广州市一模数学试题及答案(理科)

1、试卷类型： A2018 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2018.3本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县 / 区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（ A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域

2、内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式： 锥体的体积公式V1 Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高3122232n2n n 1 2n 1n N *6一、选择题：本大题共8 小题，每小题5分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 i 是虚数单位，若m234i，则实数 m 的值为iA 2B 2C2D 22在 AB

3、C 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若 C2B ，则 c 为A 2sin C B2 cos B C 2sin B D 2cosCb3圆2y21关于直线 yx 对称的圆的方程为x 12A x 22y 122211 B x 1y 2C x 22y 122211 D x 1y 24若函数 fxx2ax1 的定义域为实数集R，则实数 a 的取值范围为A 2,2B ,22,C,22,D 2,21/185某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制频率 /组距成如图 1 的频率分布直方图样本数据分组为50,60，0.0300.02560,70 ， 70,80 ， 80

4、,90 ， 90,100 若用分层抽0.0200.0150.010样的方法从样本中抽取分数在80,100 范围内的数据16 个，060708090100 分数则其中分数在90,100 范围内的样本数据有50图 1A5个 B6个 C8个 D10 个6已知集合 Ax x Z且3A 中的元素个数为Z ，则集合2xA 2B3C 4D57设 a ， b是两个非零向量，则使a b = a b 成立的一个必要非充分条件是A a b B a bC ab0 D a b8 设 a ， b ， m 为整数（ m0），若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称a 和 b 对模 m 同余，记为ab mod m 若 a

5、 C200C1202C202 22C2020220 ， ab mod10 ，则 b 的值可以是A 2018B 2018C 2018D 2018二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分 30 分（一）必做题（9 13 题）9若不等式xa1x 1x3 ，则实数a的值为的解集为10执行如图 2 的程序框图，若输出S7，则输入 k kN*的值为开始输入 k5n0,S0ylogx2211否侧（左）视图n k ?正（主）视图是输出 Snn1结束SSn 12/184图 32图2俯视图11一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3 所示，则这个四棱锥的体积是12设 为锐角，若 cos3

6、，则 sin651213在数列 an 中，已知 a1 11，记 Sn 为数列an 的前 n 项和，则 S2014 ， an 1an1（二）选做题（14 15 题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线sincosa 与曲线2 cos4 sin 相交于A ， B 两点，若CAB2 3 ，则实数 a 的值为PDE15（几何证明选讲选做题）OB如图 4， PC 是圆 O 的切线，切点为 C ，直线 PA 与圆 O 交于A， B 两点，APC 的平分线分别交弦CA，CB于D，EA两点，已知 PC3， PB 2，则 PE的值为图 4PD三、解答题：本大题共6小题，满分 8

7、0分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数f ( x)sin xa cos x的图象经过点，03（ 1）求实数 a 的值；（ 2）设 g(x)f ( x)22 ，求函数 g( x) 的最小正周期与单调递增区间17（本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是2 ，甲，丙两人同时不能被聘用的概率5是6 ，乙，丙两人同时能被聘用的概率是3 ，且三人各自能否被聘用相互独立2510（ 1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；3/18（ 2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望）18（本小题满

8、分 14分）D1C1如图 5，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1 B1C1 D1 中，点 E 是棱 D1 D 的A1EB1中点，点 F 在棱 B1 B 上，且满足 B1 F2FB （ 1）求证： EFAC11；DC（ 2）在棱 C1C 上确定一点 G ，使 A ， E ， G ， F 四点共面，并求FA此时 C1G 的长；B（ 3）求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值图 519（本小题满分 14分）已知等差数列 an的首项为 10，公差为2，等比数列 bn 的首项为1，公比为 2， nN* （ 1）求数列an 与 bn 的通项公式；（ 2）设第 n 个正方形的边长为 cnmi

9、n an ,bn ，求前 n 个正方形的面积之和 Sn （注： min a,b 表示 a 与 b 的最小值）20（本小题满分 14分）已知双曲线 E ： x2y21 a0 的中心为原点O ，左，右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为a243 5 ，点 P 是直线 xa2上任意一点，点 Q 在双曲线 E 上，且满足 PF2 QF20 53（ 1）求实数 a 的值；（ 2）证明：直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值；（ 3）若点P1，过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点M ，N，在线段 MN上的纵坐标为取异于点 MPMMH，N的点H，满足，证明点 H 恒在一条定直线上PNHN21

