2022年2022年空间几何体的表面积和体积

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载41 中高三 数学第一轮复习空间几何体的表面积和体积一命题走向由于本讲公式多反映在考题上,猜测008 年高考有以下特色：（ 1）用挑选.填空题考查本章的基本性质和求积公式；（ 2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积.体积有关的运算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的运算问题；二要点精讲1多面体的面积和体积公式名称侧面积 s 侧全面积 s 全体 积v精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载棱柱直截面周长×l棱柱s 侧+2s 底s 底·h=s 直截面 · h精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直棱柱c

2、hs 底 ·h棱锥各侧面积之和棱1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载锥正棱锥1 ch2s 侧+s 底s 底· h3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载棱台各侧面面积之和棱1s1 hs3上底 +s下底精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载台正棱台c+c h 2侧+s上底 +s下底+s下底s下底精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载表中 s 表示面积, c.c 分别表示上. 下底面周长, h 表斜高, h表示斜高, l 表示侧棱长；2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球s 侧2 rl rl r 1+r 2l精品学习资料精选学习资料 -

3、- - 欢迎下载2222h 即r l12r h12hr+rr +r 2 43 r333s 全2 rl+rrl+r v r r 1+r 2l+ r1121+r 2224 r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载表中 l.h 分别表示母线. 高,r 表示圆柱. 圆锥与球冠的底半径,r1 .r2 分别表示圆台上.下底面半径, r 表示半径；四典例解析题型 1：柱体的体积和表面积例 1一个长方体全面积为20cm2,全部棱长的和为24cm,求长方体的对角线长.解：设长方体的长.宽.高.对角线长分别为xcm .ycm .zcm.lcm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依题意得：2 xy

4、4 xyzyzzx202412精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由（ 2） 2 得： x 2+y 2+z2+2xy+2yz+2xz=36 （ 3） 由（ 3）（ 1）得 x2+y2+z2 =16即 l 2=16所以 l=4cm ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载点评： 涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体.长方体的表面积多被考察；我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线.内切）与面积.体积之间的关系；例 2如图,三棱柱abc a1b1c1 中,如 e.f 分别为 ab. ac 的中点,平面eb1c1 将三棱柱分成体积为v

5、1.v2 的两部分,那么v1 v2= _；解：设三棱柱的高为h,上下底的面积为s,体积为v,就 v=v1+v2 sh； e.f 分别为 ab.ac的中点,1 s aef=s、4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1v = 1 hs+31 s+4s1 =47 sh12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载v2=sh-v1=5 sh,12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 v 1 v 2=7 5；点评： 解题的关键为棱柱.棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系；最终用统一的量建立比值得到结论即可；题型 2

6、：锥体的体积和表面积p例 3（2006 上海, 19）在四棱锥p abcd 中,底面为边长为 2 的菱形, dab 60,对角线 ac 与 bd 相交d于点 o, po平面 abcd , pb 与平面 abcd 所成的角ac为 60,求四棱锥p abcd 的体积？o解：（1）在四棱锥 p-abcd中,由 po平面 abcd、b得 pbo 为 pb 与平面 abcd 所成的角,pbo=6°0 ；在 rtaob 中 bo=absin30° =1、 由 pobo ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为 po=botan6°0=3 ,而底面菱形的面积为23

7、；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四棱锥 pabcd的体积 v=1×23 × 3 =2 ；3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：本小题重点考查线面垂直.面面垂直.二面角及其平面角.棱锥的体积；在才能方面主要考查空间想象才能；a例 4（ 2006 江西理, 12）如图,在四周体abcd中,截面aef经过四周体的内切球（与四个面都相切的球）球心o,且与 bc, dc分别截于e.f,假如截面将四周体分成体积相等的两部分,o d设四棱锥a befd与三棱锥 aefc的表面积分别为s1, s2,就f必有（）a

8、 s1 s2b s1 s2becc s1=s2ds1, s2 的大小关系不能确定精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载解：连 oa .ob .oc. od ,就 v a befd v o abd v o abe vo befdv a efc v o adc v o aec v o efc 又 v a befd va efc,而每个三棱锥的高都为原四周体的内切球的半径,故sabd sabe sbefd sadc saecsefc 又面 aef 公共,应选c点评：该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积.表面积第一要转化好平面图形与空间几何体之间

