2022年2022年高一数学典型例题分析：等比数列

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载等比数列·例题解析【例 1】已知 sn 为数列 an的前 n 项和,sn pnp r,n n* ,那么数列 ana为等比数列b当 p 0 时为等比数列c当 p 0, p 1 时为等比数列d不为等比数列分析由 sn pnn n* ,有 a1=s1 p,并且当n 2 时, an=sn sn-1 p n pn-1 p 1pn-1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故a2= p1p,因此数列a n 成等比数列p 0p 1 0 p1p n 1pp1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p2p n 2p但满意此条件的实数p 为不

2、存在的,故此题应选d说明数列 an成等比数列的必要条件为an 0n n* ,仍要注精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载意对任n n *, n 2 ,a na n 1都为同一常数为其定义规定的精确含义精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 2】已知等比数列1, x1, x2, x2n, 2,求 x1· x2· x3·· x2n解 1,x1, x2, x2n, 2 成等比数列,公比q 2 1· q2n+1x1x2x3x2nq ·q2·q 3q 2n=q1+2+3+2n2n1+2n=q2q n 2 n1 2

3、n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例3】等比数列a n 中,(1) 已知 a2= 4 , a 5 ,求通项公2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载式； 2已知 a3· a4·a5 8,求 a2a3a4a5a6 的值52解 1a= a q 5 2 q = 12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n2 a a q n 2 41n 2 21n 42精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) a· a a 2a · a· a a3 = 8精品学

4、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3543454 a42精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又a aa a a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载26354234564a a a a a= a5= 32精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 4】已知 a 0,b 0 且 a b,在 a, b 之间插入n 个正数 x1, x2,xn,使得 a, x1, x2, xn, b 成等比数列,求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证 n x 1x 2abx n 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明设这 n 2 个数所成数列的公比为q,就

5、b=aqn+1n q1b an 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 n x 1x 2x nn aqaq2aq naq 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abab2【例5】设 a.b.c.d 成等比数列,求证：b c2 ca2d b2 a d2证法 一 a.b.c. d 成等比数列a bcb cd b2 ac, c2 bd, ad bc左边 =b22bc c2 c2 2ac a2 d2 2bd b2=2b2 ac 2c2 bd a2 2bc d2 a22ad d2 a d2右边证毕证法二a.b.c. d 成等比数列,设其公比为q ,就：b aq, c aq2, d=a

6、q3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载左边 aq aq2 2 aq2 a2 aq3 aq2 a22a2q3 a2q 6=aaq32 a d2=右边证毕说明这为一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一为抓住了求证式中右边没有b.c 的特点,走的为利用等比的条件消去左边式中的b.c 的路子证法二就为把a.b.c.d 统一化成等比数列的基本元素a.q 去解决的证法二略微麻 烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性【例 6】求数列的通项公式：1an 中, a12, an+1 3an 22an 中, a1=2, a25,且 an+23an+1

7、2an0思路：转化为等比数列解 1a n+1 = 3an 2a n+1 1 = 3a n 1 an 1为等比数列 an 1=3· 3n-1 an =3n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a n+2 3an+1 2an= 0a n+2 a n+1= 2a n+1 a n 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 an+1an为等比数列,即an+1 an=a2 a1· 2n-1=3· 2n-1再留意到a2 a1=3, a3 a2=3·21 , a4 a3=3· 22, an an-1=3· 2n-2,这些等式相加,即

8、可以得到精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1a= 31 2 2 2 2 n-2 = 3· 21 = 32 n 1 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n21说明解题的关键为发觉一个等比数列,即化生疏为已知1中发觉 an 1为等比数列, 2中发觉 an+1 an为等比数列,这也为通常说的化归思想的一种表达精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例7】如实数 a .a .a .a 都不为零,且满意 a2 a2 a2 2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12341242精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a a aa2 a2= 0求

9、证： a .a.a 成等比数列,且公比为 a 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载134231234精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载证 a1.a2.a3.a4 均为不为零的实数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22222a a x 2a a a xa a= 0为实系数一元二次方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1221323精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等式a2 a2 a2 2a aa aa2 a2= 0说明上述方程有实数根a 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1242134234上述方程的判别式 0

10、,即 2aa a 2 4a 2 a 2 a 2 a 2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2131= 4a 2 a a 2 0223精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载213 a 2 a a 2 0213又 a1.a2.a3 为实数22 a a a 0213必有a2 a a= 0即a2 = a a213213因而 a1. a2.a3 成等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2又 a= 2a 2 a1a 3 a2 a1a3 a 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载142a 2a2 1a1 a3a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2

11、 a4 即为等比数列a1.a2.a3 的公比【例 8】如 a.b.c 成等差数列,且a 1.b.c 与 a.b.c 2 都成等比数列,求 b 的值解设 a.b.c 分别为 b d.b.b d ,由已知 b d 1.b.b d 与 b d.b.b d 2 都成等比数列,有b 2 = b d 1b d2b= b db d 2整理,得b 2 = b 2 d 2 b db 2 = b 2 d 2 2b 2d b d=2b 2d即 b=3d代入,得9d2=3d d 13d d9d2=2d 1· 4d解之,得d=4 或 d=0舍 b=12【例 9】已知等差数列 an 的公差和等比数列bn的公比都

