中考数学几何压轴题(辅助线专题复习)

1、中考压轴题专题几何(辅助线)精选1.如图，RtABC中，/ ABC=90°,DE垂直平分 AC,垂足为 O,AD/ BC,且AB=3,BC=4,则AD的长为初中数学精选2.如图，AABC中，/ C= 60°, / CAB与/ CBA的平分线 AE, BF相交于点 D, 求证：DE= DF.精选3.已知：如图，O O的直径AB=8cmg P是AB延长线上的一点，过点 P作。的切线，切点为 C,连接AC. 若/ ACP=120 ,求阴影部分的面积；(2)若点P在AB的延长线上运动，/ CPA的平分线交AC于点M / CMP勺大小是否发生变化？若变化，请说明理 由；若不变，求出/

2、 CMP勺度数。精选4、如图1, RtABC中，/ ACB=90 , AC=3, BC=4,点O是斜边 AB上一动点，以 OA为半径作。与AC边交于点P,(1)当OA二时，求点。到BC的距离；2(2)如图1,当OA3时，求证：直线 BC与。相切；此时线段 AP的长是多少？8(3)若BC边与。O有公共点，直接写出 OA的取值范围；(4)若CO平分/ ACB,则线段AP的长是多少？却精选5.如图，已知 AABC为等边三角形，/ BDC= 120°, AD平分/ BDC, 求证：BD+DC= AD.A精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点 B落在CD边上的P

3、点处.(1)如图1,已知折痕与边 BC交于点O,连结AP、OP、OA.求证： OC2 APDA;若 OCP与 PDA的面积比为1: 4,求边AB的长；(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点，求/ OAB的度数；(3)如图2, 在(1)的条件下, 擦去折痕 AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且 BN=PM,连结MN交PB于点F,作MELBP于点E.试问当点 M、N在移动过程中，线段 EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.精选7、如图，四边形ABCD是边长为2, 一个锐角等于60。的菱形纸片，小芳同学将

4、一个三角形纸片的一个顶点 与该菱形顶点 D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CR BA (或它们的延长线) 于点E、F,/EDF=60,当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是 DE=DF.(1)继续旋转三角形纸片，当C&A时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；(2)再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图 3请直接写出DE与DF的数量关系；(3)连EF,若 DEF的面积为y, CE=k求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？精选8、等腰RtABC中，/ BAC=90,点A、点B分别是x轴

5、、y轴两个动点，直角边 AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E;(1)如图(1),若A (0, 1), B (2, 0),求C点的坐标；(2)如图(2),当等腰RtABC运动到使点 D恰为AC中点时，连接 DE,求证：/ ADB=/CDE(3)如图(3),在等腰RtAABC不断运动的过程中，若满足 BD始终是/ ABC的平分线，试探究：线段 OA、OD、 BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由.11、12、13、14上，这四条直线中相邻两条之间的距11l21314第题图精选9.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线 离依次为工、h2、卜3(几>0, h2 A0, h3

6、 >0).(1)求证： =h3；(2)设正方形 ABCD的面积为S,求证：S = (N+h2)2+h12； _ _ 3 .(3)右一h1 +h)2 =1 ,当h1变化时，说明正万形 ABCD的面积 2S随hi的变化情况.参考答案精选1 解： RtABC 中，/ ABC=90°, AB=3, BC=4,.AC= .：二一 ：一=5,.DE垂直平分AC,垂足为O,.OAAC=, /AOD=/B=90°,22 AD / BC,.A=/C, . AODsCBA,期亚,AC BC即知卫5解得adj§5 48故答案为：上殳.8精选2B证明：在 AB上截取AG,使AG=A