9、元素间的对应关系；题型 3：棱台的体积.面积例 5（ 1）（ 1998 全国, 9）假如棱台的两底面积分别为s.s,中截面的面积为s0,那么（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2s0ssb s0s sc 2s0s sd s 2 2ss精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0（ 2）（1994 全国, 7）已知正六棱台的上.下底面边长分别为2 和 4,高为 2,就其体积为（）a 323b 283c 243d 203解析：（ 1）解析：设该棱台为正棱台来解即可,答案为a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）正六棱台上下底面面积分别为：s 上 6

10、3;13 ·224 63 ,s 下 6·3 ·424 243 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载v 台hs上3s上s下s下 283 ,答案 b；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：此题考查棱台的中截面问题；依据挑选题的特点此题选用“特例法”来解,此种解法在解挑选题时很普遍,如选用特别值.特别点.特别曲线.特别图形等等；题型 6：圆柱的体积.表面积及其综合问题例 6（ 2000 全国理, 9）一个圆柱的侧面积绽开图为一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1214a b241214cd

11、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：设圆柱的底面半径为r,高为 h,就由题设知h=2r .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s=2 r222（ 1+2 ）.s=h22 2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载全+（ 2 r ）s全12=2 r侧=4 r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s侧2；答案为a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：此题考查圆柱的侧面绽开图.侧面积和全面积等学问；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载例 7（ 2003 京春理 13,文 14）如图 9 9,一个底面半径为r 的

12、圆柱形量杯中装有适r量的水 .如放入一个半径为r 的实心铁球,水面高度恰好上升r ,就=；r解析：水面高度上升r ,就圆柱体积增加 r2· r ；恰好为半径为r 的实心铁球的体积,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载432r2323精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此有 r = r3r；故r；答案为；33精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：此题主要考查旋转体的基础学问以及运算才能和分析.解决问题的才能；题型 4：圆锥的体积.表面积及综合问题例 8（ 1）（ 2002 京皖春, 7）在 abc 中, ab=2, bc=1.5 , abc=120&

13、#176;（如下列图）,如将 abc 绕直线 bc 旋转一周,就所形成的旋转体的体积为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9a b 27c253d 22图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）（ 2001 全国文, 3）如一个圆锥的轴截面为等边三角形,其面积为3 ,就这个圆锥的全面积为（） a 3b 33 c 6d9解析：（ 1）如下列图,该旋转体的体积为圆锥c ade 与圆锥b ade 体积之差,又求得 ab=1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 vvcade1vb ade1351323123 132,答案 d ；精品学习资料精选学习资料 - -

14、- 欢迎下载（ 2） sabsin ,2a sin60°3 ,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a2 4, a 2, a=2r, r 1,s 全 2 r r 2 2 3 ,答案 a ；点评： 通过识图.想图.画图的角度考查了空间想象才能；而对空间图形的处理才能为空间想象力深化的标志,为高考从深层上考查空间想象才能的主要方向；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载例 9（ 2000 全国文, 12）如下列图, oa 为圆锥底面中心o 到母线的垂线, oa 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分,就母线与轴的夹角的余弦值为（）精品学习资料精选学

15、习资料 - - - 欢迎下载11a 3 2b 211c2d 4 2图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：如下列图,由题意知,12 r h312 r h,6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载r r又 abo cao ,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载roaoaroa, oa2 r· r1r、oar,2图24 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cos r,答案为d ；4 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：此题重点考查柱

16、体.锥体的体积公式及敏捷的运算才能；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型 5：球的体积.表面积例10 已 知 过 球 面 上a、 b 、c 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 , 且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abbcca2 ,求球的表面积；解：设截面圆心为o ,连结 o a ,设球半径为r ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 o a23223 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载323精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 rto oa 中,oa2o a2o o 2 ,精品学习资料精选学

17、习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 r2 23 21 r2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载344 r,3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s4r264；9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载例 11如下列图,球面上有四个点p. a .b.c,假如pa, pb, pc 两两相互垂直,且pa=pb=pc= a,求这个球的表面积；解析：如图,设过a .b.c 三点的球的截面圆半径为r,圆心为o,球