10、（本小题满分 14分）已知函数 fxx22x1 ex （其中 e 为自然对数的底数）（ 1）求函数f ( x) 的单调区间；4/18（ 2）定义：若函数h x 在区间s,tst 上的取值范围为s, t ，则称区间s, t 为函数 h x 的“域同区间”试问函数f (x) 在 1,上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由5/182018 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明： 1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试卷主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数2对

11、解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8 小题，每小题，满分40 分题号12345678答案ABADBCDA二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共7 小题，每小题，满分30 分其中1415 题是选做题，考生只能选做一题题号9101112131415答案2342201

12、11或210253三、解答题：本大题共6小题，满分 80分16（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解： （ 1）因为函数f (x)sin x a cos x 的图象经过点，所以f0，033即 sina cos303即3a0 22解得 a3 1/18（ 2）方法 1：由（ 1）得 f ( x)sin x3cos x 所以 g( x) f ( x) 22sin x223 cosxsin2 x 23sin x cosx3cos2 x23sin 2xcos2x231sin 2xc

13、os 2x222sin 2 x coscos2 xsin662sin2x 6所以 g ( x) 的最小正周期为22因为函数 ysin x 的单调递增区间为2k2, 2kk Z ，2所以当 2k 2x 2k k Z时，函数 g( x) 单调递增，262即 k xk kZ 时，函数 g( x) 单调递增36所以函数 g(x) 的单调递增区间为k , k k Z36方法 2：由（ 1）得 f ( x)sin x3cos x2sin x cos3cos x sin32sinx 32所以 g( x) f ( x) 222sinx234sin 2 x232/182cos 2x2 分3所以函数 g(x) 的

14、最小正周期为2分2因为函数 ycos x 的单调递减区间为2k,2 kk Z ，所以当 2k22kkZ时，函数 g( x) 单调递增2x3即 kx k（ k Z ）时，函数 g(x) 单调递增36所以函数 g(x) 的单调递增区间为k , k kZ 3617（本小题满分1）（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解： （ 1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为A1， A2， A3，由已知 A1 ， A2 ， A3 相互独立，且满足PA12,561PA11PA3,25PAP A3 .

15、2310解得P A213，P A352所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为1，325（ 2）的可能取值为 1， 3因为 P3 P A1A2 A3P A1A2 A3PA1PA2PA31PA11PA2 1PA3213312652552525所以 P11P3161925253/18所以的分布列为13196P2525所以E 1 19363725252518（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：（1）证明： 连结 B1D1 ， BD ，D1C1因为四

16、边形 A1B1C1D1 是正方形，所以AC11B1D1A1EB1在正方体 ABCDA1 B1C1D1 中， DD1 平面 A1B1C1D1 ，DCAC1 1平面 A1 B1C1 D1 ，所以 AC11DD1 FA因为 B1 D1DD1D1， B1 D1 ， DD1 平面 BB1 D1 D ，B所以 AC1平面 BBDD 111因为 EF平面 BB1D1D ，所以 EFAC11 （ 2）解： 取 C1C 的中点 H ，连结 BH ，则 BHAE D1C1在平面 BBC11C 中，过点 F 作 FGBH ，则 FGAE A1GEB1 H连结 EG ，则 A， E，G ， F 四点共面因为 CH11

17、a ， HG BF11DCC1C2C1Ca ，F233A所以 C1G1a BC1C CH HG6故当 C1G1 a 时， A ， E ， G ， F 四点共面6（ 3）延长 EF ， DB ，设 EF DBM，连结AM，4/18则 AM 是平面 AEF 与平面 ABCD 的交线D1过点 B作BNAM ，垂足为 N ，连结 FN ，因为 FBAM ，FB BNB ，A1所以 AM平面 BNF E因为 FN平面 BNF ，所以 AMFN 所以 FNB 为平面 AEF 与平面 ABCD 所成C1B1二面角的平面角DMBBF1 a2A因为3MDDE1，N3a2即MB2 ，MB2a3所以 MB2 2a在

18、 ABM中， ABa ，ABM135 ，所以 AM2AB2MB 22ABMBcos135a22213a2 即 AM13a 22a2a2 2a2（苏元高考吧： 广东省数学教师 QQ群： 179818939）因为1AMBN1 ABMBsin135 ，22ABMB sin135a22a22 13所以 BN2AM13aa 13122 1327 13所以 FNBF 2BN 2aaa 31339所以 cos FNBBN6FN76 故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为7空间向量法：z（ 1）证明： 以点 D 为坐标原点，DA ， DC ， DD1 所在的直线D1分别为 x 轴， y 轴，

