第四节无穷小量和无穷大量

1、1一、无穷小一、无穷小(量量)定义定义以零为极限的函数以零为极限的函数(或数列或数列)称为称为无穷小无穷小(量量).例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注注: : 1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈不能与很小的数混为一谈;3.零是唯一可以作为无穷小的数零是唯一可以作为无穷小的数.2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.第四节第四节 无

2、穷小无穷小( (量量) )和无穷大和无穷大( (量量) )2无穷小和极限的关系无穷小和极限的关系: :定理定理 变量变量 y 以以a为极限的充分必要条件是：变量为极限的充分必要条件是：变量 u 可以表示为可以表示为 a 与一个无穷小量的和。即与一个无穷小量的和。即lim u a u a+ +a a ，其中其中a a 是无穷小是无穷小 。证略证略.定理表明：定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述极限概念可以用无穷小量概念来描述. 无穷小量的性质：无穷小量的性质： 1 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；有限多个无穷小量之和仍是无穷小量； 定理定理2 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；无穷小

3、量与有界变量之积仍是无穷小量； 3 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。 3例例1.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin是是有有界界函函数数而而x. 0sinlim xxxxxysin 错错误误解解法法: : 01sinlimlim1sinlim000 xxxxxxx. 4xxxarctanlim )15cos(7lim232+ + + + xxxxx例例2.0 例例3.0 5二、无穷大二、无穷大(量量)定义定义 如果变量如果变量u在其变化过程中在其变化过程中|u|无限增大，则无限增大，则称称u为无穷大为无穷大(量量)，记作，

4、记作 uulim 或或精确定义：精确定义： )(lim0 xfxx, 0 , 0 m.)(mxf 有有,00时时当当 xx1. 无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数 混为一谈；混为一谈；2. 称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变 化趋势。化趋势。注注: :6证证明明 xx1lim0. . 0 m, ,欲欲使使mx 1, , 即即 mx1 , , 当当 x0时时, ,恒恒有有mx 1. . 所所以以取取m1 , , 证证 得证得证. . xoy例例47无穷大量与无界变量的关系无穷大量与无界变量的关系 (1) (1)

5、无穷大量显然是无界变量；无穷大量显然是无界变量； (2) (2) 但无界变量不一定是无穷大量。但无界变量不一定是无穷大量。nann)1(1 + +：例如数列例如数列当当 n时时, ,na是是无无界界的的, ,但但), 2 , 1( nan不不是是无无穷穷大大量量. . 再如，再如，函函数数xxsin，当当 x时时是是无无界界的的, , 但它并不是无穷大量。但它并不是无穷大量。 8三、无穷大量与无穷小量的关系三、无穷大量与无穷小量的关系 )(1xf为为无无穷穷小小; ;反反之之, ,若若)(xf为为( (非非零零) )无无穷穷小小, ,则则)(1xf为为无无穷穷大大. . 定定理理 在在自自变变

6、量量的的同同一一变变化化过过程程中中, ,如如果果)(xf为为无无穷穷大大, ,则则 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.例例5)1(limnnn + + nnn+ + + 11lim)1lim ( + + + ）（因因为为nnn.0 9例例6. )0(lim + + aaaaannnnn求求解解当当1 a时时，因因为为0 nnaa，故故原原极极限限为为 0 ； ,11limlim22+ + + + nnnnnnnnaaaaaa当当1 a时时， ,0lim 2 nna因因为为所以原极限为所以原极限为- -1；当当1 a时时， nnn

7、nnnnnaaaaaa2211limlim + + + + ,1 所以所以.1 ,1 1 ,0 10 ,1lim + + aaaaaaannnnn10四、无穷小量的比较四、无穷小量的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim0， 20limxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 比值极限不同比值极限不同, 反映了两者趋向于零的反映了两者趋向于零的“快快慢慢”程度不同程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx, 0 , 1 观察各极限观察各极限.2要慢得多要慢得多比比xx下节证下节证11, 0lim)1(高高阶阶的的无无

8、穷穷小小是是比比则则称称如如果果 a a a a 定义定义：. 0, a a且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;),0(lim)3(是同阶无穷小是同阶无穷小与与则称则称如果如果a a a a cc;, 1lim是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特别地，特别地，a a a a 低低阶阶的的无无穷穷小小；是是比比则则称称如如果果 a a a a,lim)2( ;)( a ao 记记作作; a a记作记作12.),0, 0(lim3 0无穷小无穷小阶阶的的是是则称则称、如果、如果kxkccxkxa aa a 说明说明: : 1 1、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是

9、没有意义、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶才能说它们阶的高低或是否同阶. 2 2、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的能比较阶的高低的. 13例例7由由于于都都是是无无穷穷小小时时当当,1,1,1,2nnnn ,01112 nnn,0111 nnn,11 nnn比比高高阶阶的的无无穷穷小小，是是即即故故nnnon11),1(122 低低阶阶的的无无穷穷小小。是是比比而而nn1114例例8证证明明：当当 n时时，nn + +1与与n1是是同同阶阶无无穷穷小小。 证证nnnn/11lim + + nnnn+ + + 1lim,21 所以所以当当 n时，时， 无穷无穷小小量量nn + +1与与n1是同阶是同阶的的。 nnnnnnnn+ + + + + + + 1)1)(1(lim1/111lim+ + + nn15例例9证证明明：当当0 x时时，xnxn11)1(1 + +。 证证xxnx11lim0 + +ntx + +1令令)1)(1(1lim211+ + + + nnttttt，n1 .111xnxn + +