18、心到该圆面的距离为d；在三棱锥 pabc 中, pa, pb, pc 两两相互垂直,且pa=pb=pc= a、 ab=bc=ca=2 a、且 p 在 abc 内的射影即为abc 的中心 o；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由正弦定理,得2a sin 606=2r、 r=a；3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又依据球的截面的性质,有oo平面abc ,而 po平面 abc ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 p.o.o共线, 球的半径 r=r 2d 2 ；又 po=pa2r 2 =a 22 a 2 =3 a,33精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

19、载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 oo =r3a=d=3r 2r 2、ra2=r 2 3362,解得 r=3 a、a32精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s 球=4 r2=3 a2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：此题也可用补形法求解；将pabc补成一个正方体,由对称性可知,正方体精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载内接于球,就球的直径就为正方体的对角线,易得球半径r=题型 9：球的面积.体积综合问题3a、下略；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 12（ 1）（ 2006

20、四川文, 10）如图,正四棱锥pabcd 底面的四个顶16点 a、 b 、c 、 d 在球 o 的同一个大圆上, 点 p 在球面上, 假如 vp abcd,3就球 o 的表面积为（）a 4b 8c 12d 16（2）半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,如正方体棱长为6 ,求球的表面积和体积；解析：（ 1）如图,正四棱锥pabcd 底面的四个顶点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a、 b、c 、 d 在球 o 的同一个大圆上, 点 p 在球面上, po底面 abcd ,po=r,sabcd2 r2 ,精

21、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载161216精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载vp abcd,所以32rr, r=2,球 o 的表面积为 16,选 d ；33精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）作轴截面如下列图,cc6 , ac2623 ,设球半径为r ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 r2oc 2cc 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6 2 r3 ,3 29精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s 球4r236, v球4r3336；精品学习资料精选学习资料 - -

22、 - 欢迎下载点评： 此题重点考查球截面的性质以及球面积公式,解题的关键为将多面体的几何要素转化成球的几何要素；例 13表面积为324的球,其内接正四棱柱的高为14,求这个正四棱柱的表面积； 解： 设球半径为r ,正四棱柱底面边长为a ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就作轴截面如图,aa14 , ac2a ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 4r2324, r9 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 acac 2cc 282 , a8 , s表6423214576精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

23、下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型 6：球的经纬度.球面距离问题例 14在半径为 13cm 的球面上有a、 b、 c 三点,abbcac12cm,求球心到经过精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这三点的截面的距离；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：设经过a、 b 、c 三点的截面为o ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设球心为 o ,连结 oo ,就 oo平面 abc ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ao312243 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2322 oooaoa11,所以,球

24、心到截面距离为11cm 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 15在北纬 45 圈上有a、 b 两点,设该纬度圈上a、 b 两点的劣弧长为24r （ r 为地精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载球半径）,求a、 b 两点间的球面距离；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：设北纬 45 圈的半径为r ,就 r2 r ,设 o 为北纬 45 圈的圆心,4ao' b,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载r2r ,2 r2r ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4, ab2242rr ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学

25、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abc 中,aob,3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以,a、 b 两点的球面距离等于r 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：要求两点的球面距离,必需先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角,例 16地球半径为r, a.b 两地都在北纬45°线上,且a.b 的球面距离为,求 a.b两地经度的差 .解： 90 度精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载空间几何体的表面积和体积思维总结1正四周体的性质设正四周体的棱长为a,就这个正四周体的2(1)

26、 全面积： s 全=3 a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 体积： v=2 a3；12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2(3) 对棱中点连线段的长：d=a；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(4) 内切球半径： r=6 a；12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(5) 外接球半径r=6 a；4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(6) 正四周体内任意一点到四个面的距离之和为定值 等于正四周体的高 ；2直角四周体的性质有一个三面角的各个面角都为直角的四周体叫做直角四周体. 直角四周体有以下性质：如图,在直角四周体aocb中, aob= boc= coa=90°, oa=a、ob=b、oc=c；就：不含直角的底面abc为锐角三角形；直角顶点o在底面上的射影h 为 abc的垂心；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载体积v=1 abc；6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1底面 abc=22a2 b2b 2c 2c2 a2 ；精品学习资料