中值定理与导数的应用

1、第四章 中值定理与导数的应用学习目的和要求学习本章，要求读者能掌握中值定理的条件及其结论， 了解其证明思路和过 程，并能应用中值定理于罗必达法则、 函数的增减性、 函数的极值等导数的应用 中去；同时要求读者学会运用罗必达法则讨论各种待定型的极限； 学会利用导数 分析函数的增减性、 极值点、 拐点及其曲线的凸向； 并能应用于分析一些经济学 中的常用问题第一节 中值定理1中值定理由简单到复杂有 3 种情形，表述如下：For personal use only in study and research; not for commercial use(1) 罗尔定理 若函数 在闭区间 上连续，且在开

2、区间 ( ) 内有 导数，并在区间两端点取等值，则在区间 内至少有一点，使在该点函数 的导数为零(2) 拉格朗日中值定理 若函数在闭区间 上连续，且在开区间( ) 内有导数，则在区间 () 内至少有一点，使成立等式：(3) 柯西中值定理 设 在闭区间 上连续，在开区间 ()内有导数 内均不为零，则在区间 ()内至少有一点 , 使成立2如果我们已证得罗尔定理，则为证明拉格朗日中值定理仅需引入辅助函 数：并利用罗尔定理即可证得而为证明柯西中值定理仅需引入辅助函数：并利用罗尔定理即可证得为证明罗尔定理， 首先要运用闭区间上连续函数的最大 ( 小) 值定理，然后利 用定理条件， 证明在区间内至少有一点

3、达到最大值或最小值 最后再证明在区间 内达最大值或最小值的点即为我们要求的点，在该点其一阶导数为零3中值定理的初步应用(1) 对于在 () 内有定义的函数，则必有证 在区间( )中任取两点故得由 的任意性得(2) 证明不等式：证 由中值定理，故得第二节 导数的应用1罗必达法则(1) 在讨论函数极值中经常遇到这种情况：已知或欲求极限 此时，已不能利用前面所述的极限运算法则来计算而且，根据具体给定的函数 ，上述极限有可能存在， 也可能不存在。 因而， 常称这类极限式为待定型， 并利用所得极限的性态简记为 型类似地， 待定型还可有等各种类型罗必达法则为计算这类待定型提供了一种方法(2) 罗必达法则

4、设当 时，都趋于零，在点 的某一邻域内 (点 本身除外 )，存在且存在(或无穷大 )，则对 情形亦有类似表达和结论(3) 举例如下 :(4) 对其他待定型，则设法将他们化为前面两种基本的待定型来处理例如：求 型，通过变换化为 ，就可利用罗必达法则求极限又如：求型.通过变换可将待定型化为 型，从而可用罗必达法则求极限对 型，可通过取对数后再化为型来处理 .例如：设取对数若下列 型极限存在：就可先求得2：函数的增减性利用导数可以判断函数的增减性，亦即曲线的升降性，有如下结果：(1) 设函数在区间()内具有导数如果在() 上为单调增加( 或减少 ) ，则在该区间上这函数的导数(2) 设函数在区间 (

5、)内具有导数如果在这区间上导数是正的：上为严格单调增加；导数是负的： 在 上为严格单调减少 若将条件减弱为在内 ，则结论减弱为上为单调增加 (或单调减少 ) 3函数的极值(1) 极值的定义 对于点 ，若有一个邻域存在， 使函数 在该邻域内 有定义且在该邻域内有 的一个极大值；有 的一个极小值(2) 极值存在的必要条件 设函数 有导数，且在 取 到极值(极大或极小 ) ，则这函数在处的导数(3) 极值存在的一阶充分条件 设函数 的一个邻域内连续，且 在此邻域内 ( 可除外 )可导若当取到极大值；若当 取到极小值(4) 极值存在的二阶充分条件 设函数 处具有二阶导数，且取极大，反之当时 取极小(5

6、) 注 当 时，此时不能确定 是否取极值极大、极小和无 极值三种情况都有可能4函数曲线的凸向设函数 内有二阶导数若 则曲线为下凸的；若 ，则曲线为上凸的5拐点曲线 上凸与下凸的分界点称为曲线的拐点6函数图形的描绘利用函数的导数，求出函数的极值点、拐点以及单调区间、凸凹区间，并找 出曲线的渐近线，从而描绘出函数曲线的图形7函数极值在经济管理中的应用包括最大利润问题、 最小成本问题、 需求分析等多方面应用 以利润问题为 例，设需求函数为P=a-bx(x 为供需量， p 为价格 ) ，则总收益为而总成本函数若为 ，则总利润函数欲求总利润最大，按极值的二阶充分条件可解得为保证能取到极大值，要求若我们不

