人教版2020八年级数学下册第17章《勾股定理》单元练习【含答案】

1、人教版2020八年级数学下册 第17章勾股定理单元练习.选择题（共 10小题）如图 ABD 中，/ D = 90° , C 是 BD 上一点，已知 CB = 9, AB=17, AD=8,则 DC 的长2.3.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（是（）A. 2、3、4B. 3、4、5C.C.6、如图，在 ABC中，D是BC上一点，已知 AB=13,长为（)B. 12C. 98、10AD = 12,D.D.AC= 15,D.155、 12、 13BD= 5,则 DC 的4 .我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所

2、示）.如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1,直角三角形的两直角边长分别为 a、b,那么（a-b） 2的值是（）B. 2C. 12D. 135 .如图，公路 AC, BC互相垂直，公路 AB的中点M与点C被湖隔开，若测得 AC= 12km, BC16km,则M, C两点之间的距离为（A. 13kmB. 12kmC. 11kmD. 10km6 .如图，小明将一张长为 20cm,宽为15cm的长方形纸（AE>DE）剪去了一角，量彳导AB=3cm,CD = 4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为（12cmC. 16cmD. 20cm7 .如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方

3、形，所有的三角形都是直角三角形,E的边长是（若正方形A、B、C、D的面积分别是 9、16、1、9,则最大正方形C. 70D.无法确定1,图中的线段长度是（B. .D. Tt9.在 RtAABC 中，/ACB=90° ,AB=10cm,AB 边上的高为 4cm,则RtAABC的周长为（cm.A. 24B. -C.D. 1.如图，设勾10.公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了 “赵爽弦图”a=6,弦c=10,则小正方形 ABCD的面积是(A. 4B. 6C, 8D. 162 .填空题(共 5小题)11 .在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为：A (1, 4)、B

4、(0,3)、C (3,0),若P为x轴上一点，且/ BPC=2/ACB,则点 P的坐标为 .12 .在 RtAABC 中，/ C=90° , AB=15, BC: AC=3: 4,则 BC =.13 .如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.如果直角三角形较长直角边为 a,较短直角边为 b,若ab=8,大正方形的面积为 25,则小正方形的边长为14 .如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为 b,若a+b = J7E, ab=2,则小正方形的面15 .如图，点 D是R

5、tAABC斜边 AB的中点，点 E在边AC上. A'B' C'与 ABC关于直线AC = 4, BC = 3,则 AE的长为DE对称，连结 A' C .且/ CA' C'=90° .若评Z/BC3 .解答题（共 6小题）16 .【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.据周髀算经记载，公元前1000多年就发现了 “勾三股四弦五” 的结论.像 3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数.【应用举例】观察 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25;

6、可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4=_，弦5=（9.1）;当勾为 5 时，股 12=会25-1），弦 13=（25+1）；当勾为 7 时，股 24 =工（4±1）,弦 25=1（49+1） -请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用n （n>3,且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦， 则股=, 弦=.【问题解决】（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式.具体表述如下：如果a = 2m, b= m2-1, c= m2+1 （m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数.请你证明柏拉图公式的正确 性；（3）毕达哥拉斯

7、在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1,若用2a2+2a+1 （ a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？17.正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图中，画一个面积为 10的正方形；（2）在图、图中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理18.如图， ABC 中，/ ACB = 90° , AB = 5cm,BC = 4cm,若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A B C A运动，设运动时间为t (t>0)秒.(1) ACcm；(2)若点P恰好在AB的垂直平分线上

8、，求此时t的值;(3)在运动过程中，当 t为何值时， ACP是以AC为腰的等腰三角形(直接写出结果)？19 .已知：如图，四边形 ABCD 中，ABXBC, AB = 1, BC = 2, CD = 3, AD =fl4 ,求四边形20 .如图，边长为 m的正方形中有一个边长为n的小正方形，若将图 1的阴影部分拼成一个长方形，如图3,利用图1和图3的阴影部分的面积.却(1)你能得到的公式是(2)爱思考的小聪看到三边为b, c的直角三角形(如图4),四个这样全等的直角三角形与中间小正方形组成大正方形，他想利用大正方形的两种不同的面积表示方法得到等式.你代替小聪来表示这个大正方形的面积：方法一：