7、F, 易证 AADF0 ADG ( SAS .AD, BD是角平分线，易证/ ADB=120°./ ADF= / ADG= / BDG= / BDE= 60°.DF= DG./ C= 60°,易证 ABD三 BDG ( ASA) .DE= DG= DF.精选3、解：(1)连接OC.PC为。O的切线， PCX OC. ./ PCO=90度. . / ACP=120/ ACO=30OC=OA,.A=/ACO=30度./ BOC=60 OC=4.,：，二. I 二1- S 阴影=Sa opc S扇形 boc=1 -;(2) / CMP的大小不变，/ CMP=45由(1)

8、知/ BOC+Z OPC=90 PM 平分/ APC./ apm=Lapc2A=BOC2PMC=ZA+ZAPM=1 （/ BOC吆 OP。=45°.精选4、解：（1）在 RtABE中，AB=ac2+bc2=2 + 42-5. （1 分） 过点O作ODBC于点D,贝U OD/AC,. ODBsMCB, "ACTAB点O到BC的距离为（3分）2（2）证明：过点 O作OE，BC于点E, OF，AC于点F,. oeb acb, . OE_OB. QE_L, nFACT AB 3 _ 5 UL_ 8直线BC与。O相切.（5分）此时，四边形 OECF为矩形，一 一 15 9AF=AC-

9、 FC=3- 1 = ',8 8 OFXAC,，AP=2AF总（7 分）4（3）¥<0A<4；（9分） o/（4）过点O作OGAC于点G, OH± BC于点H,则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG,又 CO 平分/ ACB,OG=OH, .矢I形 OGCH是正方形.（10 分）设正方形 OGCH的边长为x,则AG=3-x,. OG/ BC, AOGsAABC,BC AC，AP=2AG4. （12 分）77精选5、证法1:（截长）如图，截 DF=DB,易证 DBF为等边三角，然后证 BD84BFA即可;证法2:（截长）如图，截 DF=DC,易证 DCF为

10、等边三角，然后证 BD8 AFC即可;证法3:（补短）如图，延长 BD至F,使DF=DC,此时BD+DC=BD+DF=BF,易证 DCF为等边,再证 BCF ACD即可.证法4:（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆.设AB = AC= BO a,根据（圆内接四边形）托勒密定理：CD- a+BD- a= AD - a,得证.精选6、解：(1)如图 1 ,二.四边形 ABCD是矩形，.1. AD=BC, DC=AB, Z DAB=Z B=Z C=Z D=90°.由折叠可得： AP=AB, PO=BO, /PAO=/BAO. Z APO=Z B. ./ APO=90 °

11、;./ APD=90° - / CPO=Z POC. . / D=/C, / APD=/POC.OC。 PDA. OCP与 PDA的面积比为1: 4,5Mg RAPD PA DA 黄 2PD=2OC, PA=2OP, DA=2CP. AD=8, CP=4, BC=8.设 OP=x,则 OB=x, CO=8 - x.在 RtPCO 中， . /C=90°, CP=4, OP=x, CO=8-x,x2= (8 - x) 2+42.解得：x=5.AB=AP=2OP=10. 边AB的长为10.(2)如图1,.P是CD边的中点，DP='DC.2 . DC=AB, AB=AP,

12、DP='AP.2 . / D=90 °, .sin / DAP=1=1.AP 2 ./ DAP=30 °. . / DAB=90 °, / PAO=ZBAO, / DAP=30°, ./ OAB=30 °. /OAB的度数为30°.(3)作MQ/AN,交PB于点Q,如图2. AP=AB, MQ/AN, ./APB=/ABP, /ABP=/MQP. ./ APB=/MQP.MP=MQ. MP=MQ, MEXPQ,PE=EQ= PQ.2 BN=PM, MP=MQ,BN=QM . MQ / AN, ./ QMF=Z BNF.在 MF

