1 , b2 , b3 ) 则(1)a b (

5、a1b1, a2b2 , a3b3 ) ；(2)a b ( a1b1 , a2b2 , a3b3 ) ；(3) a (a1,a2 ,a3 )( r)；(4)a · b a1b1a2b2a3b3 ；(2).设 a(x1, y1 , z1)， b(x2 ,y2 , z2 ) ，则 aboboa =( x2x1 , y2y1 , z2z1 ) .(3).设 a(x1, y1, z1) ， b( x2 , y2 , z2 ) ，则1yz11| a |2aa = x 222abab(b0) ；abab0x1 x2y1 y2z1z20 .(4).夹角公式设 a (a1, a2 ,a3)， b (

6、b1,b2,b3)，则 cosa, ba1b1a2a2a2b2 a2b2a3b3.b2b2(5) 异面直线所成角123123cos| cosa, b|=| a b | a | | b | x1x2y1 y2x 2y 2z 2z1 z2 |.x 2y 2z 2(6). 直线和平面所成的角的求法111222如图所示，设直线l 的方向向量为e，平面 的法向量为n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量e 与 n 的夹角为，则有 sin |cos | |n ·e|.|n|e|(7).二面角的求法(1) 如图， ab，cd 是二面角-l - 的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小 ab

7、， cd (2) 如图， n1， n2 分别是二面角-l -的两个半平面， 的法向量，则二面角的大小 n1 ，n2或 n 1， n 2n1n2cos练习题：cosn1, n2n1 n21已知 a ( 3,2,5) ，b (1， x， 1) 且 a·b 2，则 x 的值是 ()a 3b 4c 5d 622已知 a (2,4,5) ， b (3， x， y)，若 ab，则 () a x 6， y 15b x 3， y1515cx 3， y 15d x 6， y 2ab3已知空间三点a(0,2,3) ，b( 2,1,6) ，c(1， 1,5)若|a|3，且 a 分别与直，则向量a 为()a

8、 (1,1,1)b( 1， 1， 1) c(1,1,1) 或( 1， 1， 1) d (1， 1,1)或( 1,1， 1)4若 a (2， 3,5)， b ( 3,1， 4)，则 |a 2b| .5. 如图所示， ，ac垂已知正四面体abcd 中， ae 1ab， cf 1，则直线de 和 bf 所成角的余弦值为4cd 4 4.258解析 a 2b (8， 5,13) ， |a 2b|82 5 2 132258.45.13解析因四面体abcd 是正四面体， 顶点 a 在底面 bcd 内的射影为bcd 的垂心， 所以有 bc da， ab cd .设正四面体的棱长为4，则bf bc cf ae&

9、#183;de() ·(da) 0 0bc·aecf·da 4× 1× cos 120 ° 1×4× cos 120 ° 4，bf de 42 12 2× 4× 1×cos 60 °13，所以异面直线de 与 bf 的夹角 的余弦值为：4cos 13.6. 如图所示，在平行六面体abcd -a1b1c1d1 中，设aa1a， ab b， ad c，m，n，p 分别是 aa1， bc， c1d 1 的中点，试用a， b， c 表示以下各向量：(1) ap ；(2) a

10、1 n ；(3) mp nc1 .解： (1) p 是 c1d1 的中点， ap aa1 a1d1 d1p a ad 1 d c21 1 a c 1 ab2 a c 1b.2(2) n 是 bc 的中点， a1 n a1 a ab bn a b 2 bc1 a b 1 ad a b 1 .22c(3) m 是 aa1 的中点， mp ma ap 1 a a ap21 1 2a111a c b b c，222a又 nc1 nc cc1 2 bc aa11 1 ad aa 1 a，212c mp nc 1 112a 2b c a 2c1 312a b c.3227.已知直三棱柱abc-a1b1c1

11、 中， abc 为等腰直角三角形， bac90°，且 abaa 1，d， e， f 分别为 b1a， c1c， bc 的中点(1)求证： de 平面 abc； (2)求证： b1f平面 aef.证明： 以 a 为原点， ab， ac，aa1 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz，令 ab aa1 4，则 a(0,0,0) ， e(0,4,2) ，f (2,2,0) ， b1(4,0,4) ， d(2,0,2) ， a1(0,0,4) ，(1) de ( 2,4,0)，平面 abc 的法向量为aa1 (0,0,4) ， de ·aa1