9、;（用 a, b, c来表示）方法二： ;（用 a, b, c来表示）（3）你能得出一个关于 a, b, c的等式： ;（4）若 a= 6, b=8,求 c 的值.21.我们运用图（I）图中大正方形的面积可表示为（a+b） 2,也可表示为c2+4xab,即（a+b）2=c2+4xab由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2,这个重要的结论就是著名的“勾股定2理”.这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”.（1）请你用图（n）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为 b,斜边长都为

10、c） .（2）请你用（田）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y） 2=x2+2xy+y2（3）现有足够多的边长为 x的小正方形，边长为 y的大正方形以及长为 x宽为y的长方形，请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+y） （x+2y） = x2+3xy+2y2.参考答案.选择题（共 10小题）1. C.2. A.3. C.4. A.5. D.6. D.7. B.8. C.9. D.10. A.二.填空题(共 5小题)11. (4, 0)或(4, 0).12.9.13.14.7.15.三.解答题（共 6小题）16.解:（1）如果勾用n （n>3,且n为奇数）表

11、示时，则股=-y (n2 - 1),弦=/(n2+1)；故答案为： =（n2 T）,白（n2+1）；(2) a=2m, b= m2 1, c= m2+1 ( m 表示大于 1 的整数)-a2+b2= (2m) 2+ (m2 1) 2=4m2+m4 2m2+1=m4+2m2+1=(m2+1) 2= ( m2+1) 2= c2,a2+b2= c2. a、b、c为勾股数;(3) 弦与股的差为 1, 2a2+2a+1 ( a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数,.另外两个数的表达式分别是2a2+2a； 2a+1 .17.解：(1)如图所示： / ACB = 90° ,.ABC是直角三角形，

12、在RtAABC中，由勾股定理得，ac=7ae2-bc又 AB= 5cm, BC = 4cm,1- AC=52-42= 3，故答案为3;(2)点P恰好在AB的垂直平分线上时,如乙图所示:. DE是线段AB的垂直平分线，.AD = BD=_-四，AE=BE,当点P运动到点D时，AB=5cm,点P从点A出发，以每秒ti"秒，2当点P运动到点E时，设BE = x,则AE= BE ,AE= x,在RtAAEC中，由勾股定理得，AE2 = AC2+ EC2''' AC = 3 , AE = x, EC = 4 - x,32+ (4 x) 2=x2,解得：x =孕，ASAB

13、 + BE = ,8o即点P在AB的垂直平分线上时，运动时间1cm的速度运动,EC=4 x,t为反秒或生秒;28(3)运动过程中， ACP是等腰三角形,当AP = AC时，如丙图(1)所示：AC=3, AP= 3, tr= 3 秒，当CA = CP时，如丙图（2）所示:若点P运动到P1时，AC = PiC,过点C作CHLAB交AB于点H ,AB= 5cm, BC = 4cm, AC= 3cm,19 ，CH=±cm,在RtAAHC中，由勾股定理得，AH = Jac2-HC2噌 cm，又 APi = 2AH=cm,若点P运动到P2时，AC = P2C,AC = 3cm,P2C= 3cm,

14、又BP2= BC P2C,BP2= 1cm,AP + BP2= 5+1 = 6 cm, t4'= 6 秒，IQ综合所述， ACP是以AC为腰的等腰三角形时，t为3秒或普秒或6秒.19.解：连接AC .,. Z ABC = 90° , AB = 1, BC= 2,',ac = a/aB2+BC2=7 l2+22=-在AACD 中，AC2+ CD 2= 5+9 = 14 = AD2,. ACD是直角三角形,S四边形ABCD =_Lab?bc+_Lac?cd,22m m+n)(m n)；（2）方法一：（a+b）2,方法二： ab x 4+c2 = 2ab+ c2 ； 2(3) (a+b) 2= 2ab+c2,整理得，a2+b2=c2；(4)当 a=6, b=8 时，62+82= c2,解得c= 10.故答案为：(1) m2 n2= (m+n) (m n)； (2) (a+b) 2, 2ab+c2； (3) a2+b2=c2；.21 .解：（1）大正方形的面积为：c2,中间空白部分正方形面积为：（b-a） 2;四个阴影部分直角三角形面积和为：4 xJab ；2由图形关系可知：大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积，即有:c2 = ( b - a) 2+4 x 2ab=b2 2ab+a2+2ab= a2+b2；（2）如图1所示：大正方形边长为（