13、Q和 NFB中，/QMF =/B 即 ZQFM-ZBFM.QM=BN . MFQA NFB.QF=BF.QF= QB.2EF=EC+QF=1pQ+ - QB=' PB.222由（1）中的结论可得：PC=4, BC=8, /C=90°.EF=PB=2 在.2在（1）的条件下，当点 M、N在移动过程中，线段 EF的长度不变，长度为 2超.精选7、pb=V82+42=4H1图2解：(1) DF=DE理由如下：如答图1,连接BD. 四边形ABCD是菱形，AD=AB.又. / A=60°, .ABD是等边三角形，AD=BD, / ADB=60 ,/ DBE=Z A=60

14、76; / EDF=60 ,'/ADF 二 Nbde ./ADF=/ BDE. 在4ADF与BDE 中，AD=BDlza=zdbe . ADB BDE (ASA),DF=DE(2) DF=DE理由如下：如答图2,连接BD.二四边形 ABCD是菱形，AD=AB.又. / A=60°,ABD是等边三角形,AD=BD, / ADB=60 ,/ DBE=Z A=60° / EDF=60 ,/ ADF=Z BDE.<Zadf=Zbde .在 ADF与BDE 中，AD=BDNk/DBE . ADB BDE (ASA) ， d DF=DE(3)由(2)知， ADFA BDE

15、：,贝U SaadF=Sabdee, AF=BE=x依题意得：考°,Y=Sabef+及 ABD=- (2+x) xsin60+x 2 x 2sin601 224(x+1)2+(.即 y卓(x+1) 2岑.答图1当x=0即点E、B重合时， y最小值，该抛物线的开口方向向上,2精选8、(1)解：过点 C作CF,y轴于点F,/ AFC=90 , / CAF+Z ACF=90 .ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,AC=AB, / CAF+Z BAO=90 , / AFC之 BAC, / ACF=Z BAO.在AACF和ABO中，rZAFC=ZBAC，ZAC?-ZBAO, 心AB .

16、ACF ABO (AAS)初中数学，CF=OA=1, AF=OB=2 OF=1 C ( - 1, 1);(2)证明：过点 C作CG± AC交y轴于点G, / ACG=Z BAC=90 , / AGC+/ GAC=90. / CAG+Z BAO=90 , / AGC=Z BAO. / ADO+Z DAO=90 , / DAO+Z BAO=90 ,/ ADO=Z BAO,/ AGC=Z ADO.在AACG和ABD中fZAGC=ZAD0、ZACG=ZBAClac=ab . AC8 ABD (AAS), CG=AD=CD / ACB=Z ABC=45 ,/ DCE=/ GCE=45 ,在AD

17、CE和GCE中，'DC = GC，ZDCE=ZGCE, lCE=CE.DC/ GCE (SAS , ./ CDE=Z G,/ ADB=Z CDE;(3)解：在 OB上截取OH=OD,连接AH 由对称性得 AD=AH, / ADH=/ AHD. / ADH=Z BAO. ./ BAO=Z AHD.BD是/ ABC的平分线，/ ABO=Z EBO, / AOB=Z EOB=90 .AOB 和 EOB 中，"Zabo=Zebo OB=OB,二 NEOB . AOB0 EOB (ASA), AB=EB AO=EO, / BAO=Z BEO, / AHD=Z ADH=Z BAO=Z B

18、EO. / AEC=Z BHA.在AEC和ABHA中，fZAEC=ZBHA /CAE = NABO,lac=abS(3). .AC图 BAH (AAS)AE=BH=2OA DH=2ODA口EG气J小D0工初中数学精选9、(1)证：设AD与I2交于点E , BC与I3交于点F,li由已知 BF / ED, BE / FD ,二四边形BEDF是平行四边形，二BE =DF .又 AB =CD,，RtMBE 0 RtCDF .二 % =h3AhiCEh212 BI3F14DT h3(2)证：作 BG _L|4, DH .LI4,垂足分别为 G、H ,在 RtzXBGC和RtzXCHD 中，'ZCG+NDCH =180"-2BCD =90'/CDH +N DCH =90、 J./BCG =/CDH .又/BGC =4HD =90: BC=CD,RtABGC RtACHD , CG = DH = h2 .222222又