12、0， de ?平面 abc， de平面 abc.(2) b1f ( 2,2， 4)， ef (2， 2， 2)，b1 f ·ef ( 2)×2 2× ( 2) ( 4)× (2) 0， b1 f ef ， b1f ef，b1 f ·af ( 2)× 2 2× 2 ( 4)× 00， b1 f af ， b1faf . af ef f， b1f平面 aef.8. 如图所示，在四棱锥 p-abcd 中， pc平面 abcd ，pc 2，在四边形 abcd 中， b c 90°， ab 4，cd 1，点 m 在

13、 pb 上， pb 4pm， pb 与平面 abcd 成 30°的角求证：(1) cm 平面 pad；(2) 平面 pab平面pad .证明： 以 c 为坐标原点， cb 为 x 轴， cd 为 y 轴， cp 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 c-xyz. pc平面 abcd ， pbc 为 pb 与平面 abcd 所成的角， pbc 30°， pc 2， bc 23， pb 4， d(0,1,0) ， b(23， 0,0)，a(23， 4,0)， p(0,0,2) ，m3， 0， 3 ，22 dp (0， 1,2)， da (23， 3,0)，cm 3， 0，3

14、.22(1)设 n (x， y，z)为平面 pad 的一个法向量， y 2z 0，由dp ·n 0，da ·n 0，即23x3y 0，令 y 2，得 n (3，2,1) n·cm 33× 2 2× 0 1×320， n cm .又 cm ?平面 pad， cm平面 pad.(2)如图，取ap 的中点 e，连接 be，则 e(3， 2,1)， be (3， 2,1) pb ab， be pa.又 be ·da (3， 2,1) ·(23， 3,0) 0， be da . be da.又 pa da a， be平面 p

15、ad.又 be? 平面 pab，平面 pab平面 pad.9. 如图，在正方体abcd -a1b1c1d1 中， e 为 ab 的中点(1) 求直线 ad 和直线 b1c 所成角的大小；(2) 求证：平面eb1 d平面 b1cd .解： 不妨设正方体的棱长为2 个单位长度，以da， dc ，dd 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系d -xyz.根据已知得：d(0,0,0) ， a(2,0,0) ，b(2,2,0) ， c(0,2,0) ， b1(2,2,2) da ·cb1 2(1) da (2,0,0) ， cb1 (2,0,2) ， cos d

16、a ， cb1| da.|cb1 |2直线 ad 和直线 b1c 所成角为. 4(2)证明：取b1d 的中点 f，得 f(1,1,1) ，连接 ef. e 为 ab 的中点， e(2,1,0) ， ef ( 1,0,1)， dc (0,2,0) ， ef ·dc 0， ef ·cb1 0， ef dc ，ef cb1. dc cb 1 c， ef平面 b1cd .又 ef? 平面 eb1 d，平面eb1d 平面 b1cd .10 如图，直角梯形abcd 与等腰直角三角形abe 所在的平面互相垂直 ab cd ， ab bc， ab 2cd 2bc， ea eb.(1) 求证

17、： ab de；(2) 求直线 ec 与平面 abe 所成角的正弦值；ea(3) 线段 ea 上是否存在点f，使 ec平面 fbd ？若存在，求出ef；若不存在，请说明理由解： (1)证明：取ab 的中点 o，连接 eo， do.因为 eb ea，所以 eo ab. 因为四边形abcd 为直角梯形 ab 2cd 2bc ，abbc ，所以四边形obcd 为正方形，所以ab od .因为 eo do o，所以 ab 平面 eod ，所以 ab ed.(2)因为平面abe平面 abcd ，且 eo ab， 所以 eo 平面 abcd ，所以 eo od .由 ob，od ，oe 两两垂直， 建立如

18、图所示的空间直角坐标系o-xyz.7因为三角形eab 为等腰直角三角形， 所以 oa ob odoe ，设 ob 1，所以 o(0,0,0) ， a(1,0,0) ， b(1,0,0)， c(1,1,0) ， d(0,1,0)， e(0,0,1) 所以 ec (1,1， 1) ，平面 abe 的一个法向量为od (0,1,0) 设直线 ec 与平面 abe 所成的角为，3| ec ·od |所以 sin |cos ec ， od |，| ec | od3|.即直线 ec 与平面 abe 所成角的正弦值为3311.(12 分)如图，在底面是矩形的四棱锥p abcd 中， pa平面 ab