12、为d,又知d1 ,且 a4=b4, a10=b10：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载1求 a1 与 d 的值；2b16 为不为 an中的项？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路：运用通项公式列方程a= ba 3d = a d 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解 1 由4411a= b9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1010a19d = a1d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载39a1 1 d = a1 1 d =3d 9d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载63d d 2 = 03d11舍或d 2

13、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1d3 2d3 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载32 b16=b1· d15=32b 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且a4= a1 3d =22 = b4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3b 4 = b1 ·d=2b1 = 23 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3b1 = a1 =2 b16= 32b1= 32a1,假如 b 16 为 an中的第 k 项,就 32a1=a1 k1d k 1d=33a1=33d k=34 即 b16 为an中的第 34 项精品学习

14、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例10】设a 为等差数列,b= 1 an,已知 b b21 b=,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn211238精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b 1b 2 b 3=,求等差数列的通项8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解设等差数列 an的公差为 d ,就 an=a1 n 1d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1a1 b n = 2 n 1d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11ab 1b 3 = 21· 2a1 +2d1= 22a1 +d2b2精品学习资料精选学习资料 - -

15、- 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1由b b b=,解得 b 31=,解得1b=,代入已知条件精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1238128221精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b1 b 2 b 3 =8整理得21b1 b 3 =417精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b1b 2b38b1 b 3 =8解这个方程组,得11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b 1 = 2, b3=或b1 = 8, b 3 = 28精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a1= 1, d=2 或 a1=3, d=

16、2当 a1= 1, d=2 时, an=a1 n 1d=2n 3当 a1=3, d=2 时, an=a1n 1d=5 2n【例 11】三个数成等比数列,如其次个数加4 就成等差数列,再把这个等差数列的第3 项加 32 又成等比数列,求这三个数解法一按等比数列设三个数,设原数列为a, aq, aq2由已知： a, aq 4, aq2 成等差数列即： 2aq 4=a aq2a, aq 4, aq232 成等比数列即： aq 42=aaq2 32精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aq 2 = 4aa = 2a = 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载,两式联立解得：或q =

17、329q = 51050精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这三数为：2, 6,18或 9 ,9 , 9 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法二按等差数列设三个数,设原数列为b d, b 4, b d由已知：三个数成等比数列即： b42=b db d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8b d 2= 16精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b d ,b ,b d32 成等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载即 b2=b db d 3232b d 2 32d = 026b =9b = 10精品学习资料精选学习资料 - -

18、 - 欢迎下载.两式联立,解得：或8d = 8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d = 321050三数为,或2 , 6, 18999解法三任意设三个未知数,设原数列为a1,a2, a3由已知： a1, a2, a3 成等比数列2得： a2 = a a13a1, a2 4, a3 成等差数列得： 2a2 4=a1 a3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1, a2 4, a3 32 成等比数列得： a2 42=a1a3 32.式联立,解得：2a1 = 910a2 =9a1 = 2或 a2 = 6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载50a3 =9a3 = 18精

19、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明将三个成等差数列的数设为a d, a, a d；将三个成精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等比数列的数设为a, aq, aq2 或a, a, aq为一种常用技巧,可起到q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载简化运算过程的作用【例 12 】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和为16,其次个数与第三个数的和为12,求这四个数分析此题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a d ,a, a d,就第四个数由已知条精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精

20、选学习资料 - - - 欢迎下载件可推得：ad 2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法二设后三个数为b, bq, bq2,就第一个数由已知条件推得为2bbq 方法三设第一个数与其次个数分别为x, y,就第三.第四个数依次为12y,16 x由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数,从而解出所求的四个数,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法一设前三个数为 ad 2a d, a, a d,就第四个数为a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依题意,有ad ad 2a= 16精品学习资料精选学习资料 - -

21、 - 欢迎下载a ad = 12a1 = 4a2 = 9解方程组得：或d1 = 4d 2 = 6所求四个数为：0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1解法二设后三个数为：b, bq, bq 2,就第一个数为：2b bq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依题意有：2b bq bq 2b bq = 12= 16精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解方程组得：b1 = 4或q= 2b2 = 91精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1q2 = 3所求四个数为：0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1解法三

22、设四个数依次为x, y, 12 y, 16 xx 12 y = 2y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依题意有y· 16 x = 12 y 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1 = 0x 2 = 15解方程组得：或y1 = 4y 2 = 9这四个数为0, 4,8, 16 或 15, 9,3, 1【例 13 】已知三个数成等差数列,其和为126；另外三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到85, 76, 84求这两个数列解设成等差数列的三个数为b d, b, b d,由已知, b d bb d=126 b=42这三个数可写成42d, 42, 4

23、2 d 再设另三个数为a, aq,aq2由题设,得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载a42d = 85ap42 = 76aq2 42d = 84ad = 43精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载整理,得aq = 34aq2 d = 42精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解这个方程组,得a1=17 或 a2=68当 a=17 时, q=2, d=261精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当a = 68时, q =, d = 252精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从而得到： 成等比数列的三个数为17,34,68,此时成等差的三个数为68,42, 16；或者成等比的三个数为68, 34, 17,此时成等差的三个数为17,42, 67【例 14】已知在数列 an中, a1.a2.a3 成等差数列, a2 .a3.a4 成等比数列, a3. a4.a5 的倒数成等差数列,证明：a1.a3. a5 成等比数列证明由已知,有2a2=a1 a3a2 = a ·a324211a4a3a52a3 ·