7、涉及函数的具体形式，一般地讨论利润问题，则由可得利润最大的必要条件为 亦即必须使边际收益等于边际成本第四章 中值定理与导数应用例 1：下列各函数中，在区间 -1 ， 1 上满足罗尔定理所有条件的是 ( )例 2 ：例 3 ：例 4 ：例 5 ：例 6：下列极限中能用罗必达法则的有 ( )例 7 ：例 8 ：列表即(- ,-2) 及(0,+ )为递增区间，( -2 ，-1 )及( -1 ，0)为递减区间；当 x=-2 时取极大值 f(-2)=-4 ，当 x=0 时取极小值 f(0)=0例 9：讨论曲线 y=x 4-2x 3+1 的凹向与拐点解：y=4x3-6x 2y =12x2-12x=12x(

8、x-1)当 x=0,x=1 时 y =0x=0 与 x=1 把定义域( - ， +)分成三个区间，列表即（-,0） 及（1,+）上凹；（0，1）下凹，两个拐点（ 0，1）和（ 1，0）例 10：例 11：例 12：例 13：某种商品需求函数为，求当 P=4 时的需求弹性。例 14：第四章 中值定理与导数的应用单元测试、选择题1、罗尔定理中三个条件：（ 1）f （x）在a ， b上连续;（2）f （x）在（a，b） 上可导 ;（3）f（a）= f（b），是至少存在一点，使得的（）A、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、既非充分条件也非必要条件2、已知函数在-1 ，2 上满足罗尔定理条

9、件， 则在-1 ，2 上罗尔定理中的值 =（）3、函数在区间 0 ，1 上满足拉格朗日中值定理的条件，其在 0 ，1 拉格朗日中值定理中的值 =（）4、如果函数 f （x）与 g（x）对于区间（ a，b）内每一点都有，则在（ a，b）内必有（）A、f （x）=g（x） B 、f（x）=c1，g（x）= c2，（c1，c2常数）C、f （x）=g（x）+1 D 、f（x）=g（x）+C，（C常数）5、若两个函数 f （ x）、g（x）在区间（ a， b）内各点的导数相等，则该二函数 在区间（ a， b）内. （）A、不相等 B 、相等 C 、仅相差一个常数 D 、均为常数6、下列求极限问题中能够

10、使用罗必达法则的有（）7、若，这样计算是（ ）8、=（）A、 B 、 n-1 C 、 n D 、 09、=（）10、=（）A、 0 B 、 C 、 -2 D 、 211、设 x 和 y 分别是同一变化过程中两个无穷大量，则 x-y 是（ ） A、无穷大量 B 、无穷小量 C 、常数 D 、不能确定12、=（）A、-1 B 、1/2 C 、0 D 、13、= （）A、- B 、+ C 、 1 D 、014、若函数 f（ x）在点 x0 的某邻域有定义， 且在该邻域内，则称 f （x0）是 f （x）的（）A、极大值点 B 、极大值 C 、极小值点 D 、极小值15、如果，则 一定是 .（ ）A、

11、极小值点 B 、极大值点 C 、驻点 D 、拐点16、函数 f （x）的连续但不可导的点 .（）A、一定不是极值点 B 、一定是极值点 C 、一定不是拐点 D 、一定不是驻点17、函数在区间（ -1,2 ）内是 （ ）A、单调增加的 B 、单调减少的 C 、不增不减的 D 、有增有减的18、在（-,+ ）上是 （ ）A、单调增加的函数 B 、单调减少的函数 C 、非单调函数 D 、偶函数19、函数 y=1-sinx 在区间 上 （ ）A、递增 B 、递减 C 、不增不减 D 、有增有减20、函数在区间0，2 上. （）A、单调增 B 、单调减 C 、不增不减 D 、有增有减21、函数在（- ,

12、+ ）上的极小值点为 .（ ）A、0 B 、1 C 、 2 D 、不存在22、设 f （x）一阶连续可导且，则 f（0）（）A、一定是 f（x）的极大值B 、一定是 f （x）的极小值C、一定不是 f （x）的极值D 、可能是也可能不是 f （x）的极值23、设函数 f （x）在0 ，a 上二次可微，且，则在（0，a）内是（）A、不增的 B 、不减的 C 、严格单调增加 D 、严格单调减少24、是可导函数 y= f（x）在区间（a，b）内单调递减的 （）A、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、无关条件25、函数 y= f （x）在点处取得极值，则必有（ ）A、B 、 C 、 不存在