19、cd ， pa ab2，bc 4，e 是 pd 的中点(1)求证：平面pdc 平面 pad； (2)求点 b 到平面 pcd 的距离21.(1) 证明如图，以a 为原点， ad、ab、ap 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知a(0,0,0) ，b(0,2,0) ，c(4,2,0) ， d(4,0,0) ， p(0,0,2) pd (4,0， 2)， cd (0 ， 2,0)，pa (0,0， 2)设平面 pdc 的一个法向量为n (x， y,1)，12 2y 0则?4x 2 01y 0x1， 2所以平面 pcd 的一个法向量为， 0， 1 . 2 pa平

20、面 abcd ， pa ab，又 ab ad ，paad a， ab平面 pad.平面 pad 的法向量为 n·ab0， nab.ab (0,2,0) 平面 pdc 平面 pad.(2) 解由(1) 知平面 pcd 的一个单位法向量为n 5， 0，25 .|n|5554， 0， 0 · 5 ，0， 25545， 5点 b 到平面 pcd 的距离为 45.512. 如图所示，在多面体abcd -a1 b1 c1d 1 中，上、下两个底面a1b1c1d1 和 abcd 互相平行，且都是正方形，dd 1底面 abcd ， ab 2a1b1 2dd 1 2a.(1) 求异面直线ab

21、1 与 dd 1 所成角的余弦值；(2) 已知 f 是 ad 的中点，求证：fb 1平面 bcc 1b1；(3) 在(2) 的条件下，求二面角f-cc 1-b 的余弦值解： 以 d 为坐标原点，分别以da ，dc ， dd 1 所在直线为x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz，则 a(2 a， 0,0)， b(2a,2a,0)， c(0,2a,0)， d 1(0,0， a)， f(a,0,0)， b1( a，a， a)， c1(0， a， a)(1) ab1 ( a， a，a)， dd 1 (0,0， a)，ab1 ·dd1 3 |cosab1 ， dd 1

22、 |，11| ab | ·| dd| 33异面直线ab1 与 dd 1 所成角的余弦值为3.(2)证明：bb1 (a， a，a)， bc ( 2a,0,0)， fb1 (0， a， a)，fb1fb1·bb1 0，·bc 0， fb1 bb1， fb 1 bc. bb1 bc b， fb 1平面 bcc1b1 .(3)由(2) 知， fb1 为平面 bcc1b1 的一个法向量设 n(x1， y1， z1)为平面 fcc 1 的法向量， cc1 (0， a，a)， fc ( a,2a,0) ，n ·cc1 0，n ·fc 0， ay1 az1 0

23、，得 ax1 2ay1 0.令 y1 1，则 n (2,1,1) ，fb1 ·n 3 cosfb1，n，1|n | fb | ·3二面角 f-cc1-b 为锐角，3二面角 f-cc1-b 的余弦值为 3.13. 如图， 四棱柱 abcd -a1b1c1d 1 中， 侧棱 a1a底面abcd ，ab dc ， ab ad ， ad cd 1， aa1 ab 2， e 为棱aa1 的中点(1) 证明： b1c1 ce;(2) 求二面角 b1-ce -c1 的正弦值(3) 设点 m 在线段c1 e 上，且直线 am 与平面 add 1a1 所成角的正弦值为am 的长解：法一 ：如

24、图，以点a 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 a(0,0,0) ，b(0,0,2) ， c(1,0,1) ， b1(0,2,2) ， c1(1,2,1)， e(0,1,0) 26 ，求线段(1) 证明：易得b1c1 (1,0， 1)， ce ( 1,1， 1)，于是b1c1 ·ce 0，所以 b1c1 ce.(2)b1c (1， 2， 1)设平面 b1ce 的法向量m (x，y， z)，m·b1c1 0，则m·ce 0，x 2y z 0，即 xy z 0.消去 x，得 y 2z0，不妨令z 1，可得一个法向量为 m ( 3， 2,1)由(1)知， b1c1 ce，又 cc 1b1c1，可得 b1c1平面 cec 1，故面 cec 1 的一个法向量b1c1 (1,0， 1)为平m·b1c111 |于是 cosm， b1c1 |m| |·b c 27 4，14×27从而 sin m，b c21.1177所以二面角b1-ce-c1 的正弦值为21.(3) ae (0,1,0) ， ec1 (1,1,1) 设 em ec1 ( ， ，)，0 1，有 am ae em (， 1， )可取 ab