19、z 轴，建立如图的空间直角坐标系，AFBCMC1则 A a,0,0， A1a,0, a ， C10, a, a ，1ED5/18AB1FCyBxE 0,0, 1 a， Fa, a, 1 a，23所以ACa, a,0，11EFa, a,a16因为 AC11 EFa2a20 0 ，所以 AC11EF 所以 EFAC11 （苏元高考吧： 广东省数学教师 QQ群： 179818939）（ 2）解： 设 G 0,a,h ，因为平面 ADD1 A1平面 BCC1B1 ，平面 ADD1 A1平面 AEGFAE ，平面 BCC1B1平面 AEGFFG ，所以 FGAE 所以存在实数，使得 FGAE 因为 AE

20、a,0, 1 a， FGa,0, h1 a ，23所以a,0, h1 aa,0, 1 a32所以51， ha6所以 C1G CC1CG a5 a1 a 66故当 C1G1 a 时， A ， E ， G ， F 四点共面6（ 3）解： 由（ 1）知 AEa,0, 1 a， AF0, a, 1 a 23设 nx, y, z是平面 AEF 的法向量，n AE0,则n AF0.ax1 az0,即21 azay0.36/18取 z 6 ，则 x3， y2 所以 n3,2,6是平面 AEF 的一个法向量而 DD10,0, a 是平面 ABCD 的一个法向量，设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为

21、，则 cosn DD11n DD10302a66 22272a36故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为6 7第（ 1）、（ 2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法：（ 1）、（ 2）给分同推理论证法（ 3）解： 以点 D 为坐标原点，DA ， DC ， DD1 所在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则 A a,0,0， E 0,0,1 a ， Fa, a, 1 a，23则 AEa,0, 1 a ， AF0, a, 1 a 23设 nx, y, z 是平面 AEF 的法向量，n AE0,ax1 az0,2则即1n AF0.ayaz0.3取

22、z 6 ，则 x3， y2 所以 n3,2,6是平面 AEF 的一个法向量而 DD10,0, a 是平面 ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为，n DD1则 cos1n DD17/18zD1C1A1EB1DFCyABx0 302a 6 6 2222a736故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为6 719（本小题满分1）（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）解： （ 1）因为等差数列an 的首项为10，公差为 2，所以 an10n12 ，即 an 2n8 因为等比数列bn的首

23、项为1，公比为2，所以 bn12n1 ，即 bn 2n 1 （ 2）因为 a110 ， a212 ， a314 ， a416， a518， a6 20 ，b11， b22 ， b34 ， b4 8 ， b516 ， b632 易知当 n5时， ab nn下面证明当 n6 时，不等式 ba 成立nn方法 1： 当 n6 时， b626132202 68a6 ，不等式显然成立假设当 nkk6时，不等式成立，即2k 12k8则有 2k2 2k 12 2k 8 2 k 1 8 2k 6 2 k 1 8 这说明当 nk1时，不等式也成立综合可知，不等式对n6的所有整数都成立所以当 n6 时， ba nn

24、方法 2：因为当 n6 时bnan2n 12n 8n11 12n 88/18C n01C1n 1Cn21Cnn 112n 8Cn01C1n 1C n21C nn13C nn12Cnn112n 82 C n01C1n 1Cn212n 8n23n 6 n n 4n 6 0 ，所以当 n6 时， ba nn所以 cnminan ,bn2n 1,n5,2n8,n5.则 cn222 n 2,n5,4 n42,n5.当 n 5 时，Snc12c22c32cn 2b 2b2b2b2123n20222422n214n14n1 143当 n 5时，Sc2c2c 2c 2n123nb12b22b5 2a6 2a7

25、2an214514647 42n 422334146272n28 67n16 n534141222n212225232 67n 64 n 5341n n1 2n155326 nn 5546264 n4 n318n2242 n 679 339/181 4n1 ,n5,综上可知，3Sn242 n 679, n4 n318n25.3320（本小题满分1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（ 1）解： 设双曲线 E 的半焦距为c ，c35 ,由题意可得a5c2a24.解得 a5（ 2）证明： 由（ 1）可知，直线xa25，点 F23,0 设点 P5 , t, Q x0