13、 D 、26、函数在区间 -1 ，1 上的最大值是（）A、0 B 、 1 C 、2 D 、不存在27、（ ）A、 0B 、C 、 D 、28、若 f （x0）是连续函数 f （ x）在a ，b上的最小值，则 （ ）A、f（x0）一定是 f （ x）的极小值 B 、C、f（x0）一定是区间端点的函数值 D 、x0或是极值点，或是区间端点29、函数在区间（ 1，4）内是 （）A、上凸 B 、下凹 C 、既有上凹又有下凹 D 、直线段30、函数 y=|sinx+1| 在区间内是 .（ ）A、下凸 B 、上凸 C 、既有下凸又有上凸 D 、直线31、在区间（ a,b ）内任意一点函数 f （ x）的曲

14、线弧总位于其切线的上方，则该 曲线在（ a，b）内是 .（）A、下凸 B 、上凸 C 、单调上升 D 、单调下降32、如果 f （x）在区间（ a,b ）内恒有，则曲线 f （x）的弧为 （ ）A、上升且上凸 B 、下降且上凸 C 、上升且下凸 D 、下降且下凸33、函数的拐点是 （）A、（ 2， 0） B 、（ 1，-1 ） C 、（ 0，-2 ） D 、不存在34、函数的拐点是 （）A、（ 0， 1）和（ 1，0） B 、不存在C、（ 0， -1 ）和（ 1， 0） D 、（ 0，1）和（ -1 ，0）35、函数的水平渐近线方程是 （ ）A、y=2 B 、y=1 C 、 y=-3 D 、y

15、=036、函数，（其中b,a>0为常数）的水平渐近线方程是 （ ）A、y=0 B 、y=b C 、 y=a D 、y=1/a37、曲线的水平渐近线是 .（）A、x=-1 B 、x=1 C 、y=0 D 、 y=138、曲线有 （A、水平渐近线 y=1 B 、水平渐近线 y=1/2 C 、铅直渐近线 x=1 D 、铅直渐近 线 x=1/239、函数的垂直渐近线方程为 （ ）A、x=0 B 、x=1 C 、x=0 和 x=1 D 、不存在40、某企业每月生产 q 吨产品时总成本 c 是产量 q 的函数 ， 则每月生产产品 8 吨时的边际成本是 .（ ）A、4 B 、6 C 、10 D 、 2

16、041、已知某商品生产 x 单位时总费用 F（x）的变化率为 f（ x）=0.4x-6 ，且 F（0） =60，则总费用函数 F（ x） =（）42、设生产函数为，则当 L=27，K=8时，资本 K 的边际生产率为 （）A、4/9 B 、 36/8 C 、3 D 、36/2743、设产品的利润函数为 L（x），则生产 x0 个单位时间的边际利润为（）44、设一产品的总成本是产量 x 的函数 C（x） ，则生产 x0个单位时的总成本变化率（即边际成本）是 （ ）45、设某商品需求函数为Q=10-P/2，则当 P=3时的需求价格弹性是（）A、3/17 B 、-3/17 C 、-1/2 D 、 1/

17、17、计算题 （ 一）1、设求 A 的值，使解：欲2、求解：=33、求解：三、计算题 （ 二）求=1+1=2解法一： 原式 =四、应用题1、求函数的极值解：可见 f(x) 在 x=0 处取极小值为 f(0)=0.在 x=1 处取极大值为 f(1)=1.在 x=2 处取极小值为 f(2)=0.2、求出函数在区间-1 ，2上的最大值与最小值解： 令 f ' (x)=0 ，得 x=0 为驻点比较驻点值、端点值 f (-1)=0，f (0)=2，f(2)=3/4得函数 f ( x)在-1 ，2 上的最大值为 2，最小值为 0。3、从直径为 d 的圆形树干中切出横切面为矩形的梁，此矩形的底为 b

18、，高为 h， 若梁的强度, 问梁的横断面尺寸如何， 其强度最大，并求出最大强度。解： ，为最大值因此，当矩形断面的底 时，其强度最大，最大强度为4、某企业生产一种产品， 固定成本为 5000元，每生产 100 台产品直接消耗成本 要增加 2500元。设市场对此商品的年需求量为 500 台，在此范围内产品能全部 售出且销售收入 R与销售台数的关系是 （万元）（ a 是售出数 量，单位：百台）；若超出 500 台，产品就会积压，问该产品的年产量为多少台 时，能使企业的年利润最大？ 解：设年产量为 x 百台 则生产成本 C（x）=0.5+0.25x （万元） 收益为故利润函数得唯一驻点 x=4.75故产量为 475 台时，企业利润最大5、设某商品的平均成本为为常数， Q为产量）（1） 求平均成本的极小值（2） 求总成本曲线的拐点 解：（ 1）令，（ Q=0舍去）此时2）总成本曲线方程为令（ Q=0舍去）6、设某商品需求函数为 Q=f（p）=12-p/2（1）求需求弹性函数；（ 2）求当 P=6 时的需求弹性。解：（ 1）需求弹性函数仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途